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4．3.2　等比数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1 (2024无锡一中期末)在等比数列{an}中，a4＝48，a6＝12，则a4与a6的等比中项为(　　)
A. 24 B. －24 C. ±24 D. 30
2 (2024启东一中月考)已知{an}为等比数列，若a5a7＝2，则a2a4a8a10的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于(　　)
A. 32 B. 16 C. 12 D. 8
4 (2024南京一中月考)若数列{an}是公比为q的等比数列，且log2a4＋log2a13＝3，a6a10＝4，则q的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4
5 已知等差数列{an}满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定
6 (2025海安中学月考)已知m，n，p，q∈N*，且数列{an}是等比数列，则“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
7 (2024江安中学月考)设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9＝64，则下列结论中正确的是(　　)
A. a5＝4
B. 当a1＝1时，q＝±
C. a1和a9的等比中项为4
D. a1＋a9＝8
8 (2024启东中学月考)记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a5，a6∈N*，若T10＝65，则a5＋a6的取值可能为(　　)
A. －7 B. 5 C. 6 D. 7
三、 填空题
9 在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10 (2024苏州六校联考)已知等比数列{an}满足a4＋a8＝－3，a5a7＝2，则a6＝________．
11 (2024牡丹江第二高级中学期末)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝8，anan＋1an＋2＝128，则n＝________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)已知{an}为等比数列．
(1) 若a2a4＝，求a1aa5的值；
(2) 若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(3) 若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
13 已知数列{an}的递推公式为an＝
(1) 求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2) 求{an}的通项公式．
4．3.2　等比数列的通项公式及性质
1. C　由题意，得a4与a6的等比中项为±＝±＝±24.
2. B　因为a5a7＝2，所以a2a4a8a10＝a2a10a4a8＝(a5a7)2＝4.
3. B　因为＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2×23＝24＝16.
4. A　由log2a4＋log2a13＝3，得a4>0，a13>0，则an>0.又log2a4a13＝3，所以a4a13＝23＝8，而a4a12＝a6a10＝4，所以q＝＝2.
5. A　因为a1＝－8，a2＝－6，所以d＝a2－a1＝2，则an＝2n－10，所以a4＝－2，a5＝0.设a1，a4，a5都加上同一个数x，则得到的三个新数依次为x－8，x－2，x，则(x－8)x＝(x－2)2，解得x＝－1.
6. B　设等比数列{an}的公比为b.若aman＝apaq，则a1bm-1·a1bn-1＝a1bp-1·a1bq-1.因为a1不等于0，所以bm＋n-2＝bp＋q-2.若b＝±1时，无法得出m＋n＝p＋q，所以充分性不成立；若m＋n＝p＋q，则aman＝a1bm-1·a1bn-1＝abm＋n-2＝abp＋q-2＝a1bp-1·a1bq-1＝apaq，所以必要性成立．故“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的必要且不充分条件．
7. AB　对于A，由等比数列的性质，得a1a5a9＝a＝64，即a5＝4，故A正确；对于B，当a1＝1时，a5＝a1·q4＝4，所以q＝±，故B正确；对于C，因为a1a9＝a＝16，所以a1和a9的等比中项为4或－4，故C错误；对于D，当a1＝1时，a5＝4，a9＝16，故a1＋a9＝17，故D错误．故选AB.
8. BD　因为T10＝a1·a2·…·a10＝(a5·a6)5＝65，所以a5·a6＝6.又a5，a6∈N*，2×3＝6，1×6＝6，所以a5＋a6＝5或a5＋a6＝7.故选BD.
9. 8　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10. －　由a5a7＝2，得a4a8＝2，所以a＝2，故a6＝±.由a4＋a8＝－3<0，a4a8＝2>0，得a4，a8均为负数，故等比数列{an}中偶数项均为负数，即a6＝－.
11. 16　设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝4，所以aq3＝4.因为a4a5a6＝8，所以aq12＝8，所以q9＝2.因为anan＋1an＋2＝128，所以aq3n＝128，可得q3n-3＝32＝q45，解得n＝16.
12. (1) 在等比数列{an}中，因为a2a4＝，
所以a＝a1a5＝a2a4＝，
所以a1aa5＝×＝.
(2) 由等比中项的性质，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，化简条件，得a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.
因为an>0，
所以a3＋a5＝5.
(3) 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
13. (1) 因为an＝2an－1＋1(n≥2)，
所以an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)(n≥2).
易证an>0(n≥1)，则an－1＋1>0(n≥2)，
可得＝2(n≥2)，
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2) 由(1)知，an＋1＝2n(n≥1)，
即an＝2n－1(n≥1)，
所以{an}的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*).

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