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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙江省2025年中考数学最后一卷
满分120分 时间120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．北京时间2025年3月25日19：00，2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛18强赛，中国男足在杭州奥体中心体育场主场迎战澳大利亚队．最终中国队0：2不敌澳大利亚队，但现场球迷自始至终不遗余力地为国足加油打气．下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．2025年春节档温州电影票房创新高，截至大年初七中午12点，累计票房达84000000元，数84000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.84×108 B．8.4×107 C．84×106 D．8400×104
3．如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．a2+a2＝a4
C．（a3）2＝a5 D．
5．对于一组统计数据6，7，6，5，6．下列说法错误的是（　　）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
6．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为（　　）
A．20° B．22° C．32° D．45°
7．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC＝4，OD＝2，则ON的长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG．连接EG，过点B作BH⊥EG于点H，过点A作MN∥BC分别交BD，FG，BH于点M，N，P，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：4m2﹣25＝　 　 ．
12．在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为 　 　 ．
13．不等式组的解集是　 　 ．
14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　 　 ．
15．已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　 　 ．
16．如图，在第一象限中，连接 AOBC对角线AB，OC，∠ABC＝90°，sin∠AOC，函数y图象经过A，B两点，函数y图象经过点C，则　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（8分）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图．
（1）在图①中，作出△ABC的中线CD；
（2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O．
19．（8分）某校计划开展“数学嘉年华”活动，每个学生参加一个项目，挑战成功即可获得“小数学家”徽章．为了解各项目所需道具和徽章数量，数学组老师们随机抽取100名学生提前参与活动，并记录各项目的参与人数和挑战成功人数，制成如下统计图表．
根据图表信息，解答以下问题：
（1）通过计算比较，项目A和项目B中，哪个项目挑战成功的可能性更大．
（2）某学校共有1000名学生，根据统计信息，估计挑战成功获得徽章的学生人数．
20．（8分）小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如下的数据：
R（Ω） 20 30 40 50 60
I（A） 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
（1）请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系．
（2）当电阻的阻值为R1时，电路中的电流强度为I1，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由．
21．（8分）如图，地面上点A，B，D在一条直线上，两个观察者从A，B两地观测空中C处一个无人机，分别测得其仰角为30°和60°，已知A，B两地相距36米．
（1）求观测者B到C处的距离．
（2）当无人机沿着与AB平行的路线飞行6秒后达到C′，在A处测得该无人机的仰角为45°，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
22．（10分）如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题：
（1）客车的速度为每小时 　 　 千米，图中点B的坐标为 　 　 ，点B的坐标表示的实际意义是 　 　 ；
（2）求DE所在直线的函数解析式；
（3）当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA延长线上取一点E，使得AE＝AB，连结BE，在AE下方，作∠AFE＝∠BCA，连结CF交⊙O于点D，连结BD．
（1）如图1，若∠BDC＝∠AEF，
①求证：△ABC≌△EAF；
②若AE＝2，AF＝4，求CD的长度．
（2）如图2，若AF＝EF，2∠CBD＝3∠BCA时，求证：BD＝EF．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙江省2025年中考数学最后一卷
满分120分 时间120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．北京时间2025年3月25日19：00，2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛18强赛，中国男足在杭州奥体中心体育场主场迎战澳大利亚队．最终中国队0：2不敌澳大利亚队，但现场球迷自始至终不遗余力地为国足加油打气．下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D的美术字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
2．2025年春节档温州电影票房创新高，截至大年初七中午12点，累计票房达84000000元，数84000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.84×108 B．8.4×107 C．84×106 D．8400×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：84000000＝8.4×107．
故选：B．
3．如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．a2+a2＝a4
C．（a3）2＝a5 D．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A．a2 a3＝a5，a5＝a5选项计算正确，符合题意；
B．a2+a2＝2a2，2a2≠a4选项计算不正确，不符合题意；
C． （a3）2＝a6，a6≠a5选项计算不正确，不符合题意；
D． ，选项计算不正确，不符合题意．
故选：A．
5．对于一组统计数据6，7，6，5，6．下列说法错误的是（　　）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：6，
中位数为6，
众数为6，
方差为[3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（5﹣6）2]＝0.4，
故选：D．
6．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为（　　）
A．20° B．22° C．32° D．45°
【分析】由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝67°，
∴∠CBN＝113°，
∵∠DBC+∠CBN+∠2＝180°，∠2＝45°，
∴∠DBC＝22°，
故选：B．
7．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1
【分析】根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程＝总路程，据此即可列出方程．
【解答】解：设经过x天相遇，
可列方程为：，
故选：A．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC＝4，OD＝2，则ON的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】首先利用菱形的性质证明△BON∽△COD，然后利用相似三角形的性质即可所求．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴∠DOC＝90°，OB＝OD，OC＝OD，
又BM⊥CD，垂足为点M，
∴∠BMC＝90°，
而∠ONB＝∠MNC，
∴∠OBN＝∠DCO，
∴△BON∽△COD，
而OC＝4，OD＝OB＝2，
∴ON：OD＝OB：OC，
∴ON：2＝2：4，
∴ON＝1．
故选：B．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜1，1≤n≤3和n＞3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值，
最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当1≤n≤3时，
此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值，
最大值为3，最小值为﹣1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n＞3时，
此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值，
最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3．
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG．连接EG，过点B作BH⊥EG于点H，过点A作MN∥BC分别交BD，FG，BH于点M，N，P，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设BH交AE于点K，证明△ABC和△AEG全等得∠ABC＝∠AEG，BC＝EG，证明四边形ACBM是平行四边形得AM＝BC，则AM＝EG，证明∠AEG＝∠ABP，进而得∠PAB＝∠ABP，则AP＝PB，再证明PB＝PM得AP＝PM，则EG＝AM＝2AP，继而得AP/EG＝1/2为定值，由此即可得出答案．
【解答】解：设BH交AE于点K，如图所示：
∵四边形ABDE，四边形ACFG都是正方形，
∴AB＝AH，AC＝AG，∠ABD＝∠BAE＝90°，
又∵∠BAC＝∠EAG＝90°，
∴在△ABC和△AEG中，
，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴∠ABC＝∠AEG，BC＝EG，
∵∠BAC＝∠ABD＝90°，
∴AC∥BM，
∴∠PAB＝∠ABC，
又∵MN∥BC，
∴四边形ACBM是平行四边形，
∴AM＝BC，
∴AM＝EG，
∵BH⊥EG，
∴∠EHK＝∠BAE＝90°，
在Rt△EHK中，∠AEG+∠1＝90°，
在Rt△ABK中，∠ABP+∠2＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AEG＝∠ABP，
又∵∠ABC＝∠AEG，∠PAB＝∠ABC，
∴∠PAB＝∠ABP，
∴AP＝PB，
在Rt△ABM中，∠3+∠PAB＝90°，
∵∠4+∠ABP＝∠ABD＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PB＝PM，
∴AP＝PM，
∴AM＝2AP，
∴EG＝2AP，
∴为定值．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：4m2﹣25＝　（2m+5）（2m﹣5）　 ．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2m+5）（2m﹣5），
故答案为：（2m+5）（2m﹣5）．
12．在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为 　　 ．
【分析】记《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》分别为A、B、C，列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：记《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》分别为A、B、C，
列表如下：
A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门课程的结果有3种，
所以两人恰好选中同一门课程的概率为，
故答案为：．
13．不等式组的解集是　﹣1＜x≤6　 ．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤6．
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤6．
故答案为：﹣1＜x≤6．
14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为 　60°　 ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BAD∠BOD，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BAD∠BOD，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝60°，
故答案为：60°．
15．已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　　 ．
【分析】设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值．
【解答】解：设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根，
∴t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c＝0②，
②﹣①得4t2﹣2t＝0，
解得t1＝0，t2，
当t＝0时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，不合题意舍去；
当t时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，解得c，
综上所述，c的值为．
故答案为：．
16．如图，在第一象限中，连接 AOBC对角线AB，OC，∠ABC＝90°，sin∠AOC，函数y图象经过A，B两点，函数y图象经过点C，则　　 ．
【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，先证明△OAB是等腰直角三角形，设A（a，b），证明△OAE≌△ABD，得到B（a+b，b﹣a），作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，再证明△OAE≌△CBH，得到C（2a+b，2b﹣a），再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，
∵ AOBC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝90°，AQ＝BQ，OQ＝CQ，
∵sin∠AOC，即，
不妨设AQ，则OQ＝5，BQ，
∴OA2，AB＝OA＝2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
设A（a，b），即AE＝a，OE＝b，
∵∠OEA＝∠ADB＝∠OAB＝90°，
∴∠OAE＝90°﹣∠DAB＝∠ADB，
∴△OAE≌△ABD（AAS），
∴BD＝AE＝a，AD＝OE＝b，
∴BF＝b﹣a，OF＝DE＝a+b，
∴B（a+b，b﹣a），
作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，
由条件可知OA＝BC，
∴△OAE≌△CBH（AAS），
∴CH＝OE＝b，BH＝AE＝a，
∴OG＝2a+b，CG＝2b﹣a，
∴C（2a+b，2b﹣a），
∵A（a，b）、B（a+b，b﹣a）在反比例函数y图象上，
∴k1＝ab＝（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，
∵C（2a+b，2b﹣a）在反比例函数y图象上，
∴k2＝（2a+b）（2b﹣a）＝3ab+2（b2﹣a2）＝5ab，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的定义计算后再算加减即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣4
＝3﹣4
＝﹣1；
（2）原方程去分母得：4x+4＝2，
解得：x，
检验：当x时，x+1≠0，
故原分式方程的解为x．
18．（8分）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图．
（1）在图①中，作出△ABC的中线CD；
（2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O．
【分析】（1）取AB的中点D，连接CD即可．
（2）作△ABC的三条中线，相交于点O，则点O即为所求．
【解答】解：（1）如图①，CD即为所求．
（2）如图②，点O即为所求．
19．（8分）某校计划开展“数学嘉年华”活动，每个学生参加一个项目，挑战成功即可获得“小数学家”徽章．为了解各项目所需道具和徽章数量，数学组老师们随机抽取100名学生提前参与活动，并记录各项目的参与人数和挑战成功人数，制成如下统计图表．
根据图表信息，解答以下问题：
（1）通过计算比较，项目A和项目B中，哪个项目挑战成功的可能性更大．
（2）某学校共有1000名学生，根据统计信息，估计挑战成功获得徽章的学生人数．
【分析】（1）计算A、B项目挑战成功的人数占参与人数的百分比，比较即可得出答案；
（2）总人数乘以样本中挑战成功的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）参与A项目的人数＝100×20%＝20人，有10人挑战成功，则A项目挑战成功的可能性；
参与B项目的人数＝100×30%＝30人，有12人挑战成功，则B项目挑战成功的可能性．
所以A项目挑战成功的可能性更大．
（2）估计1000人中挑战成功的学生人数（人）．
20．（8分）小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如下的数据：
R（Ω） 20 30 40 50 60
I（A） 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
（1）请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系．
（2）当电阻的阻值为R1时，电路中的电流强度为I1，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由．
【分析】（1）根据变量之间的变化规律解答即可；
（2）将R＝R1，I＝I1分别代入（1）中得到的I与R的函数表达式，并将R1用含I1的代数式表示出来，将I＝3I1时求出对应的R，将R与R1对比即可得出结论．
【解答】解：（1）根据表格，得IR＝12，
∴变量I与变量R的函数表达式为I．
（2）接入电路的电阻阻值应该减小到原来的．理由如下：
将R＝R1，I＝I1分别代入I，得I1，
解得R1，
当I＝3I1时，得3I1，
解得RR1，
∴接入电路的电阻阻值应该减小到原来的．
21．（8分）如图，地面上点A，B，D在一条直线上，两个观察者从A，B两地观测空中C处一个无人机，分别测得其仰角为30°和60°，已知A，B两地相距36米．
（1）求观测者B到C处的距离．
（2）当无人机沿着与AB平行的路线飞行6秒后达到C′，在A处测得该无人机的仰角为45°，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠ACB＝60°﹣30°＝30°，求得∠CAB＝∠ACB，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CF⊥AD于F，过C′作C′E⊥AD于E，则四边形C′EFC是矩形，得到CC′＝EF，CF＝C′E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DBC﹣∠CAB，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC＝36米，
答：观测者B到C处的距离为36米；
（2）过C作CF⊥AD于F，过C′作C′E⊥AD于E，
则四边形C′EFC是矩形，
∴CC′＝EF，CF＝C′E，
在Rt△BCF中，CF＝BC sin60°＝3618（米），BFBC＝18（米），
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，∠AFC＝90°，
∴AF54（米），
在Rt△AC′E中，∵∠AEC′＝90°，∠C′AB＝45°，
∴C′E＝AE＝CF＝18（米），
∴C′C＝EF＝AF﹣AE＝（54﹣18）米，
∴无人机飞行的平均速度（9﹣3）米/秒．
22．（10分）如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题：
（1）客车的速度为每小时 　80　 千米，图中点B的坐标为 　（2，60）　 ，点B的坐标表示的实际意义是 　客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处　 ；
（2）求DE所在直线的函数解析式；
（3）当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程．
【分析】（1）从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间，进行求解作答即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）求出轿车到杭州H地的时间，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可．
【解答】解：（1）100÷1.25＝80千米/小时；
80×（2﹣1.25）＝60，
∴点B的坐标为（2，60）；
由题意和图象可知：点B的坐标表示的实际意义是客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处；
（2）设DE所在直线为y＝kx+b，
由题意可得：，
∴，
∴y＝﹣100x+260；
（3）由（2）知：y＝﹣100x+260，
当y＝0时，则：﹣100x+260＝0，解得：x＝2.6，
60+80×（2.6﹣2）＝108千米；
答：客车离杭州H地路程为108千米．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
【分析】（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x，则可得，求出a的值，即可得出答案．
（2）根据Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，可得结论．
（3）由题意得，二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，当a＜0时，可得当x＝0时，y＝﹣3，即a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x＝a时，y＝﹣3，即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x＝3时，y＝﹣3，即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，求出a的值，进而可得答案．
【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA延长线上取一点E，使得AE＝AB，连结BE，在AE下方，作∠AFE＝∠BCA，连结CF交⊙O于点D，连结BD．
（1）如图1，若∠BDC＝∠AEF，
①求证：△ABC≌△EAF；
②若AE＝2，AF＝4，求CD的长度．
（2）如图2，若AF＝EF，2∠CBD＝3∠BCA时，求证：BD＝EF．
【分析】（1）①利用ASA易证△ABC≌△EAF；②易得BA＝AE＝2，BC＝AF＝4，利用勾股定理求出AC＝2，CF＝6，利用等面积可得AD，在Rt△ADC中利用勾股定理即可得解；
（2）取优弧的中点G，连结BG、AG，先证△GAB≌△FEA（ASA），得AG＝EF，设∠BCA＝2x，∠CBD＝3x，则∠G＝∠BCA＝2x，导角可证∠GBD＝∠BCA，进而即可得证．
【解答】（1）①证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠BDC＝∠AEF，
∴∠BAC＝∠AEF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
②连结AD，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵△ABC≌△EAF（ASA），
∴∠EAF＝90°，
∴∠CAF＝90°，
∴BA＝AE＝2，BC＝AF＝4，
在Rt△ABC中，，
在Rt△AFC中，，
∵，
∴，
在Rt△ADC中，；
（2）证明：取优弧的中点G，连结BG、AG，
∵∠G＝∠BCA，∠AFE＝∠BCA，
∴∠G＝∠AFE，
∵，
∴BG＝AG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AF＝EF，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴∠GAB＝∠GBA＝∠FAE＝∠FEA，
在△GAB和△FEA中，
，
∴△GAB≌△FEA（ASA），
∴AG＝EF，
∵2∠CBD＝3∠BCA，
∴设∠BCA＝2x，∠CBD＝3x，
∴∠G＝∠BCA＝2x，
∴，
∴∠CBG＝∠CBA﹣∠GBA＝90﹣（90﹣x）＝x，
∴∠GBD＝∠CBD﹣∠CBG＝3x﹣x＝2x，
∴∠GBD＝∠BCA，
∴，
∴，
∴AG＝BD，
∴BD＝EF．

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