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4.3.1　等比数列的概念及通项公式
一、 单项选择题
1 (2024徐州一中月考)下列数列中是等比数列的是(　　)
A. 1，11，111，1 111
B. 1，－2，4，－8
C. 1，5，25，－125
D. 22，32，42，52
2 已知3，x，27三个数成等比数列，则x的值为(　　)
A. 9 B. －9
C. 9或－9 D. 0
3 (2024天一中学月考)已知等比数列{an}的通项公式为an＝3n+2(n∈N*)，则该数列的公比是(　　)
A. B. 9 C. D. 3
4 (2025淮安中学期中)若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为(　　)
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±9
5 (2024江安中学月考)已知等比数列{an}的公比q>1，且满足a2＋a4＝5，a3＝2，则q的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6 (2024通州中学月考)已知各项为正的数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*).若am≤128，则正整数m的最大值是(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、 多项选择题
7 (2024涟水一中月考)下列数列中是等比数列的是(　　)
A. 1，1，1，1，1
B. 1，2，4，8，16
C. ，，，，
D. －3，－2，－1，0，1
8 (2024海安中学期末)下列结论中，正确的是(　　)
A. 若{an}是等差数列，则{2an}是等比数列
B. 若{an}是等比数列，则{a}是等比数列
C. 若{an}是等比数列，则{an＋an＋1}是等比数列
D. 若{ln an}是等差数列，则{an}是等比数列
三、 填空题
9 (2024盐城一中月考)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝________．
10 (2024扬州中学月考)在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，则数列{an}的通项公式为________.
11 在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则x－y＝________．
四、 解答题
12 (2024白蒲中学月考)在等比数列{an}中，
(1) 已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2) 已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
13 已知三个实数a，b，c成等差数列，且它们的和为27，又a＋5，b＋3，c＋2成等比数列，求实数a，b，c的值．
4.3.1　等比数列的概念及通项公式
1. B　由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不满足．
2. C　因为3，x，27成等比数列，所以x2＝3×27＝81，解得x＝9或x＝－9.
3. D　设公比为q.因为等比数列{an}的通项公式为an＝3n+2(n∈N*)，则a1＝33＝27，a2＝34＝81，所以＝q＝3.
4. C　设这5个数组成的等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a5＝81.因为a5＝a1·q4, 即81＝1×q4，解得q＝±3.
5. A　因为a2＋a4＝5，a3＝2，所以两式相除，得＝，解得q＝2或q＝.因为q>1，所以q＝2.
6. B　由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，得＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝a1qn-1＝2n-1.若am≤128，则2m-1≤128，解得m－1≤7，所以m≤8，则正整数m的最大值是8.
7. ABC　对于A，数列为公比为1的等比数列，故A正确；对于B，数列为公比为2的等比数列，故B正确；对于C，数列为公比为的等比数列，故C正确；对于D，≠，不是等比数列，故D错误．故选ABC.
8. ABD　对于A，由题意，得公差an＋1－an＝d，则＝2d为非零常数，所以{2an}是等比数列，故A正确；对于B，由题意，得公比＝q(q≠0)，则＝q2为非零常数，所以{a}是等比数列，故B正确；对于C，当an＝(－1)n时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，故C错误；对于D，由题意，得ln an＋1－ln an＝ln ＝d，且an>0，则＝ed为非零常数，所以{an}是等比数列，故D正确．故选ABD.
9. －4　由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1.当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件；当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件．
10. an＝n＋6　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意，得(10＋2d)2＝(10－d)(10＋6d)，解得d＝1，故an＝a4＋(n－4)d＝n＋6.
11. －8或－24　由已知得x2＝16，16＝x＋y，解得或所以x－y＝－8或x－y＝－24.
12. (1) 因为＝＝q4＝4，所以q2＝2.
又q>0，所以q＝，
所以an＝a3qn-3＝4×()n-3＝2.
(2) 因为a3＝a1×q2，即8＝2q2，
所以q2＝4，所以q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn-1＝2×2n-1＝2n，
当q＝－2时， an＝a1qn-1＝2×(－2)n-1＝(－1)n-12n，
所以数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n-12n.
13. 设公差为d，因为a＋b＋c＝27，
所以b－d＋b＋b＋d＝27，解得b＝9.
又a＋5，b＋3，c＋2成等比数列，
所以(14－d)(11＋d)＝122，
解得d＝5或d＝－2，
所以或

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