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2025年陕西省延安市志丹县校联考中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在有理数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C． D．2
2．小篆是由秦始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”政策，在大篆基础上简化形成的统一文字．下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算：（　　）
A．2 B． C．2 D．
4．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，则的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，过点作交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线为常数，且上上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
．．． 0 1 ．．．
．．． 4 0 0 ．．．
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴左侧，随的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，的取值范围是．其中，正确的结论有（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题
9．如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ．
10．我国古代采用算筹记数，有纵式和横式两种．纵式表示一到五时，竖放的每一根代表一，表示六到九时，横放一根代表五，其余算筹竖放在下面，横式则相反．在表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如267用算筹表示为．如图所示的两个框内的算筹所表示的两位数、三位数分别为方程的一次项系数及常数项，则推算表示的数为 ．
11．如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正五边形于点，则图中的长为 ．（结果保留）
12．如图，等边三角形的一边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是 ．
13．如图，在矩形中，，点是的中点，点是上的任意一点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．解不等式组：
16．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
17．如图，已知．请用尺规作图的方法求作以为弦的，且使点到和的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点．求证：．
19．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)画出将向下平移5个单位长度得到的；
(2)画出关于原点对称的，并写出点的坐标．
20．为大力弘扬中华优秀传统文化，在某次班会上，甲、乙两名同学准备从“A．女娲补天；B．木兰从军；C．武松打虎；D．梁山伯与祝英台”这四个故事中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张、以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
A．女娲补天 B．木兰从军
C．武松打虎 D．梁山伯与祝英台
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．木兰从军”的概率是___________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的概率．
21．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动．
课题 测量皇帝手植柏的高度
示意图
测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上．
测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内．
请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度．
22．在一定条件下，某种金属材料的电阻（单位：）与温度（单位：）存在关联，以下是不同温度时该金属材料电阻的数值：
温度 0 4 8 12 16 ．．．
电阻 2.00 2.08 2.16 2.24 2.32 ．．．
(1)依据表内数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．推测电阻（单位：）与温度（单位：）在给定范围内符合的函数关系可能是___________函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）；
(2)根据上述判断，求该金属材料电阻与温度之间的函数关系式；
(3)当温度达到时，该金属材料电阻与温度仍符合此函数关系，现把该金属接人一个电路中，电路允许接入的最大电阻为，判断此时该金属材料的电阻是否会超出电路允许的最大电阻，并阐述理由．
23．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了10名学生的成绩（用表示，单位：分）进行整理、分析和描述，共分成四个组：．其中成绩大于或等于90分的为优秀，给出了部分信息如下：
八年级10名学生的成绩：67，78，86，86，86，88，93，94，96，96．
九年级10名学生的成绩在组的数据：82，83，83，86．
八、九年级抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 87 87
九年级 85 95
九年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)___________，___________，___________；
(2)估计该校八年级I000名学生和九年级800名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数．
24．如图，等腰三角形内接于是的直径，是线段上异于的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．在社区举办的篮球亲子挑战赛中，设置了两个不同高度的篮筐．较低的儿童篮筐在距离地面米高的点A处，较高的成人篮筐在距离地面米高的点处，小明和爸爸组队参赛．在第一轮挑战中，小明站在点处进行投篮，篮球出手后恰好投入儿童篮筐，且篮球运动的最高点距离地面3米，最高点到篮筐的水平距离为2米，建立如图的平面直角坐标系，篮球高度（米）和出手点到篮筐的水平距离（米）
之间满足二次函数关系．
(1)求小明第一次投篮时，篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式；
(2)第二轮挑战时，爸爸鼓励小明向篮筐方向前进1米到达点处再投篮，若两次投篮时篮球的运动轨迹完全相同，判断这次篮球能否投入成人篮筐，并说明理由．
26．【问题提出】
（1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________；
【问题解决】
（2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
《2025年陕西省延安市志丹县校联考中考二模数学试题》参考答案
1．C
解：∵，
∴最小的数是：．
故选：C．
2．C
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
3．B
解：；
故选B．
4．B
解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限；
当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限；
可见，符合条件的只有B．
故选：B．
5．D
解：∵D是的中点，，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
解：设购买刺绣手帕x条，需付款y元，
当时，
；　
当时，
．
小悦有150元钱，
∴．
∴当时，．
解得，不合题意；
当时，，
解得，符合．
则她最多能购买11条手帕．
故选：A．
7．D
解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：．
8．B
解：根据表格可知，当时，，
∴抛物线与轴的一个交点为，故①错误；
，
∴抛物线的对称轴为直线，所以③正确；
根据表格当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，随的增大而增大，故抛物线开口向上，，
而时，，时，，
∴当时，的取值范围是或，故④错误；
故选：B．
9．1
解：由题意得：，
∵点A，B表示的数互为相反数，
∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3，
∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧，
∴点C表示的数字为1．
故答案为：1．
10．
解：根据题意，得：，
解得：，
表示的数为．
11．
解：∵五边形是正五边形，
∴，
而正五边形的边长为2，
∴．
故答案为：．
12．
解：过点作轴，垂足为，设点的坐标为，
∵点在双曲线上，
，
又 ∵是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
∴
∵点是的中点，
∴点的坐标是，
故答案为：．
13．
解：过作于，过作于，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵将矩形沿折叠，使点落在点处，
∴，
∵，，
∴根据垂线段最短可得，
∴，解得，
∵，
∴当时，最小，
故答案为：．
14．
解：原式
．
15．
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
16．；当时，原式
解：原式
．
要使分式有意义，在1，2，3中，不能取3，
当时，原式；
当时，原式．（选取一个数值代入求值即可）
17．见解析
解：如图，以为弦的，且使点到和的距离相等．
18．证明见解析
证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)见解析，点的坐标为
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；点的坐标为．
20．(1)
(2)，图见解析
（1）解：∵有4张卡片，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．木兰从军”的概率是．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的结果有，共6种，
∴甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的概率为：．
21．19米
解：，
．
又，
，
，
，
．
，
．
又，
，
，
，
．
答：皇帝手植柏的高度为19米．
22．(1)一次
(2)
(3)该金属材料的电阻不会超出电路允许的最大电阻
（1）解：描点，连线，如图所示：
根据图象可得电阻（单位：）与温度（单位：）在给定范围内符合的函数关系可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）解：设该金属材料电阻与温度之间的函数关系式为，
把代入上式，
得，
解得，
该金属材料电阻与温度之间的函数关系式为；
（3）解：当时，，
，
此时该金属材料的电阻不会超出电路允许的最大电阻．
23．(1)83，86，30
(2)640名
（1）解：根据扇形统计图可知，九年级的中位数在组，再根据九年级10名学生的成绩在组的数据可知，中位数为，
∴，
八年级10名学生的成绩中，86出现的次数最多，
∴众数，
，
∴，
故答案为：83，86，30；
（2）解：（名），
答：计该校八年级I000名学生和九年级800名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数为640名．
24．(1)见解析
(2)3
（1）证明：如图，连接．
等腰三角形内接于是的直径，
，
，
．
是的切线，
，
即．
．
，
，
；
（2）解：，
设，则．
由（1）知，，
．
，
．
是直角三角形，
．
，
解得：或（舍去），
．
25．(1)
(2)这次篮球不能投入成人篮筐，见解析
（1）解：依题意知抛物线的顶点坐标为（2，3），
设该抛物线的函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式为
（2）不能，理由如下．
小明向篮筐方向前进1米，
抛物线的函数表达式为
令，得，
这次篮球不能投入成人篮筐．
26．（1）；（2）存在，米
解：（1）如图所示，取的中点E，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵为的中点，E为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为；
（2）存在，
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形，
．
四边形是平行四边形，
．
分别为边的中点，
，
四边形是平行四边形．
为边的中点，
，
四边形是菱形；
如图，连接交于点，则，互相垂直平分，
，
当三点共线时，的值最小，即为的长．
，
，
为等边三角形，而米，
米．
为的中点，
米，
（米）．
的最小值为米．

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