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4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
一、 单项选择题
1 下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 同一数列的任意两项均不可能相同
B. 数列－1，0，1与数列0，1，－1是同一个数列
C. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
2 (2024连云港高级中学期中)已知数列2，，2，，…，，…，则是这个数列的(　　)
A. 第20项 B. 第21项
C. 第22项 D. 第19项
3 (2024启东一中月考)数列1，，，…的通项公式可能是(　　)
A. an＝ B. an＝
C. an＝ D. an＝
4 (2024苏州一中月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B. 数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C. 数列的第k项为1＋
D. 数列0，2，4，6，…可记为{2n}
5 在数列{an}中，若 an＝则a4＋a5的值为(　　)
A. 17 B. 23 C. 25 D. 41
6 (2024定西八校期末)已知数列0，lg 2，lg 3，lg 4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有(　　)
A. 8项 B. 9项 C. 10项 D. 11项
二、 多项选择题
7 (2024南通一中月考)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A. 1，，，，…，，…
B. sin ，sin ，sin ，…，sin ，…
C. －1，－，－，－，…，－，…
D. 1，，，…，，…
8 (2024松江二中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下列数中是该数列中的项的是(　　)
A. 18 B. 12 C. 25 D. 30
三、 填空题
9 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则33是这个数列的第________项．
10 由数列1，10，100，1 000，…猜测该数列的第n项可能是________．
11 一系列有机物的结构简图如图所示，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为________．(用含n的代数式表示)
四、 解答题
12 写出下列各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) ，，，，，…；
(3) －1，，－，，….
13 已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－kn＋3.
(1) 如果a2＝5，求k的值，并写出这个数列的首项；
(2) 若an≥a5对任意n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
4．1.2　数　　列(2)
一、 单项选择题
1 (2024南通中学月考)已知数列{an}满足an＋1＝(－1)nan＋1，且a2＝1，则a6的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2 (2024佛山一中期末)在数列{an}中，若a1＝，an＋1＝2－，则下列数中不是{an}中的项的是(　　)
A. －1 B. －2 C. 3 D.
3 已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，则a2 024的值为(　　)
A. －1 B. C. 2 D. 1
4 (2024常熟中学月考)设数列{an}的通项公式为an＝n2－(k－5)n＋1，若数列{an}是单调递增数列，则实数k的取值范围为(　　)
A. (4，＋∞) B. (－∞，4)
C. (8，＋∞) D. (－∞，8)
5 已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则的值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024南菁中学月考)已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　)
A. 1，－ B. 0，－
C. ，－ D. 1，－
二、 多项选择题
7 (2024南海中学月考)已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m可能的取值有(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 32
8 (2024莆田二中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法中正确的是(　　)
A. a1是数列{an}的最小项
B. a4是数列{an}的最大项
C. a5是数列{an}的最大项
D. 当n≥5时，数列{an}递减
三、 填空题
9 (2024盐城中学期末)在数列{an}中，a1＝2，an·an－1＝an－1－1(n≥2)，则a2 024＝________．
10 (2025启东联考)在数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
11 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．
四、 解答题
12 已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1) 写出数列的前三项；
(2) 和是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？
13 已知在数列{an}中，an＝n2－pn＋q，a1＝0，a2＝－4.
(1) 求a5的值；
(2) 判断66是不是该数列中的项？若是，是第几项？
(3) 当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
1. D　对于A，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；对于B，数列－1，0，1与数列0，1，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；对于C，{1，3，5，7}是一个集合，故C错误；对于D，根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，故D正确．
2. C　令＝，解得n＝22，所以是这个数列的第22项．
3. A　当n＝1时，＝2，故排除D，当n＝2时，＝，＝，故排除B，C，经检验A符合题意．
4. C　对于A，数列可为常数数列，故A错误；对于B，一个是递减数列，一个是递增数列，不是相同数列，故B错误；对于C，当n＝k时，ak＝＝1＋，故C正确；对于D，数列中的第一项不能用an＝2n表示，故D错误．
5. A　由题意，得a4＋a5＝23＋(2×5－1)＝17.
6. B　由题意，得该数列的通项公式为an＝lg n，由lg n<1，得n<10.因为n∈N*，所以该数列中小于1的项有9项．
7. CD　易知C，D既是无穷数列又是递增数列，A，B不符合题意．故选CD.
8. BD　对于A，若an＝n2＋n＝18，无正整数解，不符合题意；对于B，若an＝n2＋n＝12，解得n＝3或n＝－4，有正整数解n＝3，符合题意；对于C，若an＝n2＋n＝25，无正整数解，不符合题意；对于D，若an＝n2＋n＝30，解得n＝5或n＝－6，有正整数解n＝5，符合题意．故选BD.
9. 5　令33＝2n＋1，解得n＝5.故33是这个数列的第5项．
10. 10n-1　此数列可写为100，101，102，103，104，…，故该数列的第n项可能是10n-1.
11. 9n＋3　第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察，得后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，故第n个图有6＋5(n－1)＝5n＋1(个)化学键和(4n＋2)个原子，则总数为9n＋3.
12. (1) 各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2) 每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，
故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*.
(3) 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
又第1项可改写成分数－，
所以每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式；分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式，
所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.
13. (1) 令a2＝2×22－2k＋3＝5，解得k＝3，
所以a1＝2×12－3×1＋3＝2.
(2) an≥a5对任意n∈N*恒成立，
即2n2－kn＋3≥53－5k对任意n∈N*恒成立，
所以(n－5)k≤2n2－50对任意n∈N*恒成立．
若n＞5，n∈N*，则k≤2(n＋5)，
所以k≤22；
若0所以k≥18；
若n＝5，显然成立，
综上，18≤k≤22，
故实数k的取值范围是[18，22].
4．1.2　数　　列(2)
1. C　因为an＋1＝(－1)nan＋1，所以令n＝2，得a3＝a2＋1＝2；令n＝3，得a4＝－a3＋1＝－1；令n＝4，得a5＝a4＋1＝0；令n＝5，得a6＝－a5＋1＝1.
2. A　由题意，得a1＝，a2＝2－＝－2，a3＝2－＝3，a4＝2－＝，a5＝2－＝，…，所以{an}为周期数列，且周期为4，则－1不是{an}中的项．
3. B　因为an＋1＝，且a1＝－1，所以a2＝＝，a3＝＝2，a4＝＝－1，a5＝＝，a6＝＝2，…，由此不难发现，数列{an}具有周期性，且最小正周期为3，故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝.
4. D　若{an}是递增数列，则an＋1>an，即(n＋1)2－(k－5)(n＋1)＋1>n2－(k－5)n＋1，则k<2n＋6.因为n∈N*，所以2n＋6≥8，则k<8.
5. B　由题意，得a2a1＝a1＋(－1)2，又a1＝1，所以a2＝2.易得a3a2＝a2＋(－1)3，则a3＝.同理，a4＝3，a5＝，故＝.
6. A　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且是递减数列；当n≥4时，an＝>0，且单调递减，又a1＝＝－，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.
7. BCD　由题意，得a5＝2，若3a4＋1＝2，不合题意，舍去，所以a4＝4；若3a3＋1＝4，则a3＝1，进而可得a2＝2，a1＝4；若＝4，则a3＝8，进而可得a2＝16，所以a1＝32或a1＝5.故选BCD.
8. BCD　设第n项为{an}的最大项， 则即所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减，故B，C，D正确；当n趋向正无穷大时，an＝(n＋2)·无限趋向于0且大于0，且a1＝>0，所以a1不是数列{an}的最小项，且数列{an}无最小值，故A错误．故选BCD.
9. 　由题意，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，所以数列{an}的周期为3，所以a2 024＝a3×674＋2＝a2＝.
10. 30　因为an＝－n2＋11n＝－＋(n∈N*)，所以当n＝5或n＝6时，an取得最大值30.
11. 　　因为数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
12. (1) a1＝＝1，a2＝＝，a3＝＝.
(2) 令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8(舍去)，所以是数列{an}的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－.又n∈N*，所以不是数列{an}中的项．
13. (1) 由题意可知a1＝1－p＋q＝0，a2＝4－2p＋q＝－4，
所以p＝7，q＝6，
所以an＝n2－7n＋6，所以a5＝－4.
(2) 设数列{an}的第n项为66，则an＝n2－7n＋6＝66，即n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以66是数列{an}的第12项．
(3) 因为an＝n2－7n＋6＝－，
所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝－6，
故当n＝3或n＝4时，an有最小值，最小值为－6.

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