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4．2.3　等差数列的前n项和(1)
一、 单项选择题
1 (2024清江中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7的值为(　　)
A. 49 B. 42
C. 35 D. 28
2 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
4 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8的值为(　　)
A. 15 B. 16
C. 19 D. 20
5 (2025启东期末)在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝18，a5＝10，则其前100项和为(　　)
A. 5 050 B. 10 010
C. 10 100 D. 11 000
6 在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|等于(　　)
A. 445 B. 765
C. 1 080 D. 3 105
二、 多项选择题
7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列等式中正确的是(　　)
A. Sn＝n(a1＋an)
B. 2Sn＝n(a1＋an)
C. Sn＝nan＋
D. Sn＝nan－
8 (2025阜阳中学月考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9＝S10A. a10＝0 B. d>0
C. S8三、 填空题
9 (2024上海建平中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝3，则S5＝________．
10 在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________．
11 (2024镇江中学月考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1＋a＝－3，S5＝10，则a11的值是________．
四、 解答题
12 (2024丹阳中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 求等差数列{an}的前n项和Sn.
13 (2024南通一中月考)在等差数列{an}中，
(1) 已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2) 已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(3) 已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
4．2.3　等差数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1 (2024白蒲中学月考)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1的值为(　　)
A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
2 (2024苏州十中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝9，am＋am－1＝79(m≥3)，Sm＝2 024，则m的值为(　　)
A. 100 B. 101
C. 200 D. 92
3 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋2a3＝－1，S4＝0，则Sn的最小值为(　　)
A. －4 B. －3
C. －2 D. －1
4 (2024牡丹江一中期末)在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则S18的值为(　　)
A. 90 B. 40
C. 50 D. 60
5 (2024保定中学期末)已知数列{an}满足an＋1＝an＋6，{an}的前n项和为Sn，则－的值为(　　)
A. 12 B. 6
C. 3 D. 2
6 (2024南通中学月考)设数列{an}和{bn}都为等差数列，记它们的前n项和分别为Sn和Tn，满足＝，则的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且 S5S8，则下列结论中正确的是(　　)
A. d>0
B. a7＝0
C. S9>S5
D. S6与S7均为Sn的最大值
8 (2025启东中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，<－1，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2 024>0
B. Sn的最大值为S2 025
C. |an|的最小值为a2 024
D. S4 048<0
三、 填空题
9 (2024海门中学月考)已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
10 在等差数列{an}中，若S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________．
11 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对任意n∈N*，都有＝，则的值为________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
13 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，2Sn＝n(an＋1－1)，n∈N*.
(1) 求a2，a3的值；
(2) 求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
4．2.3　等差数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1 (2024东台中学月考)在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A. 765 B. 665 C. 763 D. 663
2 (2024常熟中学月考)等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3 (2024江安中学月考)某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10 min，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5 min.根据这个计划，该同学第十天的运动时长为(　　)
A. 45 min B. 50 min
C. 55 min D. 60 min
4 (2024重庆三中二模)已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则an等于 (　　)
A. 3n－2 B. 3n－1
C. 3n＋1 D. 3n＋2
5 (2024南通一中月考)《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，则第九日所织尺数为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中讨论了一些高阶等差数列的求和方法，高阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是后一项与前一项之差或者高阶差成等差数列，如数列2，4，7，11，后一项与前一项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前5项分别为2，6，12，22，38，则该数列的第10项为(　　)
A. 96 B. 142 C. 202 D. 278
二、 多项选择题
7 《周髀算经》是中国古老的天文和数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁．”已知有n个人，他们的年龄之和恰好为十部(即760岁)，其中年龄最小的25岁，年龄最大的m(m≤120)岁，且除了年龄最大的以外，其余n－1人的年龄依次相差2岁，则n的值可以是(　　)
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
8 如图，北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＝9 B. {an}的公差为9
C. a6＝3a3 D. S9＝405
三、 填空题
9 (2024启东中学月考)已知在等差数列{an}中，前2m＋1项和为77，这2m＋1项中的偶数项之和为33，且a2m＋1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________．
10 中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日共走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．(“里”为长度单位)
11 (2025南通部分学校联考)将形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；将64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月为分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月应付款多少元？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少元？
13 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图1，2，3，4为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n(n∈N*)个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求f(6)的值；
(2) 求出f(n)的表达式．
图1　 图2　　 图3　　　　 图4
4．2.3　等差数列的前n项和(1)
1. B　由题意，得2a6－a8＝a4＝6，所以S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.
2. C　设等差数列{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以2a1＋7d＝25，6a1＋d＝57，解得 a1＝2，d＝3，则{an}的公差为3.
3. B　由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，得a8＝0，则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.
4. B　设等差数列{an}的公差为d，所以解得所以a8＝－5＋3×7＝16.
5. C　因为a2＋a3＋a4＝18，a5＝10，所以解得所以S100＝100a1＋d＝10 100.
6. B　由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，所以数列{an}是以a1＝－60为首项，d＝3为公差的等差数列，可得an＝a1＋(n－1)d＝3n－63，所以当n≤21时，an≤0，当n>21时，an>0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋…＋a30＝－×(a1＋a21)＋×(a22＋a30)＝－×(－60＋0)＋×(3＋27)＝765.
7. BD　因为等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝＝na1＋，故A错误，B正确；又a1＝an－(n－1)d，且2Sn＝n(a1＋an)，故Sn＝nan－，故C错误，D正确．故选BD.
8. ABD　因为S9＝S100，所以d＝a11－a10>0，故A，B正确；因为a10＝0，d>0，所以a9＝a10－d<0，所以S9－S8＝a9<0，所以S8>S9，故C错误；由等差数列前n项和公式，得S17＝×17＝×17＝17a9<0，故D正确．故选ABD.
9. 15　由题意，得S5＝＝＝5a3＝15.
10. 　设数列{an}的公差为d.由题意，得10a1＋d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.
11. 26　设等差数列{an}的公差为d，则由题意可得a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，故a11＝－4＋10×3＝26.
12. (1) 设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
得5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，
所以a1＝－1，d＝3.
故{an}的通项公式为an＝3n－4.
(2) 由(1)知an＝3n－4，
得{an}的前n项和为
Sn＝＝＝，
则Sn＝n2－n.
13. (1) 由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
(2) 设等差数列{an}的公差为d.
因为a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，
所以解得则S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝30＋180＝210.
(3) 因为S7＝＝7a4＝42，
所以a4＝6，
所以a1＋an＝a4＋an－3＝6＋45＝51.
因为Sn＝＝＝510，
所以n＝20.
4．2.3　等差数列的前n项和(2)
1. B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
2. D　由题意，得a1＋am＋a2＋am－1＝88.由等差数列的性质，得a1＋am＝a2＋am－1，所以a1＋am＝44，则Sm＝＝22m＝2 024，故m＝92.
3. A　设等差数列{an}的公差为d.因为在等差数列{an}中，a1＋2a3＝－1，S4＝0，所以解得所以a2＝－1，a3＝1，且当n≥3时，an>0，所以Sn的最小值为S2＝a1＋a2＝－4.
4. D　因为{an}为等差数列，所以S6，S12－S6，S18－S12成等差数列．因为S6＝10，S12－S6＝20，所以S18－S12＝2(S12－S6)－S6＝30，所以S18＝30＋30＝60.
5. B　因为an＋1＝an＋6，所以数列{an}是以6为公差的等差数列，所以－＝－＝a1＋3n－a1－3(n－1)＝3，所以数列是以3为公差的等差数列，所以－＝2×3＝6.
6. B　由题意，得＝＝＝＝.
7. BD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，若S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0，故B正确；由S50，则有d＝a7－a6<0，故A错误；对于C，若S9>S5，则a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0.由a7＝0且d<0，得a8<0，必有a7＋a8<0，显然C错误；因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．故选BD.
8. ACD　对于A，因为数列{an}为等差数列，a1>0，<－1，所以数列{an}为递减的等差数列，所以a2 025<0，a2 024>0，故A正确；对于B, 因为数列{an}为递减的等差数列，a2 025<0，a2 024>0，所以Sn的最大值为S2 024，故B错误；对于C，因为a2 025<0，a2 024>0，由<－1，得a2 025<－a2 024，所以a2 025＋a2 024<0，所以|a2 025|>|a2 024|，所以|an|的最小值为|a2 024|，即a2 024，故C正确；对于D, S4 048＝＝2 024(a2 024＋a2 025)<0，故D正确．故选ACD.
9. 5　因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，且S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，所以S9－S6＝5.
10. 2　由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
11. 　因为在等差数列{an}，{bn}中，有＝，所以可设Sn＝an(2n＋3)，Tn＝an(4n－3)，所以＝＝＝＝.
12. (1) 由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
所以an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2) 方法一：因为a1＝9，d＝－2，
所以Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
所以{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，
解得n≤.
因为n∈N*，
所以当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
13. (1) 因为2Sn＝n(an＋1－1)，且a1＝1.
当n＝1时，2a1＝a2－1，所以a2＝3；
当n＝2时，2(a1＋a2)＝2(a3－1)，所以a3＝5.
(2) 由2Sn＝n(an＋1－1)，得2Sn－1＝(n－1)(an－1)，n≥2，
所以2an＝n(an＋1－1)－(n－1)(an－1)，
化简，得nan＋1－(n＋1)an＝1，
所以－＝＝－，
即＋＝＋(n≥2).
由(1)，得＋＝＋＝2，
又＋1＝＋1＝2，
所以数列为常数列，
所以＋＝2，即an＝2n－1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故数列{an}的前n项和为Sn＝＝n2.
4．2.3　等差数列的前n项和(3)
1. B　在小于100的自然数中，所有被7除余2的数组成以2为首项，7为公差的等差数列，所以a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，又n∈N*，所以n＝1，2，…，14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
2. B　由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，所以4(a1＋an)＝280，所以a1＋an＝70.又 Sn＝＝·70＝210，所以n＝6.
3. C　由题意，得他每天运动的时长构成了以10为首项，以5为公差的等差数列，所以该同学第十天的运动时长为10＋5×9＝55(min).
4. B　设等差数列的公差为d，首项为a1，则B－A＝15d＝45，所以d＝3.因为2A＝B＋615，即2A＝A＋45＋615，则A＝660，等差数列的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列，等差数列{an}的前30项中奇数项有15项，所以A＝15a1＋×6＝660，得a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
5. D　由题意，得该女子每日织布的尺数构成等差数列{an}．记等差数列的前n项和为Sn，则解得所以a9＝2＋8＝10.
6. D　设该高阶等差数列为{an}，其前5项分别为2，6，12，22，38，设bn＝an＋1－an，其前4项分别为4，6，10，16.由题意，得bn＋1－bn＝2n，当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝4＋2＋4＋…＋2n－2＝4＋＝n2－n＋4，且b1＝4符合上式，所以bn＝n2－n＋4，即an＋1－an＝n2－n＋4，则a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9)＝2＋4＋6＋10＋16＋24＋34＋46＋60＋76＝278，所以该数列的第10项为278.
7. CD　设n个人的年龄从小到大构成数列{an}，其前n项和为Sn.由题意可知其前n－1项是首项a1＝25，公差d＝2的等差数列，且an－1120，故A错误；若n＝16，则a16＝S16－S15＝760－(25×15＋×2)＝175>120，故B错误；若n＝17，则a17＝S17－S16＝760－＝120≤120.又a16＝25＋15×2＝55<120，故C正确；若n＝18，则a18＝S18－S17＝760－＝63≤120，又a17＝a16＋2＝57≤63，故D正确．故选CD.
8. ABD　设等差数列{an}的公差为d.因为a2＝18，a4＋a6＝90，所以a1＋d＝18，2a1＋8d＝90，解得a1＝9，d＝9，故A，B正确；可得an＝9＋9(n－1)＝9n，则a6＝9×6＝54，3a3＝3×9×3＝81，所以a6≠3a3，故C错误，S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405，故D正确．故选ABD.
9. 23－3n　在等差数列{an}中，前2m＋1项和为77，这2m＋1项中的偶数项之和为33，则奇数项之和为44，则a1＋a3＋…＋a2m＋1＝(m＋1)am＋1＝44，a2＋a4＋…＋a2m＝mam＋1＝33，两式相除，得＝，即m＝3，a4＝11.因为a2m＋1＝a7＝2，所以d＝＝－3，所以数列{an}的通项公式an＝a4－3(n－4)＝23－3n.
10. 120　由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn.根据题意可知S9＝1 260，即S9＝＝9a5＝1 260，所以a5＝140.因为a1＋a4＋a7＝3a4＝390，所以a4＝130，所以d＝a5－a4＝10，所以a3＝a4－d＝120.
11. 35　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，则由解得
12. 购买家电时支付150元，则欠款为1 000元，每月付50元，则需20次付清，设交付150元后的每个月的付款数额依次构成数列{an}，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
……
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即分期付款的第10个月应付款55.5元．
故{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，且1≤n≤20，n∈N*，
所以a1＋a2＋…＋a20＝×20＝1 105，
所以付清全部贷款后，买这件家电实际花费1 105＋150＝1 255(元).
所以分期付款的第10个月应付款55.5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1 255元．
13. (1) 由题意，得f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
则f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，
依此类推可得f(5)－f(4)＝4×4，f(6)－f(5)＝4×5，则f(5)＝41，
所以f(6)＝61.
(2) 由(1)，得f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，
当n≥2，n∈N*时，f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)
＝4(n－1)＋4(n－2)＋…＋4＋1
＝＋1
＝2n2－2n＋1，
显然当n＝1时，f(1)＝1符合上式，
所以f(n)＝2n2－2n＋1，n∈N*.

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