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广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·凤山期末）计算的结果是（　　）
A． B．2 C． D．0
2．（2024八下·凤山期末）下列y关于x的函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·凤山期末）如图，四边形是菱形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·凤山期末）小明期末语、数、英三科的平均分为90分，他记得语文是88分，数学92分，把英语成绩忘记了，则小明的英语成绩得分为（　　）
A．89 B．91 C．90 D．92
5．（2024八下·凤山期末）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．9 D．
6．（2024八下·凤山期末）在中，，则边的长为（　　）
A．3 B．27 C． D．
7．（2024八下·凤山期末）为铸牢中华民族共同体意识，某初中举行主题为“小小石榴籽，共筑中国梦”的合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占计算.某参赛队歌曲内容得9分，演唱技巧得8分，精神面貌得10分，则该参赛队的最终成绩是（　　）分
A．9 B．9.2 C．26.1 D．8.7
8．（2024八下·凤山期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·凤山期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
10．（2024八下·凤山期末）如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（　　）
A． B． C．5 D．2.5
11．（2024八下·凤山期末）如图1，正方形的边长为2，E为的中点，动点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八下·凤山期末）如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八下·凤山期末）函数中，当自变量　 　时，函数值y等于0.
14．（2024八下·凤山期末）一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是　 　.
15．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则　 　°．
16．（2024八下·凤山期末）已知是整数，则正整数n的最小值是　 　.
17．（2024八下·凤山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，AB⊥BC，四边形ABCD的面积为　 　．
18．（2024八下·凤山期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　 　．
19．（2024八下·凤山期末） 计算：
20．（2024八下·凤山期末）如图，已知直线与直线交于点．
（1）当为何值时，；
（2）若时，求x的取值范围．
21．（2024八下·凤山期末）如图，在四边形中，，且，对角线相交于点O，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
22．（2024八下·凤山期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
23．（2024八下·凤山期末）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
24．（2024八下·凤山期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）求（1）中函数的最大值．
25．（2024八下·凤山期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求的长．
26．（2024八下·凤山期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
（1）列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
（4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是反比例比例函数，A错误；
B、是正比例函数，B正确；
C、是二次函数，C错误；
D、不是函数，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的定义逐一进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的性质求出，再利用对角相等可得，从而得解.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：设小明的英语成绩得分为x，
∵语、数、英三科的平均分为90分，
，解得x=90，
故答案为：C.
【分析】根据平均数的定义计算即可.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法和二次根式的性质求解即可.
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AC的长即可.
7．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得（分）
故答案为：D.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，A不符合题意；
B、，
，
，
∴是直角三角形，B不符合题意；
C、，，
，
，
∴是直角三角形，C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B、D，根据三角形的内角和定理可判断C.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
解得：，
点的坐标为，，
；
当时，，
点的坐标为，
．
，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而可得OA和OB的长，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作，
直线，和的夹角，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
【分析】作，先证出是等腰直角三角形，再结合求出即可.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知，当点P在边上时，y的值先减小后增大，当点P在边上时，y的值逐渐减小，
点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
四边形是正方形，
，
，E为的中点，
，
在中
，
，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象分析出当点P在边上时，y的值先减小后增大，当点P在边上时，y的值逐渐减小，点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，再求出，利用勾股定理求出BE的长，从而可得点M的坐标.
12．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点H作，
，
，
，
，，
，
E是的中点，F是的中点，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接，过点H作，先利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出BH的长， 利用线段的和差求出DH的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用中位线的性质可得.
13．【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
解得：．
故答案为：．
【分析】将代入一次函数解析式中求出x即可.
14．【答案】0.5
【知识点】方差
【解析】【解答】解：2，1，3，2的平均数为：，
∴这组数据的方差为：，
故答案为：．
【分析】先求出数据的平均数。再根据方差的公式计算即可.
15．【答案】50
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再结合利用角的运算求出∠OBC的度数即可.
16．【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵是整数，n是正整数，
∴最小的值是4，
∴最小的正整数n的值是2．
故答案为：2．
【分析】根据2n是完全平方数进行求解即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
在Rt△ABC中
AC=
∵在△ACD中， +12=52，
即AD2+CD2=AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB BC+AD CD=×3×4+×2×1=6+．
故答案为：6+
【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积即可.
18．【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；平行四边形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
19．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的除法，再化简二次根式，合并同类项即可.
20．【答案】（1）解：，，
当时，，
解得：.

（2）解：由（1）可知点的坐标为，
由图象可知当时，．

【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据，列出方程，再求出x的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1），，
当时，，
解得；
（2）由（1）可知点的坐标为，
由图象可知当时，．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
.
（2）证明：，且，
四边形是平行四边形，
由（1）已证，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出∠AOB=90°，从而可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：，且，
在四边形是平行四边形，
由（1）已证，
所以在四边形是菱形．
22．【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
23．【答案】（1）90，87，七
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人.
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：∵七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
∴八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数，
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，根据中位数的定义可知中位数；
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七.
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先求出“优秀”的百分比，再乘以200可得答案；
（3）利用平均数和方差的定义及性质分析求解即可.
（1）解：七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数，
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，根据中位数的定义可知中位数；
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
24．【答案】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：，
∴x的取值范围是：.
（2）解：由（1）可知，
∴随x的增大而减小，
当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大，
即，
答：函数的最大值为1300.
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用“剩余的费用=总费用-花费的费用”列出函数解析式即可；
（2）利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：，
其中，x的取值范围是：；
（2）解：由（1）可知，
∴随x的增大而减小，
当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大，
即，
答：函数的最大值为1300.
25．【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
是的平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
矩形为正方形.
（2）解：四边形为正方形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出四边形为矩形，再结合AB=BE，即可证出矩形为正方形；
（2）先求出，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
是的平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
矩形为正方形；
（2）解：四边形为正方形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
26．【答案】（1）1；1
（2）解：如图，
（3）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
（4）解：方程的解为：，
理由如下：画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：1；1；
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论2：函数的图象关于直线对称；
故答案为：函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
【分析】（1）根据函数解析式，将x的值分别代入求出y的值即可；（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；（3）根据函数图象直接分析求解即可；（4）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论21：函数的图象关于直线对称；
（4）解：方程的解为：，理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
1 / 1广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·凤山期末）计算的结果是（　　）
A． B．2 C． D．0
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
2．（2024八下·凤山期末）下列y关于x的函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是反比例比例函数，A错误；
B、是正比例函数，B正确；
C、是二次函数，C错误；
D、不是函数，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的定义逐一进行判断即可.
3．（2024八下·凤山期末）如图，四边形是菱形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的性质求出，再利用对角相等可得，从而得解.
4．（2024八下·凤山期末）小明期末语、数、英三科的平均分为90分，他记得语文是88分，数学92分，把英语成绩忘记了，则小明的英语成绩得分为（　　）
A．89 B．91 C．90 D．92
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：设小明的英语成绩得分为x，
∵语、数、英三科的平均分为90分，
，解得x=90，
故答案为：C.
【分析】根据平均数的定义计算即可.
5．（2024八下·凤山期末）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法和二次根式的性质求解即可.
6．（2024八下·凤山期末）在中，，则边的长为（　　）
A．3 B．27 C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AC的长即可.
7．（2024八下·凤山期末）为铸牢中华民族共同体意识，某初中举行主题为“小小石榴籽，共筑中国梦”的合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占计算.某参赛队歌曲内容得9分，演唱技巧得8分，精神面貌得10分，则该参赛队的最终成绩是（　　）分
A．9 B．9.2 C．26.1 D．8.7
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得（分）
故答案为：D.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可.
8．（2024八下·凤山期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，A不符合题意；
B、，
，
，
∴是直角三角形，B不符合题意；
C、，，
，
，
∴是直角三角形，C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B、D，根据三角形的内角和定理可判断C.
9．（2024八下·凤山期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
解得：，
点的坐标为，，
；
当时，，
点的坐标为，
．
，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而可得OA和OB的长，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
10．（2024八下·凤山期末）如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（　　）
A． B． C．5 D．2.5
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作，
直线，和的夹角，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
【分析】作，先证出是等腰直角三角形，再结合求出即可.
11．（2024八下·凤山期末）如图1，正方形的边长为2，E为的中点，动点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知，当点P在边上时，y的值先减小后增大，当点P在边上时，y的值逐渐减小，
点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
四边形是正方形，
，
，E为的中点，
，
在中
，
，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象分析出当点P在边上时，y的值先减小后增大，当点P在边上时，y的值逐渐减小，点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，再求出，利用勾股定理求出BE的长，从而可得点M的坐标.
12．（2024八下·凤山期末）如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点H作，
，
，
，
，，
，
E是的中点，F是的中点，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接，过点H作，先利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出BH的长， 利用线段的和差求出DH的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用中位线的性质可得.
13．（2024八下·凤山期末）函数中，当自变量　 　时，函数值y等于0.
【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
解得：．
故答案为：．
【分析】将代入一次函数解析式中求出x即可.
14．（2024八下·凤山期末）一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是　 　.
【答案】0.5
【知识点】方差
【解析】【解答】解：2，1，3，2的平均数为：，
∴这组数据的方差为：，
故答案为：．
【分析】先求出数据的平均数。再根据方差的公式计算即可.
15．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则　 　°．
【答案】50
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再结合利用角的运算求出∠OBC的度数即可.
16．（2024八下·凤山期末）已知是整数，则正整数n的最小值是　 　.
【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵是整数，n是正整数，
∴最小的值是4，
∴最小的正整数n的值是2．
故答案为：2．
【分析】根据2n是完全平方数进行求解即可.
17．（2024八下·凤山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，AB⊥BC，四边形ABCD的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
在Rt△ABC中
AC=
∵在△ACD中， +12=52，
即AD2+CD2=AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB BC+AD CD=×3×4+×2×1=6+．
故答案为：6+
【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积即可.
18．（2024八下·凤山期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；平行四边形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
19．（2024八下·凤山期末） 计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的除法，再化简二次根式，合并同类项即可.
20．（2024八下·凤山期末）如图，已知直线与直线交于点．
（1）当为何值时，；
（2）若时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：，，
当时，，
解得：.

（2）解：由（1）可知点的坐标为，
由图象可知当时，．

【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据，列出方程，再求出x的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1），，
当时，，
解得；
（2）由（1）可知点的坐标为，
由图象可知当时，．
21．（2024八下·凤山期末）如图，在四边形中，，且，对角线相交于点O，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：，
，
，
.
（2）证明：，且，
四边形是平行四边形，
由（1）已证，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出∠AOB=90°，从而可得；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：，且，
在四边形是平行四边形，
由（1）已证，
所以在四边形是菱形．
22．（2024八下·凤山期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
23．（2024八下·凤山期末）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）90，87，七
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人.
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：∵七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
∴八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数，
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，根据中位数的定义可知中位数；
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七.
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先求出“优秀”的百分比，再乘以200可得答案；
（3）利用平均数和方差的定义及性质分析求解即可.
（1）解：七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数，
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，根据中位数的定义可知中位数；
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
24．（2024八下·凤山期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）求（1）中函数的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：，
∴x的取值范围是：.
（2）解：由（1）可知，
∴随x的增大而减小，
当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大，
即，
答：函数的最大值为1300.
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用“剩余的费用=总费用-花费的费用”列出函数解析式即可；
（2）利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：，
其中，x的取值范围是：；
（2）解：由（1）可知，
∴随x的增大而减小，
当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大，
即，
答：函数的最大值为1300.
25．（2024八下·凤山期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
是的平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
矩形为正方形.
（2）解：四边形为正方形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出四边形为矩形，再结合AB=BE，即可证出矩形为正方形；
（2）先求出，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
是的平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
矩形为正方形；
（2）解：四边形为正方形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
26．（2024八下·凤山期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
（1）列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
（4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】（1）1；1
（2）解：如图，
（3）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
（4）解：方程的解为：，
理由如下：画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：1；1；
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论2：函数的图象关于直线对称；
故答案为：函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
【分析】（1）根据函数解析式，将x的值分别代入求出y的值即可；（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；（3）根据函数图象直接分析求解即可；（4）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论21：函数的图象关于直线对称；
（4）解：方程的解为：，理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
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