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3.3.1　抛物线的标准方程
一、 单项选择题
1 (2024江安中学月考)到直线l：x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 圆
C. 抛物线 D. 直线
2 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A. (1，0) B.
C. D. (0，1)
3 (2024天一中学月考)抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A. y＝－1 B. y＝－2
C. x＝－1 D. x＝－2
4 (2024南通一中期中)若点P到点(0，2)的距离比它到直线y＝－1的距离大1，则点P的轨迹方程为(　　)
A. y2＝4x B. x2＝4y
C. y2＝8x D. x2＝8y
5 (2025启东联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上．若点M到直线x＝－2的距离为4，则MF的长为(　　)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6 过抛物线E：y＝2x2焦点的直线交抛物线E于A，B两点，线段AB的中点M到x轴的距离为1，则AB等于(　　)
A. 2 B. C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 (2024白银靖远四中期末)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，A为抛物线C上一点．若FA＝8，则直线FA的倾斜角可以为(　　)
A. B. C. D.
8 (2024姜堰中学月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＝3 B. y0＝±2
C. OM＝ D. 点F的坐标为(0，1)
三、 填空题
9 (2024海门实验中学月考)若动点M(x，y)到点F(2，0)的距离和动点M到直线x＝－2的距离相等，则点M的轨迹方程是________．
10 (2024南通一中月考)在抛物线y2＝－12x上，且到抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________．
11 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为________m.
四、 解答题
12 (2024南通一中月考)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 焦点为(－2，0)；
(2) 准线为y＝－1；
(3) 过点A(2，3)；
(4) 焦点到准线的距离为.
13 (2024如东一中月考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
3.3.1　抛物线的标准方程
1. C　因为动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线．
2. C　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
3. A　因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
4. D　因为点P到点(0，2)的距离比它到直线y＝－1的距离大1，所以点P到点(0，2)的距离等于它到直线y＝－2的距离，所以点P的轨迹是以(0，2)为焦点，y＝－2为准线的抛物线，则点P的轨迹方程是x2＝8y.
5. D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在抛物线C上，所以点M到准线x＝－2的距离为MF.又点M到直线x＝－2的距离为4，所以MF＝4.
6. B　如图，由抛物线E：y＝2x2，得x2＝y＝2×y.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点M到x轴的距离为1，可知yM＝＝1，所以y1＋y2＝2.又由抛物线定义可知AB＝FA＋FB＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋＝.
7. AC　由题意，得F(2，0)，设点A(x0，y0)，则FA＝x0＋2＝8，解得x0＝6，故y＝48，解得y0＝±4，故直线FA的斜率为＝或＝－.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线FA的倾斜角为或.故选AC.
8. ABC　由抛物线C：y2＝4x，得F(1，0).因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以MF＝x0＋1＝4，解得x0＝3.又y＝4x0＝12，所以y0＝±2，即M(3，±2)，则OM＝＝＝.故选ABC.
9. y2＝8x　由抛物线定义知，点M的轨迹是以F(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2＝8x.
10. (－6，6)，(－6，－6)　由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3，0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x＝9，解得x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.故所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6).
11. 4　如图，由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程，解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y. 水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d为4 m.
12. (1) 因为焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
所以p＝4，
所以抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2) 因为焦点在y轴正半轴上，且＝1，
所以p＝2，
故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3) 设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
所以m＝或n＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4) 由焦点到准线的距离为，得p＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
13. 不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn.
因为AB⊥y轴，且OA⊥OB，
所以△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n.
由△AOB的面积为16，
得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.

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