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2025年浙江省中考数学二模试卷（省统一命题卷）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）：
气体 氧气 氨气 氢气 氮气
液化温度/℃ ﹣183 ﹣33.5 ﹣253 ﹣196
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气
2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．在2023年杭州亚运会的赛场上不仅有运动健儿们拼搏的英姿，更有37600多名志愿者四处奔波的动人身影，他们就像一朵朵热情洋溢的小花，在各自岗位上展现开放，阳光向上的风采．将37600用科学记数法表示应为（　　）
A．0.376×105 B．37.6×103 C．3.76×104 D．3.76×105
4．下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a2 a3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．2x+3y＝5xy
5．“活力东部新区，运动未来之城”，2024年11月22日﹣24日，成都东部新区第二届中小学生田径运动会在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳远的15名中学生运动员的身高如表所示：
身高（m） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.73 1.75 1.76
人数 1 1 1 4 3 3 2
这些运动员身高的众数是（　　）
A．1.72 B．1.73 C．1.75 D．1.76
6．如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3．则点A（2，﹣1）的对应点C的坐标为（　　）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，﹣6）
（第6题图） （第7题图）
7．如图，将不等式2x■﹣4的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（　　）
A．≥ B．≤ C．＞ D．＜
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC＝4，OD＝2，则ON的长为（　　）
A． B．1 C． D．
（第8题图） （第10题图）
9．已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　）
A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：﹣mn+m2＝　 　 ．
12．一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为　 　 ．
13．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　 　 ．
（第13题图） （第15题图）
14．如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数是　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，CE，则BC的长为　 　 ．
16．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝12，CE、DF分别为∠BCD和∠ADC的平分线，相交于点H，与边BC、AD分别交于点E、F，将四边形沿MN折叠，使点B恰好与点H重合，A对应点为G，则折痕MN的长为 　 　 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中m＝2．
19．如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝1，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求DE的长．
（2）求tan∠DCE的值．
20．为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级 人数 百分比
A 17 18.9%
B 38 42.2%
C 28 31.1%
D 7 7.8%
合计 90 100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第　 　 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约　 　 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
21．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＜BC．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在BC上作点E，使得四边形ABED是矩形．
小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑．
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明．
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由．
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行x min，收费yA元，且；B品牌电动车骑行x min，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
23．已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a．
（1）若函数图象经过点（2，5）．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，则与图象上的点B重合；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则与图象上的点C重合，求n的值．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证．
24．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
2025年浙江省中考数学二模试卷（省统一命题卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．解：∵﹣253℃＜﹣196℃＜﹣183℃＜﹣33.5℃，∴液化温度最低的气体是氢气．故选：C．
2．解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，故选：B．
3．解：37600＝3.76×104．故选：C．
4．解：A、（a2）3＝a6，此选项正确；
B、a2 a3＝a5，此选项错误；C、a8÷a2＝a6，此选项错误；
D、2x与3y不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：A．
5．解：这组数据中1.72出现次数最多，有4次，
则其众数为1.72．故选：A．
6．解：∵△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3，
而A（2，﹣1），∴点A（2，﹣1）的对应点C的坐标为[﹣3×2，﹣3×（﹣1）]，
即C（﹣6，3）．故选：A．
7．解：由数轴得该不等式的解集为x＜﹣2，
利用不等式的性质可得2x＜﹣4，所以■盖住的符号是＜．故选：D．
8．解：在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴∠DOC＝90°，OB＝OD，OC＝OD，
又BM⊥CD，垂足为点M，∴∠BMC＝90°，而∠ONB＝∠MNC，∴∠OBN＝∠DCO，
∴△BON∽△COD，而OC＝4，OD＝OB＝2，∴ON：OD＝OB：OC，
∴ON：2＝2：4，∴ON＝1．故选：B．
9．解：∵点P3（1，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣2，∴反比例函数解析式为，
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在反比例函数的图象上，x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2，故选：D．
10．解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，∵EG⊥AF，DH∥EG，DH⊥AF，∴∠ADH+∠FAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADH＝α，在△ABF和△DAH中，
，∴△ABF≌△DAH（ASA），∴AH＝BF，AF＝DH，
∴AE＝AH+HE＝BF+HE，∵AE＝2BF，∴BF+HE＝2BF，
∴HE＝BF，∴AH＝HE＝BF，∵AB∥CD，DH∥EG，
∴四边形DGEH是平行四边形，∴HE＝DG，∴AH＝DG，
在△AHD和△DGA中，
，∴△AHD≌△DGA（SAS），
∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，
∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α，
∵AF＝DH，DH＝AG，∴AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF（180°﹣∠FAG）＝45°+α，
∵EG⊥AF，∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α．故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．解：﹣mn+m2＝m2﹣mn＝m（m﹣n），故答案为：m（m﹣n）．
12．解：∵摸出一个球是红球的概率为，
∴，解得n＝9，经检验n＝9符合题意，
∴n的值为9．故答案为：9．
13．解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6；故答案为：6．
14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×10，解得：k＞2，
∴k的最小整数是3．故答案为：3．
15．解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AEBE，∵∠C＝45°，∴∠EAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴∠EAC＝∠C＝45°，∴AE＝EC，
∴BEAE＝1，∴BC的长为．故答案为：1．
16．解：如图，过点H作HT⊥BC于点T，过点M作MJ⊥BC于点J，连接BH交MJ于点P，交MN于点Q．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝12，AB∥CD，AD∥BC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB＝∠ECD＝∠CED，
∴DE＝CD，
同法可证CF＝CD，
∴DE＝CF，
∵DE∥CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵DE＝DC，
∴四边形DEFC是菱形，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝60°，
∴∠EFH＝∠HFT＝30°，
∵FH＝CF cos30°＝2，
∴HTFH，
∴FTHT＝3，
∵BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8，
∴BT＝BF+FT＝8+3＝11，
∴BH2，
∵MN⊥BH，∴∠BQN＝∠MJN＝90°，
∴∠HBT+∠MNJ＝90°，∠JMN+∠MNJ＝90°，∴∠HBT＝∠JMN，
∵∠MJN＝∠BTH＝90°，∴△MJN∽△BTH，∴，
∴，∴MN．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．解：
＝（﹣4+1）
＝﹣3+0＝﹣3．
18．解：原式＝（）
，
当m＝2时，
原式．
19．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
又∵DE⊥AC，
则在Rt△ADE中，
sinA，∴DE．
（2）在Rt△ADE中，
AE．
∵AC＝AB＝3，∴CE＝2．在Rt△CDE中，
tan∠DCE．
20．解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），
故答案为：二，922；
（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．
21．解：（1）∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，∴BC∥AD，
∵AD＝BE，∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABED是矩形；
（2）小明的作法正确．
理由：连结AE，BD
∵∠ABE＝∠BAD＝90°，AE＝BD，AB＝BA，
∴Rt△ABE≌Rt△BAD（HL），∴AD＝BE，
∵∠ABE+∠BAD＝180°，∴AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABED是矩形．
22．解：（1）由图象可得，P（20，8），
交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元．
（2）由题意，设当x＞10时，y2＝k2x+b，
将点（10，6），（20，8）代入得，
，∴．
∴当x＞10时，y2＝0.2x+4．
∴y2．
又由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9000÷300＝30（min），
∴A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元），
∵12＞10，∴选择B品牌共享电动车更省钱．
（3）由题意，当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3，
∴6﹣0.4x＝3，
∴x＝7.5．
当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3，
∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3，
∴x＝5（舍去）或x＝35．
综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
23．（1）解：①∵函数图象经过点（2，5），
∴4+4a﹣3a＝5，∴a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3；
②由题意可知B（1﹣3m，n），C（1+m，n），
∵B、C是二次函数y＝x2+2x﹣3图象上的点，
∴B、C关于对称轴直线x1对称，
∴1，解得m＝2，
∴C（3，n），
把x＝3代入y＝x2+2x﹣3，得n＝9+6﹣3＝12；
（2）证明：∵x1+x2＝3，∴x2＝3﹣x1，
∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点，
∴y1+y22ax1﹣3a+（3﹣x1）2+2a（3﹣x1）﹣3a
＝26x1+9，
＝2（x1）2，∵2＞0，∴y1+y2．
24．（1）证明：联结OE，EP，
∵OP∥AB，∴∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，
∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∴∠DOP＝∠POE，∴DP＝EP．
（2）解：过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，
∵OQ∥AB，OM⊥AB，FN⊥PQ，
∴四边形OMFN是矩形，∴OM＝FN，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC，
∴BC＝6，AC＝8，在△AMO中，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA sin∠BACx，∴FNx，
∵OQ∥AB，∴△OCQ∽△CAB，∴，
∴，∴OQ＝10x，
∴PQ＝OQ﹣OP＝10x，∴y（10x） x，
即y3x（0＜x≤4）．
（3）解：若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①若FQ＝PQ，∴∠QPF＝∠QFP＝∠OPD＝∠ODP，∴QF∥AC，
∴四边形AFQO是平行四边形，∴AF＝QO，
∵∠ADF＝∠OPD＝∠AFD，∴AF＝AD＝2x，
∴OQ＝2x，∴2x＝10x，∴x．
②若FQ＝FP，
如图3，过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，则四边形OMFN是矩形，
在△AMO中，∠AMO＝90°，OMx，AMx，
∴MF＝ON＝2xx，∴PNx，PQx，OQx，
∴x，解得：x．
综上所述，若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，AO的长为或．

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