资源简介

5.3.1　单　调　性(1)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝x3－3x＋1的单调减区间是(　　)
A. (1，2)
B. (－1，1)
C. (－∞，－1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
2 (2024上海建平中学月考)已知函数y＝f(x)＝x＋ln x，则y＝f(x)的单调增区间为(　　)
A. (－∞，－1)
B. (0，＋∞)
C. (－1，0)
D. (0，1)
3 (2024淮阴中学月考)已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　)
A. (－2，0)∪(2，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D. (－2，－1)∪(1，2)
4 已知函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调减区间是(　　)
A. (－1，0)
B.
C. (－∞，－1)，(0，＋∞)
D. ，(0，＋∞)
5 (2025盐山中学期初)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
A B C D
6 (2024通州中学月考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A. y＝sin x B. y＝xex
C. y＝x3－x D. y＝ln x－x
二、 多项选择题
7 (2024常州一中月考)关于函数f(x)＝x ln x，下列说法中正确的是(　　)
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递减
8 (2024启东一中月考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在区间(－2，1)上，f(x)单调递增
B. 在区间(1，2)上，f(x)单调递增
C. 在区间(4，5)上，f(x)单调递增
D. 在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增
三、 填空题
9 函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
10 已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x－2sin x，则f(x)的单调增区间为________．
11 (2024山东菏泽一中段测)函数f(x)＝x ln x－2x的单调减区间是________．
四、 解答题
12 (2024丹阳中学月考)求证：函数y＝f(x)＝在区间(0，e)上是严格增函数．
13 已知函数f(x)＝ex－x.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
5．3.1　单　调　性(2)
一、 单项选择题
1 (2024白蒲中学月考)若函数f(x)＝－x3－2ax＋3的单调增区间为(－2，2)，则实数a的值为(　　)
A. －6 B. 6
C. 6或－6 D. 0
2 (2024重庆巴蜀中学期末)已知函数y＝f(x)在区间D上连续可导，则“f′(x)≥0在区间D上恒成立”是“f(x)在区间D上单调递增”的(　　)
A. 必要且不充分条件
B. 充分且不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024河南师大附中月考)若函数f(x)＝x3－ax2＋x存在单调减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－1，1]
B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. (－1，1)
D. (－∞，－1]∪[1，＋∞)
4 (2024海安中学月考)已知函数f(x)＝x－－2ln x是增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)
C. [0，＋∞) D. [1，＋∞)
5 已知函数f(x)＝，若a＝f(4)，b＝f(5.3)，c＝f(6.2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
6 (2024北京海淀期中)若函数f(x)＝－ln x在区间(0，k)上不单调，则实数k的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (0，1]
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝e2x－kx(k∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递增，则k的取值可以为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 (2024蒙城二中月考)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围可以是(　　)
A. [4，＋∞) B. (－∞，2]
C. (1，2] D. (0，3]
三、 填空题
9 (2025广东部分学校期初)已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋1)7 在R上单调递增，则2a＋b的取值范围为________．
10 (2024海门实验中学期中)已知函数f(x)＝(x2－2ax＋1)ex，若函数f(x)在区间 (－1，0)上存在单调增区间，则实数a的取值范围为________．
11 (2024上海宜川中学期末)已知函数y＝x3＋(b＋1)x 有三个单调区间，则实数b的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024新海高级中学月考)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
13 (2024新华中学月考)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1) 若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 若f(x)存在减区间，求实数a的取值范围．
5.3.1　单　调　性(1)
1. B　因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3.由3x2－3＜0，得－1＜x＜1，故函数f(x)的单调减区间是(－1，1).
2. B　由题意，得函数的定义域为(0，＋∞).由f(x)＝x＋ln x，得f′(x)＝1＋＝，由f′(x)>0，得x>0或x<－1.又函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以x>0，即f(x)的单调增区间为(0，＋∞).
3. C　由图可知f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故不等式f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
4. B　因为f′(x)＝3x2－2mx，所以 f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，所以由f′(x)＝3x2＋4x<0，得－5. D　由导函数y＝f′(x)的图象可知，当x<0时，f′(x)<0，所以y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，可排除A，C；当00，所以y＝f(x)在区间(0，2)上单调递增，可排除B；当x>2时，f′(x)<0，所以y＝f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，D均符合，故D正确．
6. B　易得(sin x)′＝cos x，(xex)′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，(x3－x)′＝3x2－1，(ln x－x)′＝－1，当x∈(0，＋∞)时，(xex)′＝ex(1＋x)>0恒成立，所以函数y＝xex在区间(0，＋∞)上单调递增．
7. AC　由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1(x>0).由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得08. BC　由题图知当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在区间(1，2)，(4，5)上，f(x)单调递增；当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，所以在区间(－3，－2)，(－2，－1)上，f(x)单调递减．故选BC.
9. (1，2)　由题意，得f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，故函数f(x)的单调减区间是(1，2).
10. 　由题意，得f′(x)＝－2cos x，令f′(x)>0，得cos x<.又x∈(0，π)，所以11. (0，e)　易得f(x)＝x ln x－2x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－1.令f′(x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，若f′(x)<0，则x∈(0，e)，所以f(x)＝x ln x－2x的单调减区间为(0，e).
12. 由题意，得f′(x)＝′＝＝，
由0所以1－ln x>0，所以f′(x)>0，
所以函数f(x)在区间(0，e)上是严格增函数．
13. (1) 由题意，得f(0)＝1，即切点坐标为(0，1).
又f′(x)＝ex－1，则f′(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2) 由f(x)＝ex－x，得f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞).
5．3.1　单　调　性(2)
1. A　由题意，得f′(x)＝－3x2－2a.因为函数f(x)的单调增区间为(－2，2)，所以x＝2和x＝－2是方程－3x2－2a＝0的两根，故－12－2a＝0，解得a＝－6.
2. A　当f(x)＝1时，f′(x)＝0≥0，此时f(x)＝1不是增函数；若f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立，所以“f′(x)≥0在区间D上恒成立”是“f(x)在区间D上单调递增”的必要且不充分条件．
3. B　由题意，得f′(x)＝x2－2ax＋1.由f(x)存在递减区间，得存在x使f′(x)<0，所以Δ＝4a2－4>0，解得a<－1或a>1.
4. D　因为函数f(x)＝x－－2ln x是增函数，所以f′(x)＝1＋－≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以k≥－x2＋2x，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
5. B　f(x)＝的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝(x＞0)，令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，故f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．因为e＜4＜5.3＜6.2，所以f(4)＞f(5.3)＞f(6.2)，即a＞b＞c.
6. B　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得01.故实数k的取值范围是(1，＋∞).
7. AB　f(x)＝e2x－kx(k∈N*)的导函数为f′(x)＝2e2x－k.要使函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝2e2x－k≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以k≤2e2x(x>0).因为y＝2e2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以2e2x>2，所以k≤2.故选AB.
8. AC　由题意，得f′(x)＝x－＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得09. (0，＋∞)　由题意，得f′(x)＝7(2ax＋b)(ax2＋bx＋1)6≥0恒成立，当且仅当a＝0，b>0时满足题意，故2a＋b的取值范围为(0，＋∞).
10. 　由题意可知f′(x)＝ex(x＋1)(x＋1－2a)，则f′(x)>0在区间(－1，0)上有解，即x＋1－2a>0有解，所以a<在区间(－1，0)内有解，当x∈(－1，0)时，x＋1∈(0，1)，则∈，所以a<.
11. (－∞，－1)　由题意，得y′＝4x2＋b＋1.因为函数y＝x3＋(b＋1)x 有三个单调区间，所以方程4x2＋b＋1＝0必有两个不等的实根，则有－b－1>0，解得b<－1.
12. 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；
当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝－，
所以当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
综上所述，当a≥0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当a<0时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
13. (1) 由题意知，f′(x)＝2x－4＋≥0在区间[2，＋∞)上恒成立，
则a≤2x2－4x＋2恒成立．
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，x≥2，则a≤g(x)min.
因为g(x)在区间[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2，
所以a≤2.
故实数a的取值范围为(－∞，2].
(2) 由题意，得f′(x)＝2x－4＋<0在区间(0，＋∞)上有解，
即a>2x2－4x＋2＝2(x－1)2在区间(0，＋∞)上有解，则a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞).

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