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4．3.3　等比数列的前n项和(1)
一、 单项选择题
1 (2024淮安期末)已知等比数列{an}的公比为2，且前n项和为Sn，a1＝1，则S5的值为(　　)
A. 15 B. 31
C. 63 D. 127
2 等比数列1，，，，…的前n项和为(　　)
A. 2－ B. 1－
C. D. 2－
3 (2024南通一中月考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2＝－3，S3＝7，则公比q的值为(　　)
A. －3 B. －
C. 3或 D. －3或－
4 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝32n+1＋m，则实数m的值为(　　)
A. 3 B. 9 C. －9 D. －3
5 (2025景德镇月考)在正项等比数列 {an}中，Sn 是其前n项和，若a2＝a3＋2a4, S2＝16，则S6的值为(　　)
A. 20 B. 21 C. 24 D. 28
6 (2025株洲期末)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、 多项选择题
7 已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项和S3＝21，则S5的值可能是(　　)
A. 35 B. － C. D. 1
8 (2024衡阳一中期末)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列结论中正确的是(　　)
A. q＝2
B. ＝9
C. S3，S6，S9成等比数列
D. Sn＝2an－a1
三、 填空题
9 (2024太仓中学月考)若数列{an}的前n项和为Sn＝2n－11，则a3＝________．
10 (2024南京三中月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
11 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n-1－1(λ∈R)，则a7＝________．
四、 解答题
12 (2024江安中学月学)在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1) 若a1＝8，an＝，Sn＝，求n的值；
(2) 若S3＝，S6＝，求an及Sn.
13 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2(an－1).
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设bn＝a2n，求数列{bn}的前20项和T20.
4．3.3　等比数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1 (2024兴化中学月考)已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为(　　)
A. 8 B. －2 C. 4 D. 2
2 (2024南通中学月考)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝6，则的值为(　　)
A. B. C. D.
3 已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n-1，则Sn等于(　　)
A. 2n－1 B. 2n-1－1
C. 2n－n－1 D. 2n+1－n－2
4 (2024重庆巴蜀中学期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝10，S6＝30，则的值为(　　)
A. 2 B. C. D. 4
5 (2024重庆八中期中)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A. －2 B. 2 C. －3 D. 3
二、 多项选择题
7 (2024靖远四中期末) 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则满足不等式≤的n的值可能为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8 (2024天星湖中学期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝k·2n－1，k∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列{an}的首项不可能为0
B. 当k≠0时，{an}偶数项的符号相同
C. 当k＝1时，{an}一定是等比数列
D. 当k≠1时，{an}有可能是等比数列
三、 填空题
9 (2024泰州中学月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________．
10 (2024海门中学月考)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项的和比偶数项的和少100，则数列{an}的所有项之和为________．
11 (2024南京一中月考)已知等比数列{an}的前n项和满足Sn，满足Sm＝30，S2m＝90，则S3m＝________．
四、 解答题
12 正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝7，S6＝63.
(1) 求公比q；
(2) 求证：数列S3，S6－S3，S9－S6是等比数列．
13 (2024盐城中学月考)已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
4．3.3　等比数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)某工厂去年产值为a，计划今后5年每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　)
A. 1.14a B. 11a(1.15－1)
C. 1.15a D. 10a(1.16－1)
2 (2025南京一中月考)已知数列{an}满足an＋1＝a，a1＝2，则数列{log2an}的前8项和为(　　)
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
3 (2024天津杨村一中月考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟(　　)
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
4 (2024北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第三天走的路程为(　　)
A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里
5 (2024葫芦岛期末)“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为(　　)
A. 230万元 B. 234万元
C. 245万元 D. 260万元
6 (2024武汉二中期末)已知数列{an}为等比数列，a1＝，公比q＝2，若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取最小值时n为(　　)
A. 8 B. 9
C. 8或9 D. 9或10
二、 多项选择题
7 一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下列结论中正确的是(　　)
A. Sn<500
B. Sn≤500
C. Sn的最小值为
D. Sn的最大值为400
8 (2024合肥一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S8＝3S4，若 n∈N*，＝q(q是常数)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列是等比数列
B. 数列{Sn＋1－Sn}是等比数列
C. a2 025＝2506
D. S2 024－S2 023＝2506
三、 填空题
9 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________s，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)
10 (2025潍坊一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝S2，则＝________．
11 (2024天一中学月考)如图，画一个边长为4 cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是________cm2.
四、 解答题
12 (2024镇江一中期中)已知数列{an}为等差数列，a1＝3，数列{bn}为等比数列，公比为2，且a4－a2＝6，b2＝4.
(1) 求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}满足cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
13 (2024梅州中学期末)新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换2 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆．
(1) 求第3年该市投入的电力型公交车、混合动力型车分别是多少辆(注：3年后该市燃油型公交车未被全部更换)；
(2) 设经过n年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市n年后被更换的公交车总数S(n)；
(3) 若该市计划5年内完成全部更换，求m的最小值．
4．3.3　等比数列的前n项和(1)
1. B　因为a1＝1，q＝2，所以S5＝＝＝31.
2. D　设该数列为{an}，数列{an}的公比为q.由题意知，a1＝1，a2＝，所以q＝＝，所以数列{an}的前n项和Sn＝＝2＝2－.
3. D　S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7，将a2＝a1q＝－3代入，得－3－3q＝7，即3q2＋10q＋3＝0，解得q＝－3或q＝－.
4. D　当n＝1时，a1＝S1＝32+1＋m＝27＋m；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n+1＋m－[32(n-1)+1＋m]＝8×32n-1.又{an}是等比数列，所以a1＝8×32×1-1＝24＝27＋m，解得m＝－3.
5. B　设正项等比数列 {an}的公比为q(q>0).由a2＝a3＋2a4，得1＝q＋2q2，解得q＝(负值舍去).又S2＝a1＋a2＝16，故S6＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＝16＋16×＋16×＝21.
6. C　显然q≠1，等比数列的前n项和公式为Sn＝＝－qn＋.又Sn＝a·2n－4，所以＝－4，所以Sn＝4×2n－4，故a1＝S1＝4×2－4＝4.
7. AC　设等比数列an＝a1qn-1(q≠0)，则a3＝a1q2＝7，即a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝＝21，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.当q＝1时，an＝a3qn-3＝7，所以S5＝5×7＝35；当q＝－时，an＝a3qn-3＝7×＝28×，所以a1＝28，S5＝＝＝.故选AC.
8. ABD　对于A，a6＝8a3，即＝q3＝8，则q＝2，故A正确；对于B，＝＝＝1＋q3＝9，故B正确；对于C，若S3，S6，S9成等比数列，则S＝S3S9，即(1－q6)2＝(1－q3)(1－q9)，显然不成立，故C错误；对于D，Sn＝＝a1(2n－1)＝2a1·2n-1－a1＝2an－a1，故D正确．故选ABD.
9. 4　由题意，得a3＝S3－S2＝(8－11)－(4－11)＝4.
10. 　设公比为q.因为a＝a6，所以aq6＝a1q5，即a1q＝1，又a1＝，解得q＝2，所以S5＝＝＝.
11. 1 458　等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n-1－1(λ∈R)，当n＝1时，a1＝S1＝λ－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2λ·3n-2.因为{an}为等比数列，所以公比q＝＝＝3，则λ＝3，所以an＝2·3n-1，所以a7＝2×36＝1 458.
12. (1) 由Sn＝，即＝，
解得q＝.
又an＝a1qn-1，即8＝，
所以n＝6.
(2) 由S6≠2S3，知q≠1.
由题意，得
两式相除，得1＋q3＝9，得q＝2，a1＝，
所以an＝×2n-1＝2n-2, Sn＝＝2n-1－.
13. (1) 当n＝1时，S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2；
当n≥2时，由Sn＝2(an－1)，得Sn－1＝2(an－1－1)，
则Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
故{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2×2n-1＝2n.
(2) 由题意，得bn＝a2n＝22n＝4n，
所以{bn}的前20项和为T20＝4＋42＋…＋420＝＝.
4．3.3　等比数列的前n项和(2)
1. D　由＝q，得q＝＝2.
2. B　由题意，得S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝10.因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6是等比数列，所以(S9－S6)·S3＝(S6－S3)2，解得S9－S6＝9，所以S9＝19，故＝.
3. D　因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n+1－n－2.
4. A　因为S6－S3＝q3S3，即20＝10q3，解得q3＝2，所以＝q3＝2.
5. B　因为等比数列有2n＋1项，所以奇数项有n＋1项，偶数项有n项．设公比为q，得到奇数项为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n-1)＝85，偶数项为q＋q3＋q5＋…＋q2n-1＝42，整体代入，得q＝2，所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，解得n＝3.
6. B　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.因为＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.
7. ABC　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝2.又a1·24－a1·22＝12，所以a1＝1，所以an＝2n-1，Sn＝＝2n－1，＝＝2－21-n≤，整理，得21-n≥＝2-6，解得n≤7，所以n的值可能为5，6，7.故选ABC.
8. BC　因为数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝k·2n－1，则an＝Sn－Sn－1＝k·2n－k·2n-1＝k·2n-1，n≥2，且a1＝2k－1，当k＝时，a1＝2k－1＝0，故A错误；当k≠0时，an的符号由k确定，故B正确；当k＝1时，an＝2n-1为等比数列，故C正确；当k≠1时，a1＝2k－1≠1，当n≥2时，an＝k·2n-1，此时k≠2k－1，即a1不适合通项公式，数列{an}不是等比数列，故D错误．故选BC.
9. 3　由S3＝3，S6－S3＝q3S3，得81＝q3×3，所以q＝3.
10. 300　S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝2S奇．由题意，得S奇＋100＝S偶，即S奇＋100＝2S奇，解得S奇＝100，S偶＝200，故数列{an}的所有项之和是100＋200＝300.
11. 210　由等比数列的性质，得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，即602＝30×(S3m－90)，所以S3m＝210.
12. (1) 因为正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝7，S6＝63，
所以q≠1，故可得q＝2.
(2) 由(1)，得＝－1，
所以S9＝(1－q9)＝511，
所以S3＝7，S6－S3＝56，S9－S6＝448.
又7×448＝562，
所以(S6－S3)2＝(S9－S6)·S3，
故数列S3，S6－S3，S9－S6是等比数列．
13. 方法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1.
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
所以S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
所以S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
所以S＋S＝[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝(1－qn)2(2＋2qn＋q2n).
又Sn(S2n＋S3n)＝(1－qn)(2－q2n－q3n)＝(1－qn)2(2＋2qn＋q2n)，
所以S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
方法二：根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
所以S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝Sn[Sn(1＋qn)＋Sn＋qnSn＋q2nSn]＝S(2＋2qn＋q2n)，
所以S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
4．3.3　等比数列的前n项和(3)
1. B　从今年起到第5年，这个厂的总产值为a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1).
2. C　由an＋1＝a，a1＝2，得log2a1＝1，log2an＋1＝2log2an，所以数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{log2an}的前8项和为＝255.
3. C　由题意，得羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列，设马主人应偿还x升粟，则x＋x＋2x＝50，解得x＝，所以马主人应偿还升粟．
4. C　由题意，得此人6天中每天走的路程是公比为的等比数列．设这个数列为{an}，前n项和为Sn，则S6＝＝a1＝378，解得a1＝192，所以a3＝192×＝48，即该人第三天走的路程为48里．
5. C　由题意，得这五年投入的金额构成首项为80，公比为的等比数列，这五年的旅游收入构成首项为200，公差为30的等差数列，所以这五年投入的资金总额是＝1 055(万元)，这五年的旅游总收入是 5×200＋×30＝1 300(万元)，所以这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为1 300－1 055＝245(万元).
6. C　由题意，得Tn＝a1·a2·…·an＝a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1＝a·q1+2+…＋n-1＝a·q＝·2＝，函数y＝n2－n图象的开口向上，对称轴为n＝.又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，y＝n2－n取最小值，即Tn取最小值．
7. AC　由题意知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×；第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×；…；第n次着地时，Sn＝100＋200×＋200×＋…＋200×，则Sn＝100＋200[＋＝100＋400[1－]，显然 Sn<500，Sn是关于n的增函数，又n≥2，n∈N*，故当n＝2时，Sn有最小值为100＋＝.故选AC.
8. BC　由题意，得{an}是公比为q的等比数列．若q＝1，则S8＝8a1≠3S4＝12a1，所以q≠1.又a1＝1，所以Sn＝，所以＝＝＝＝q＋，不是定值，故不是等比数列，故A错误；因为Sn＋1－Sn＝－＝＝qn，所以＝＝q，是定值，故{Sn＋1－Sn}是等比数列，故B正确；因为＝＝1＋q4＝3，所以q4＝2，所以a2 025＝a1·q2 024＝(q4)506＝2506，故C正确；S2 024－S2 023＝a2 024＝a1q2 023＝q2 023≠2506，故D错误．故选BC.
9. 39　由已知，得病毒每复制一次所占内存的大小构成首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，则an＝2n，令2n＝8×210＝213，则n＝13，即病毒共复制了13次，故开机13×3＝39(s).
10. 　设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0.若S4＝S2，即a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)，变形可得a3＋a4＝(a1＋a2)，则有q2＝，即q＝，则＝＝q3＝.
11. 31　记这些正方形的边长为an，则a1＝4，a2＝2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，为公比的等比数列，所以这5个正方形的面积的和为S5＝＝32×＝31.
12. (1) 设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a2＝6，所以2d＝6，d＝3.
又a1＝3，所以an＝3＋(n－1)·3＝3n.
因为等比数列{bn}的公比为2，b2＝4，
所以bn＝b2·2n-2＝4·2n-2＝2n.
(2) 结合(1)，得Tn＝a1＋a2＋…＋an＋b1＋b2＋…＋bn＝＋＝＋2n+1－2.
13. (1) 设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量．
由题意，得数列{an}是首项为64，公比为的等比数列，
{bn}是首项为100，公差为m的等差数列，
所以第三年投入的电力型公交车的数量为a3＝64×＝144，
第三年投入的混合动力型公交车的数量为b3＝100＋(3－1)m＝100＋2m.
(2) 由(1)，得{an}的前n项和为An＝＝128，
{bn}的前n项和为Bn＝100n＋m，
所以经过n年后，该市被更换的公交车总数为S(n)＝An＋Bn＝128×＋100n＋m.
(3) 若计划5年内完成全部更换，则S(5) ≥2 000，
所以128×＋100×5＋m≥2 000，
得10m≥656，得m≥65.6.
又m∈N*，所以m的最小值为66.

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