资源简介

5.2.1　基本初等函数的导数
一、 单项选择题
1 (2024兴化中学月考)下列求导运算中正确的是(　　)
A. (cos x)′＝－sin x
B. (x3)′＝x3ln x
C. (ex)′＝xex-1
D. (ln x)′＝
2 (2025启东汇龙中学月考)函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)
A. 9 B. 6 C. 9ln 3 D. 6ln 3
3 (2024大同期末)曲线f(x)＝在点(9，f(9))处的切线方程为(　　)
A. x－6y＋9＝0 B. 3x－2y－21＝0
C. 9x－2y－75＝0 D. x－2y＋3＝0
4 (2025镇江实验高级中学期初)已知函数f(x)＝2x，则 的值为(　　)
A. 4ln 2 B. C. D.
5 (2024海安实验中学月考)曲线y＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定
6 已知直线y＝ex＋a与曲线y＝ln x相切，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. －2
C. D. e
二、 多项选择题
7 (2024南通一中月考)下列求导运算中，正确的是(　　)
A. (x7)′＝7x6
B. (x-1)′＝x-2
C. ()′＝x－
D. (cos 2)′＝－sin 2
8 下列求导运算中，正确的是(　　)
A. (2x)′＝2xlog2e
B. ()′＝
C. (sin 1)′＝cos 1
D. (log3x)′＝
三、 填空题
9 (2024上海闵行期末)已知f(x)＝sin x，则 ＝________．
10 (2024金沙中学月考)已知函数f(x)＝ln x，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为________．
11 过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
四、 解答题
12 (2024徐州一中月考)求下列函数的导数：
(1) y＝x12；
(2) y＝；
(3) y＝；
(4) y＝3x；
(5) y＝log5x.
13 (2024启东中学月考)已知P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
5.2.1　基本初等函数的导数
1. A　对于A，(cos x)′＝－sin x，故A正确；对于B，(x3)′＝3x2，故B错误；对于C，(ex)′＝ex，故C错误；对于D，(ln x)′＝，故D错误．
2. C　由题意，得y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.
3. A　由题意，得f(9)＝＝3，则切点的坐标为(9，3).因为f′(x)＝，所以f′(9)＝，即曲线f(x)＝在切点(9，3)处的切线斜率k＝，所以切线方程为y－3＝(x－9)，即x－6y＋9＝0.
4. A　因为f′(x)＝2x ln 2，所以 ＝f′(2)＝22ln 2＝4ln 2.
5. B　设切点的坐标为(x0，y0).由y＝x3，得y′＝3x2.令3x＝1，解得x0＝±，故斜率等于1的切线有2条．
6. B　设切点为P(x0，y0)，由y＝ln x，得y′＝.因为直线y＝ex＋a与曲线y＝ln x相切，所以＝e，解得x0＝，y0＝ln ＝－1，所以P.又点P在直线y＝ex＋a上，所以－1＝e×＋a，解得a＝－2.
7. AC　显然A，C正确；对于B，(x-1)′＝－x-2，故B错误；对于D，(cos 2)′＝0，故D错误．故选AC.
8. BD　对于A，(2x)′＝2x ln 2，故A错误；对于B，()′＝(x)′＝x－＝，故B正确；对于C，(sin 1)′＝0，故C错误；对于D，(log3x)′＝，故D正确．故选BD.
9. 1　因为f′(x)＝cos x，所以 ＝f′(0)＝cos 0＝1.
10. y＝x　因为f′(x)＝，f(e)＝ln e＝1，所以切线的斜率k＝f′(e)＝，切点的坐标为(e，1)，故切线的方程为y－1＝(x－e)，即y＝x.
11. (1，e)　y＝ex　设切点坐标为(x0，y0).因为 y′＝ex，所以切线的斜率为ex0，则ex0＝.又 y0＝ex0，得x0＝1，所以切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
12. (1) y′＝(x12)′＝12x11.
(2) y′＝′＝(x-4)′＝－4x-5＝－.
(3) y′＝()′＝′＝x－.
(4) y′＝(3x)′＝3x ln 3.
(5) y′＝(log5x)′＝.
13. 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
由点到直线的距离公式，得最小距离为.

展开更多......

收起↑