资源简介

3．2.2　双曲线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024姜堰二中月考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2 (2024邢台期末)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±3x D. y＝±x
3 (2024南通中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是(　　)
A. y＝±3x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
4 (2024海安中学月考)已知双曲线的实轴长为4，焦点为(－4，0)，(4，0)，则该双曲线的标准方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. x2－＝1 D. －x2＝1
5 (2024海门期末)已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
6 (2024常州溧阳期末)已知F为双曲线C：－＝1的焦点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线 C的实轴长为4
B. 双曲线C的两条渐近线夹角大于60°
C. 点F到双曲线C的渐近线的距离为4
D. 双曲线C上的点到点F的距离的最小值为2
二、 多项选择题
7 (2024泰州期末)我们称离心率相同的二次曲线相似，则下列二次曲线相似的为(　　)
A. 2x2＋3y2＝1与＋＝1
B. ＋＝1与＋＝1
C. －＝1与－＝1
D. －＝1与－＝1
8 (2024启东中学月考)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论中正确的是 (　　)
A. 双曲线C的方程为－＝1
B. 双曲线C的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为3
D. PF的最小值为2
三、 填空题
9 (2024定远中学期末)若双曲线C的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且点P(2，)在双曲线C上，则双曲线C的实轴长为________．
10 已知双曲线 C：－y2＝1的实轴端点分别为A1，A2, P是双曲线上异于点A1，A2的一点，则PA1与PA2的斜率之积为________．
11 若双曲线C：－＝1的一条渐近线与直线l：3x＋2y－2＝0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________．
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2).
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
13 (2024天津四中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－).
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 求双曲线C的实轴长，焦点坐标，离心率．
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024扬州中学期中)已知双曲线C：x2－＝1的离心率大于实轴长，则实数m的取值范围是(　　)
A. (3，＋∞) B. (，＋∞)
C. (0，3) D. (，3)
2 (2024江安中学月考)中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
3 (2024阳泉期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α，β，且满足α＝5β，则双曲线C的离心率为(　　)
A. 2 B. C. D.
4 (2024永寿中学期末)若双曲线Ω：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A. y＝±3x B. y＝±2x
C. y＝±x D. y＝±x
5 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(－1，)，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且PF1＝2.若双曲线上一点M满足MF1＝，则线段MF2的长为(　　)
A. 或 B. C. D.
6 (2025宜兴中学期初)如图，已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)，双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)，椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为P，且tan ∠F1PF2＝，若椭圆C1的离心率e1＝，则双曲线C2的离心率e2的值为(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 (2024镇江中学期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列结论中正确的是(　　)
A. 曲线E经过坐标原点
B. 曲线E关于x轴对称
C. 曲线E关于y轴对称
D. 若点(x，y)在曲线E上，则－1≤x≤1
8 (2024海安中学月考)对于曲线C：＋＝1，下列说法中正确的是(　　)
A. 若k＝2，曲线C的长轴长为2
B. 若曲线C是椭圆，则实数k的取值范围是(1，4)
C. 若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(4，＋∞)
D. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，离心率为，则实数k的值为3
三、 填空题
9 (2024如东马塘中学月考)已知双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．
10 (2024丹阳中学月考)若双曲线C：＋＝1的实轴长与虚轴长相等，则m＝________．
11 (2025洛阳一中月考)已知F，A分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若AM⊥AN，则双曲线的离心率为________．
四、 解答题
12 已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 已知点M(0，3)，P是双曲线C上的任意一点，求PM的最小值．
13 (2024肇庆期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上的一点，
(1) 若点P到x轴的距离为2，△PF1F2的面积为2，求双曲线的标准方程；
(2) 若PF1⊥PF2，求tan ∠PF1F2的值．
3．2.2　双曲线的几何性质(1)
1. C　双曲线方程化为标准方程为－＝1，所以a2＝4，解得a＝2，则2a＝4.
2. B　由双曲线－＝1，得a＝，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
3. C　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可知渐近线的方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为，故＝tan ＝，即渐近线的方程为y＝±x.
4. A　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
5. B　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为y＝±x.由题意，得 ＝，解得a＝3b，所以c＝ ＝ b，所以e ＝＝ .
6. B　由双曲线的方程为C：－＝1，得a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，c＝＝5，所以实轴长为2a＝8，故A错误；双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，因为<<1，所以渐近线y＝x的倾斜角大于30°小于45°，所以双曲线C的两条渐近线夹角大于60°，故B正确；双曲线的焦点F(±5，0)到渐近线y＝±x的距离为d＝＝3，故C错误；双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝5－4＝1，故D错误．
7. AB　对于＋＝1有a＝，c＝，则e＝；对于＋＝1有a＝，c＝1，则e＝；对于＋＝1有a＝，c＝1，则e＝；对于－＝1有a＝，c＝，则e＝；对于－＝1有a＝，c＝，则e＝；对于－＝1有a＝，c＝，则e＝，综上，A，B中曲线相似，C，D不相似．故选AB.
8. AD　双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线的方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝.因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故A正确；离心率为e＝，故B错误；焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，故C错误；PF的最小值为c－a＝2，故D正确．故选AD.
9. 2　双曲线C的实轴长为2a＝|PF1－PF2|＝|－|＝2.
10. 　设P(x0，y0)，y0≠0，则－y＝1.因为A1(－2，0)，A2(2，0)，所以kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝·＝＝，所以PA1与PA2的斜率之积为.
11. 2　双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x.由两直线垂直，得·＝－1，即a＝3，所以c＝＝，则所求三角形的面积S＝×2×2＝2.
12. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以c＝，
所以b＝.
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0).
将点P(－2，4)代入上述方程，得λ＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线的方程为y＝±x＝±x.
因为双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，
所以＝，
则方程可化为－＝1.
又双曲线C经过点M(，－)，
所以－＝1，解得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2) 由(1)知双曲线C：x2－＝1中，
因为a＝1，b＝，c＝，
所以实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，双曲线C的焦点坐标为(±，0).
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
1. A　由题意，得m>0，>2，解得m>3.
2. A　在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得 x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故双曲线的方程是x2－y2＝8.
3. D　双曲线C的两条渐近线方程分别为y＝x，y＝－x，易知α＋β＝π.又α＝5β，解得α＝，β＝，所以＝tan ＝，所以双曲线C的离心率为e＝＝＝.
4. B　由题意，得＝，＝＝，8a2＝b2，则渐近线为y＝±x＝±2x.
5. B　因为F1(－c，0)，PF1＝2，所以＝2，所以c＝2或c＝0(舍去).又因为双曲线的渐近线过点P(－1，)，所以－＝，即＝，所以解得所以双曲线C：x2－＝1.若点M在左支上，MF1＝>c－a＝1，符合要求，所以MF2＝MF1＋2a＝＋2＝；若点M在右支上，MF1＝6. A　设∠F1PF2＝θ，则tan θ＝，故cos θ＝.由题意，得椭圆、双曲线的半焦距均为c，故在△F1PF2中，令PF1＝m，PF2＝n，则故由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，即4c2＝m2＋n2－2mn cos θ＝2a＋2a－2(a－a)cos θ，两边同除以2c2并整理，得＋＝2，将cos θ＝，e1＝代入求得e2＝2.
7. BC　设点P(x，y)，则kPF1·kPF2＝·＝＝8，则x2－＝1(y≠0).故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点．故曲线E不经过原点，故A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，故B，C正确；若点(x，y)在曲线E上，则x>1或x<－1，故D错误．故选BC.
8. CD　对于A，曲线C：x2＋＝1为椭圆方程，故长轴长为2，故A错误；对于B，解得14，故C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，离心率为，则解得9. －＝1　设所求双曲线的方程为－＝k.因为双曲线过点(2，－1)，所以－＝k，k＝，所以双曲线的方程为－＝，即－＝1.
10. 1　由题意，得(m＋1)＋(m2－m－2)＝0，解得m＝1或m＝－1(舍去).
11. 2　设点F(－c，0)，将x＝－c代入－＝1，得y＝±，所以M，N.因为A(a，0)，且AM⊥AN，所以由双曲线的对称性可知，AM＝AN，MF＝NF，所以MF＝AF，即＝a＋c，即b2＝a2＋ac，所以c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0.因为e>1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为2.
12. (1) 双曲线－＝1的焦点为(0，±)，
所以设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以a＝2，a2＋b2＝5，解得b＝1，
所以双曲线C的方程为－x2＝1.
(2) 由－x2＝1，得y≤－2或y≥2.
设点P(x0，y0)，y0≤－2或y0≥2，则－x＝1，
所以PM＝＝＝，
所以当y0＝时，PM取得最小值，为＝.
13. (1) 设点P(x1，y1)，x1>0，由题意知|y1|＝2，
则S△PF1F2＝F1F2·|y1|＝c|y1|＝2，解得c＝.
由题意，得e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2) 设PF2＝x，由双曲线定义得PF1－PF2＝2a，
则PF1＝x＋2a.
由勾股定理，得F1F＝PF＋PF，
则2x2＋4ax＋4a2－4c2＝0.
由题意，知e＝＝，代入上式，得x2＋2ax－8a2＝0，
解得x＝2a或x＝－4a(舍去)，
所以tan ∠PF1F2＝＝.

展开更多......

收起↑