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广东省汕头市澄海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024七下·澄海期末）在实数0，，，中，无理数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是整数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
，是无理数，符合题意；
，是整数，属于有理数，不符合题意，
在实数，，，中，无理数的个数是．
故答案为：B．
【分析】无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、结合算术平方根和立方根的定义判断即可．
2．（2024七下·澄海期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．-2与 B．-2与 C．2与 D． 与
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】A. ＝2，-2与 互为相反数，故本选项正确；
B. ＝﹣2，-2与 相等，不是互为相反数，选项错误；
C. 不存在，无法比较，选项错误；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项错误；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答.
3．（2024七下·澄海期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1=3∠2，则∠3的度数为(　　)
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义列方程得到∠2的度数，再根据对顶角相等即可得解．
4．（2024七下·澄海期末）若点在 y 轴上，则点，的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在 y 轴上，，
点，
故选：B．
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征，根据y轴上点的横坐标为0，得到，求得a的值，进而得出点P的坐标，即可得到答案．
5．（2024七下·澄海期末）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①得，③，
把③代入②得，，
解得，
把代入①，得，
原方程组的解为，
点在第四象限．
故答案为：D．
【分析】求出该二元一次方程组的解，再根据各象限内点的坐标特点判定即可．
6．（2024七下·澄海期末）不等式的正整数解有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
故正整数的解为：，，共两个
故答案为：A
【分析】先解不等式，再确定正整数解。
7．（2024七下·澄海期末）已知，，若，则x与y的大小关系为(　　)
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用求差法判定两式的大小，将x，y的表达式相减，结合m<3，根据结果的正负即可做出判断．
8．（2024七下·澄海期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　　）
A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得，解得，
∴解密得到的明文是3，1．
故选：D.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7，根据题意，得出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
9．（2024七下·澄海期末）如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）
A．∠α+∠β-∠γ=90° B．∠α+∠γ-∠β=180°
C．∠γ+∠β-∠α=180° D．∠α+∠β+∠γ=180°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
10．（2024七下·澄海期末）如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（　　）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得∠ABC=∠CBG，再根据角平分线判定定理可判断①；根据直线平行性质可得∠ABC=∠BCG，再根据角平分线定义可得∠ACB=∠BCG，则∠CBG=∠ACB，再根据直线平行判定定理可判断②；根据直线平行性质可得∠DBE=∠BDG，再根据余角定义可判断③；再根据角之间的关系可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024七下·澄海期末）比较大小：4　 　 (填“＞”、“＜”或“=”).
【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵ ，
∴
故答案为：“＞”
【分析】根据4= 即可比较大小.
12．（2024七下·澄海期末）已知点P(，)在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为　 　．
【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，且到x轴的距离为3，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为，到y轴的距离为3．
故答案为：3
【分析】根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得m+2=3，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答．
13．（2024七下·澄海期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝50°，则∠1的度数为　 　．
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先利用平行线的性质求出∠3．再利用三角形的内角和定理求出∠2，进而求解；
14．（2024七下·澄海期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是　 　．
【答案】-1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，，
由数轴可得该不等式的解集为：，
，
解之得，．
故答案为：．
【分析】由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于a的一元一次方程，解此方程即可得出结论．
15．（2024七下·澄海期末）某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中a的值是　 　
　 第一组 第二组 第三组
频数 6 10 a
b
【答案】5
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵第二组的频数为10，频率为，
∴该班女生的总人数为（人），
（人）．
故答案为：5．
【分析】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，根据第二组的频数为10，频率为，求出数据总数，进而求得a的值，得到答案.
16．（2024七下·澄海期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为　 　.
【答案】102
【知识点】矩形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y.
由图可知，
解得.
所以长方形的长为30，宽为21，
∴长方形的周长为，
故答案为：102.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据CD=21可得x+y=21，根据图形可得5y=2x，联立求出x、y的值，然后求出长方形ABCD的长、宽，再根据长方形的周长=2(长+宽)进行计算.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（2024七下·澄海期末）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．
18．（2024七下·澄海期末）解不等式组：．
【答案】解：由，
解得：，
由，
解得：，
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组解集确定的原则求出其公共解集即可．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（2024七下·澄海期末）完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ （ ），
∴（ ）．
【答案】证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质，由，得到，再由，得到，得到，证得，即可证得.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．（2024七下·澄海期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
【答案】解：(1)如图，
解： (2)如图，
解：(3)S△ABC=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
21．（2024七下·澄海期末）若关于x、y 的二元一次方程组
（1）当时，求的值；
（2）若方程组的解与满足条件，求的值.
【答案】解：(1)由题意，把y=k代入方程组，得
，
①＋② 得：3x=-3，
解得：x=-1，
把x=-1代入②，得-1+2k=-2，
解得：k=-；
解：(2)由题意可得方程组，
①－② 得：y=-4，
把y=-4代入②得，x－4=2，
解得：x=6，
把x=6，y=-4代入方程得
12－4=3k－1，
解得：k=3.
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把y=k代入方程组，得到，利用加减消元法，求得x=-1，再将其代入，求得k的值，即可得到答案；
(2)根据题意，得到方程组，求得x、y的值，将其代入方程，即可求得k的值.
22．（2024七下·澄海期末）为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？
【答案】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，
由题意得：，
解得：，
设做活动时，商场商品打m折，
由题意得：，
解得：．
答：做活动时，该商场商品打9折．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用，设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，求出x，y的值，再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值，即可得到答案.
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23．（2024七下·澄海期末）阅读理解，并解决问题：
若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①．
（1）填空： ， ， ；
（2）利用题中不等式①，求出满足的所有解．
【答案】（1）4，，
（2）解：依题意，得，
解得，
，，
是整数，即是整数，
或，
解得或．
的所有解为或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据新定义运算方法，即可求得对应的答案；
根据题意，列出相应的不等式，求得的取值范围，结合的新定义，得到或，即可求解.
（1）解：，，，
故答案为：4，，；
（2）解：依题意，得，
解得，
，，
是整数，即是整数，
或，
解得或．
的所有解为或．
24．（2024七下·澄海期末）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G、H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=2∠A，求的度数．
【答案】（1）证明：，且，
（2）证明：且，
（3）解：过点作，
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由对顶角相等可证∠AEG=∠C，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥CD；
（2）由平角的定义可证∠DGC+∠AHF=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证CE∥BF，则有∠B=∠AEG，从而可求证；
（3）过点A作MN∥CE，则MN∥CE∥BF，由平行线的性质可证∠2=∠3，由AB∥CD可得∠BFC+∠B=180°，由MN∥BF可得∠1+∠3+∠B=180°，再根据角的和差求解即可．
25．（2024七下·澄海期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是、，且、满足方程组，为轴正半轴上一点，且．
（1）求、、三点的坐标；
（2）是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若是的中点，是上一点，，连结、，与交于点，连接，求四边形的面积．
【答案】（1）解：方程组，解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵为轴正半轴上一点，且，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：存在．∵，使，
∴，
解得：，
∴当点的坐标为或时，；
（3）解：∵点是的中点，，∴，
∵，
∴，
设，，，
∴，
解得：，
∴．
∴四边形的面积为．
【知识点】解二元一次方程组；点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；面积及等积变换
1 / 1广东省汕头市澄海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024七下·澄海期末）在实数0，，，中，无理数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024七下·澄海期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．-2与 B．-2与 C．2与 D． 与
3．（2024七下·澄海期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1=3∠2，则∠3的度数为(　　)
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．（2024七下·澄海期末）若点在 y 轴上，则点，的坐标为( )
A． B． C． D．
5．（2024七下·澄海期末）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024七下·澄海期末）不等式的正整数解有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2024七下·澄海期末）已知，，若，则x与y的大小关系为(　　)
A． B． C． D．不能确定
8．（2024七下·澄海期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　　）
A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1
9．（2024七下·澄海期末）如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）
A．∠α+∠β-∠γ=90° B．∠α+∠γ-∠β=180°
C．∠γ+∠β-∠α=180° D．∠α+∠β+∠γ=180°
10．（2024七下·澄海期末）如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（　　）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024七下·澄海期末）比较大小：4　 　 (填“＞”、“＜”或“=”).
12．（2024七下·澄海期末）已知点P(，)在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为　 　．
13．（2024七下·澄海期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝50°，则∠1的度数为　 　．
14．（2024七下·澄海期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是　 　．
15．（2024七下·澄海期末）某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中a的值是　 　
　 第一组 第二组 第三组
频数 6 10 a
b
16．（2024七下·澄海期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为　 　.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（2024七下·澄海期末）计算：．
18．（2024七下·澄海期末）解不等式组：．
19．（2024七下·澄海期末）完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ （ ），
∴（ ）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．（2024七下·澄海期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
21．（2024七下·澄海期末）若关于x、y 的二元一次方程组
（1）当时，求的值；
（2）若方程组的解与满足条件，求的值.
22．（2024七下·澄海期末）为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23．（2024七下·澄海期末）阅读理解，并解决问题：
若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①．
（1）填空： ， ， ；
（2）利用题中不等式①，求出满足的所有解．
24．（2024七下·澄海期末）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G、H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=2∠A，求的度数．
25．（2024七下·澄海期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是、，且、满足方程组，为轴正半轴上一点，且．
（1）求、、三点的坐标；
（2）是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若是的中点，是上一点，，连结、，与交于点，连接，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是整数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
，是无理数，符合题意；
，是整数，属于有理数，不符合题意，
在实数，，，中，无理数的个数是．
故答案为：B．
【分析】无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、结合算术平方根和立方根的定义判断即可．
2．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】A. ＝2，-2与 互为相反数，故本选项正确；
B. ＝﹣2，-2与 相等，不是互为相反数，选项错误；
C. 不存在，无法比较，选项错误；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项错误；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答.
3．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义列方程得到∠2的度数，再根据对顶角相等即可得解．
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在 y 轴上，，
点，
故选：B．
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征，根据y轴上点的横坐标为0，得到，求得a的值，进而得出点P的坐标，即可得到答案．
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①得，③，
把③代入②得，，
解得，
把代入①，得，
原方程组的解为，
点在第四象限．
故答案为：D．
【分析】求出该二元一次方程组的解，再根据各象限内点的坐标特点判定即可．
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
故正整数的解为：，，共两个
故答案为：A
【分析】先解不等式，再确定正整数解。
7．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用求差法判定两式的大小，将x，y的表达式相减，结合m<3，根据结果的正负即可做出判断．
8．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得，解得，
∴解密得到的明文是3，1．
故选：D.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7，根据题意，得出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得∠ABC=∠CBG，再根据角平分线判定定理可判断①；根据直线平行性质可得∠ABC=∠BCG，再根据角平分线定义可得∠ACB=∠BCG，则∠CBG=∠ACB，再根据直线平行判定定理可判断②；根据直线平行性质可得∠DBE=∠BDG，再根据余角定义可判断③；再根据角之间的关系可判断④.
11．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵ ，
∴
故答案为：“＞”
【分析】根据4= 即可比较大小.
12．【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，且到x轴的距离为3，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为，到y轴的距离为3．
故答案为：3
【分析】根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得m+2=3，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答．
13．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先利用平行线的性质求出∠3．再利用三角形的内角和定理求出∠2，进而求解；
14．【答案】-1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，，
由数轴可得该不等式的解集为：，
，
解之得，．
故答案为：．
【分析】由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于a的一元一次方程，解此方程即可得出结论．
15．【答案】5
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵第二组的频数为10，频率为，
∴该班女生的总人数为（人），
（人）．
故答案为：5．
【分析】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，根据第二组的频数为10，频率为，求出数据总数，进而求得a的值，得到答案.
16．【答案】102
【知识点】矩形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y.
由图可知，
解得.
所以长方形的长为30，宽为21，
∴长方形的周长为，
故答案为：102.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据CD=21可得x+y=21，根据图形可得5y=2x，联立求出x、y的值，然后求出长方形ABCD的长、宽，再根据长方形的周长=2(长+宽)进行计算.
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．
18．【答案】解：由，
解得：，
由，
解得：，
原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组解集确定的原则求出其公共解集即可．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．【答案】证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质，由，得到，再由，得到，得到，证得，即可证得.
20．【答案】解：(1)如图，
解： (2)如图，
解：(3)S△ABC=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
21．【答案】解：(1)由题意，把y=k代入方程组，得
，
①＋② 得：3x=-3，
解得：x=-1，
把x=-1代入②，得-1+2k=-2，
解得：k=-；
解：(2)由题意可得方程组，
①－② 得：y=-4，
把y=-4代入②得，x－4=2，
解得：x=6，
把x=6，y=-4代入方程得
12－4=3k－1，
解得：k=3.
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把y=k代入方程组，得到，利用加减消元法，求得x=-1，再将其代入，求得k的值，即可得到答案；
(2)根据题意，得到方程组，求得x、y的值，将其代入方程，即可求得k的值.
22．【答案】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，
由题意得：，
解得：，
设做活动时，商场商品打m折，
由题意得：，
解得：．
答：做活动时，该商场商品打9折．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用，设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，求出x，y的值，再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值，即可得到答案.
23．【答案】（1）4，，
（2）解：依题意，得，
解得，
，，
是整数，即是整数，
或，
解得或．
的所有解为或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据新定义运算方法，即可求得对应的答案；
根据题意，列出相应的不等式，求得的取值范围，结合的新定义，得到或，即可求解.
（1）解：，，，
故答案为：4，，；
（2）解：依题意，得，
解得，
，，
是整数，即是整数，
或，
解得或．
的所有解为或．
24．【答案】（1）证明：，且，
（2）证明：且，
（3）解：过点作，
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由对顶角相等可证∠AEG=∠C，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥CD；
（2）由平角的定义可证∠DGC+∠AHF=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证CE∥BF，则有∠B=∠AEG，从而可求证；
（3）过点A作MN∥CE，则MN∥CE∥BF，由平行线的性质可证∠2=∠3，由AB∥CD可得∠BFC+∠B=180°，由MN∥BF可得∠1+∠3+∠B=180°，再根据角的和差求解即可．
25．【答案】（1）解：方程组，解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵为轴正半轴上一点，且，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：存在．∵，使，
∴，
解得：，
∴当点的坐标为或时，；
（3）解：∵点是的中点，，∴，
∵，
∴，
设，，，
∴，
解得：，
∴．
∴四边形的面积为．
【知识点】解二元一次方程组；点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；面积及等积变换
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