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5.1.1　平均变化率
一、 单项选择题
1 (2024天星湖中学月考)已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于(　　)
A. B. － C. 1 D. －1
2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线AB的倾斜角为 B. 直线AB的倾斜角为
C. 直线AB的斜率为－ D. 直线AB的斜率为－
3 (2025启东一中月考)已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4 (2024盐城中学月考)对于下列四个函数，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是(　　)
A. y＝x B. y＝x2 C. y＝x3 D. y＝
5 已知函数f(x)＝ln (x＋1)，则f(1)，，的大小关系为(　　)
A. f(1)<< B. C. <6 (2025天一中学月考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　)
A. [1，2] B. [2，3]
C. [3，4] D. [4，7]
二、 多项选择题
7 下列关于平均变化率的说法中，正确的是(　　)
A. 函数f(x)＝3x＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3
B. 对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等
C. 一次函数在其定义域内的任一区间上的平均变化率与其对应直线的斜率相等
D. 已知函数y＝x3－2，则当x＝2时，＝(Δx)2＋6Δx
8 (2024阜阳一中月考)如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
三、 填空题
9 若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________．
10 函数f(x)＝x，g(x)＝x2在区间[0，1]上的平均变化率分别记为k1，k2，则k1，k2的大小关系为________．
11 (2024江安中学月考)某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，下表给出了c(t)的一些函数值：
t/min 0 10 20 30 40
c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00
t/min 50 60 70 80 90
c(t)/(mg/mL) 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min).
四、 解答题
12 已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
(1) 指出三个函数在区间[0，＋∞)上的单调性；
(2) 取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2，求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4)上的平均变化率(列成表格即可)；
(3) 分析三个函数在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．
13 (2024张家港中学月考)为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5s，乙车从18 m/s到0 m/s 花了4s，试比较两辆车的刹车性能．
5.1.1　平均变化率
1. B　由题意，得Δy＝－(2＋1)＝－.
2. A　因为f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，所以＝＝，所以f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，则kAB＝，故直线AB的倾斜角为.
3. A　因为f(3)＝11，f(1)＝3，所以该函数在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝4.
4. C　由题意，得A，B，C，D的四个函数在区间[1，2]上函数的平均变化率依次为＝＝1，＝＝3，＝＝7，＝＝－，故平均变化率最大的是C.
5. C　如图，作出函数 f(x)＝ln (x＋1)的图象．由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．因为1<2<3，所以>>，即f(1)>>.
6. C　函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象，得在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的Δy最大，所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大．
7. ABC　对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等，与一次函数对应直线的斜率相等，故A，B，C正确；因为函数y＝x3－2，所以当 x＝2时，＝＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，故D错误．故选ABC.
8. BC　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．故选BC.
9. 5　由题意，得＝＝2，即t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去).
10. k1＝k2　由题意，得k1＝＝1，k2＝＝1，故k1＝k2.
11. －0.002　由题意，得＝＝－0.002 mg/(mL·min).
12. (1) 根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知，函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在区间[0，＋∞)上都单调递增．
(2) 列表如下：
[0，2] [2，4] [4，6] [6，8]
f1(x)＝2x 2 2 2 2
f2(x)＝x2 2 6 10 14
f3(x)＝2x 6 24 96
(3) 由上表可知，函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量为Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快得多．
13. 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2).
乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减小，
因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，
所以甲车的刹车性能较好．

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