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4．2.2　等差数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)在等差数列{an}中，a2＝7，a6＝21，则a4的值为(　　)
A. 14 B. 16 C. 18 D. 28
2 (2024金沙中学月考)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1－b1＝2，a2－b2＝1，则a5－b5的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3 在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a2＋a3＋a98＋a99的值为(　　)
A. 39 B. 76 C. 78 D. 117
4 (2025淮安期末)《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共6 L，最下面3节的容积共12升，则第5节的容积为(　　)
A. 3 L B. 4 L C. 5 L D. 6 L
5 (2024启东中学月考)在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则下列结论中正确的是(　　)
A. a5＝10 B. an＝2n－1
C. an＝n＋3 D. an＝－2n＋3
6 已知等差数列{an}满足a1＝12，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是{an}中的一项，则d的可能取值有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
二、 多项选择题
7 在7和21之间插入n(n∈N*)个数，使这n＋2个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是(　　)
A. B. 7
C. 5 D. 3
8 (2024昆山中学月考)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)
A. －2，4，10，16 B. 16，10，4，－2
C. 2，5，8，11 D. 11，8，5，2
三、 填空题
9 (2024合肥八中月考)一个等差数列的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为________．
10 (2024海门证大中学月考)设{an}是等差数列， 且a1＝3，a2＋a4＝14，若am＝41，则m＝________．
11 (2024天津静海一中月考)设公差d≠0的等差数列{an}中，满足a＝a3a8，则的值为________．
四、 解答题
12 已知三个数成等差数列，且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
13 已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，令bn＝.
(1) 证明：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
4．2.2　等差数列的通项公式及性质
1. A　由等差数列的性质，得a4＝＝14.
2. A　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an－bn}是等差数列．又a1－b1＝2，a2－b2＝1，所以其公差为 d＝－1，所以a5－b5＝a1－b1＋4d＝－2.
3. C　在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a2＋a3＋a98＋a99＝(a2＋a99)＋(a3＋a98)＝2(a1＋a100)＝2×(3＋36)＝78.
4. A　记该等差数列为{an}，公差为d.由题意，得a1＋a2＋a3＝6，a7＋a8＋a9＝12，所以(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＝6a5＝18，解得a5＝3，即第5节的容积为3 L.
5. B　因为在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，a4＝7，所以a3＝5，d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.
6. D　设等差数列{an}的公差为d，am＋an＝at，则a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝a1＋(t－1)d，可得a1＝(1＋t－m－n)d，又d∈N*，所以d是a1的正因数，故d∈{1，2，3，4，6，12}，共有6个可能取值．
7. AB　由题意，得该等差数列的公差d＝＝，n∈N*.当n＝1时，d＝7，故B正确；当n＝3时，d＝，故A正确；显然不存在正整数n，使得d取5和取3，故C，D错误．故选AB.
8. AB　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则解得或所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2.故选AB.
9. －4　因为{an}是等差数列，且a3＝12，a6＝4，所以 a3＋a9＝2a6，即12＋a9＝2×4，解得a9＝－4.
10. 20　因为a2＋a4＝2a3＝14，所以a3＝7，又a1＝3，所以公差d＝2，所以am＝3＋2(m－1)＝41，解得m＝20.
11. 　因为a＝a3a8，所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理，得a＋8a1d＋16d2＝a＋9a1d＋14d2，即a1d＝2d2.因为d≠0，所以a1＝2d.根据等差数列的性质，得a1＋a3＋a5＝3a3＝3(a1＋2d)＝12d，a1＋a4＋a7＝3a4＝3(a1＋3d)＝15d，所以＝＝.
12. 方法一：设这三个数依次为a，b，c，
则解得
故这三个数依次为4，6，8.
方法二：设这三个数依次为a－d，a，a＋d.
由已知，得
由①，得a＝6，代入②，得d＝±2.
因为该数列是递增数列，所以d＝2，
所以这三个数依次为4，6，8.
13. (1) 因为bn＋1－bn＝－
＝－
＝－
＝－
＝＝，
又b1＝＝，
所以{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2) 由(1)知，bn＝＋(n－1)＝，
即an－1＝，
所以an＝1＋，n∈N*.

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