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5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
一、 单项选择题
1 (2024通州中学月考)记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝ex sin x，则f′(x)等于(　　)
A. ex sin x－ex cos x B. ex sin x＋ex cos x
C. ex cos x D. ex＋cos x
2 (2024如东中学月考)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
3 已知函数f(x)＝2x3－mex(m∈R)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线经过定点(　　)
A. (－1，0) B. (0，0) C. (1，0) D. (2，0)
4 已知函数f(x)＝＋ax，若f′(0)＝2，则f(2)的值为(　　)
A. B. 2
C. D. 3
5 (2024姜堰中学月考)设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A. e2 B. e
C. D. ln 2
6 (2024启东中学月考)设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
A. (0，＋∞) B. (－1，0)∪(2，＋∞)
C. (2，＋∞) D. (－1，0)
二、 多项选择题
7 (2024临沂期末)下列求导运算中，正确的是(　　)
A. [cos (－x)]′＝sin x
B. ′＝
C. ()′＝x
D. (1－x3)′＝1－3x2
8 (2024南通一中月考)当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，x0的值可以是(　　)
A. a B. 0 C. －a D. a2
三、 填空题
9 (2024盐城中学月考)已知函数f(x)＝(x2＋2x)，则f′(1)＝________.
10 (2024苏州十中月考)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
11 若函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数b的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)求下列函数的导数：
(1) y＝(x2＋9)；
(2) y＝.
13 已知a为实数，函数f(x)＝(x－a).
(1) 若f′(1)＝0，求实数a的值；
(2) 若a＝3，求函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程．
5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
1. B
2. B　因为f′(x)＝x2－2x，所以k＝f′(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为.
3. A　因为f(x)＝2x3－mex，所以f′(x)＝6x2－mex，则f′(0)＝－m.又f(0)＝－m，则切线方程为y＋m＝－mx，即y＝－m(x＋1).令x＋1＝0，得y＝0，即切线不受参数m的影响，恒过定点(－1，0).
4. A　f(x)＝＋ax，则f′(x)＝＋a.因为f′(0)＝2，所以f′(0)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x，所以f(2)＝＋2＝.
5. B　因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
6. C　由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞).又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞).
7. BC　对于A，′＝(cos x)′＝－sin x，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，()′＝(x)′＝x，故C正确；对于D, (1－x3)′＝－3x2，故D错误．故选BC.
8. AC　由题意，得y′＝′＝＝.由x－a2＝0，得x0＝±a.故选AC.
9. 　因为f′(x)＝(2x＋2)＋，所以f′(1)＝4＋＝.
10. 1　因为f′(x)＝－f′sin x＋cos x，所以f′＝－f′×＋，得f′＝－1，所以f(x)＝(－1)cos x＋sin x，所以f ＝1.
11. (－4，＋∞)　函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋4x＋b.由题意，得 x>0，f′(x)>0.因为＋4x＋b≥2＋b＝4＋b，当且仅当＝4x，即x＝时取等号，所以4＋b>0，解得b>－4，故实数b的取值范围为(－4，＋∞).
12. (1) y＝x3＋6x－，y′＝3x2＋＋6.
(2) y′＝＝＝.
13. (1) 由题意，得函数的定义域为[0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝(x>0).
因为f′(1)＝0，即＝0，所以a＝3.
(2) 当a＝3时，f(x)＝(x－3)，f′(x)＝，
所以f′(4)＝，f(4)＝2，
所以函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程为 y－2＝(x－4)，即y＝x－7.

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