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广东省深圳市龙岗区2024-2025学年八年级下学期数学期中诊断试卷
1．（2025八下·龙岗期中）镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值．自古以来，镂花窗不仅用于宫殿，庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味．下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．（2025八下·龙岗期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a-2＞b-2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由数轴可得：aA：a-2B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：
故答案为：C
【分析】由数轴可得：a4．（2025八下·龙岗期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵顶点的对应点是
∴将向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到
∴点的对应点的坐标为
故答案为：A
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
5．（2025八下·龙岗期中）如图，在中，的垂直平分线分别交AB，AC于，两点，连接CD．则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
∵AC的垂直平分线分别交AB，AC于，两点
∴∠ACD=∠A=40°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°
故答案为：B
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ACB，再根据垂直平分线性质可得∠ACD=∠A=40°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2025八下·龙岗期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元／千克，香蕉的单价为8元／千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克，根据题意建立不等式组即可求出答案.
7．（2025八下·龙岗期中）校园的一角如图所示，其中线段表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等，那么这个点的位置是（　　）
A．线段AC，BD的交点 B．角平分线的交点
C．线段AB，BC垂直平分线的交点 D．线段BC，CD垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∴使得点到三面围墙的距离都相等，则点是角平分线的交点
故答案为：B
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
8．（2025八下·龙岗期中）如图，将含有角的三角板ABC绕顶点逆时针旋转一个角度得到，若AB，CE相交于点，则旋转角（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将含有角的三角板ABC绕顶点逆时针旋转一个角度得到
∴∠ACE=，AC=AE
∴
∵AE=AF
∴
∴∠EAF=
∴
解得：
故答案为：C
【分析】根据旋转性质可得∠ACE=，AC=AE，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025八下·龙岗期中）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．（2025八下·龙岗期中）若点与点关于原点成中心对称，则　 　．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点成中心对称
∴a=2025，b=-2024
∴2025+(-2024)=1
故答案为：1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数值即可求出答案.
11．（2025八下·龙岗期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　.
【答案】m≥4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：x<4
∵不等式组的解集为
∴m≥4
故答案为：m≥4
【分析】解不等式得：x<4，再结合不等式组的解集即可求出答案.
12．（2025八下·龙岗期中）如图，在Rt中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线MN交边BC于点．若，则CD的长为　 　．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD
由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线
∴AD=BD
∵BC=2AC=8
∴AC=4
设CD=x，则BD=AD=8-x
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD2=CD2+AC2
即(8-x)2=x2+42
解得：x=3
∴CD的长为3
故答案为：3
【分析】连接AD，由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025八下·龙岗期中）如图，在Rt中，，将边AC沿CE翻折，使点落在AB上的点处；再将边BC沿CF翻折，使点落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵Rt中，
∴
∵将边AC沿CE翻折，使点落在AB上的点处
∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE
∵∠AED=180°
∴∠CED=90°，即CE⊥AB
∵
∴EC=
在Rt△BCE中，
∵将边BC沿CF翻折，使点落在CD的延长线上的点处
∴BF=B'F，∠BCF=∠B'CF
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°
∴∠ECF=45°且CE⊥AB
∴∠EFC=∠ECF=45°
∴CE=EF=
∵BF=BE-EF=
∴B'F=
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得BA，再根据折叠性质可得∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，根据三角形面积可得EC，再根据勾股定理可得BE，再根据折叠性质可得BF=B'F，∠BCF=∠B'CF，根据角之间的关系可得∠EFC=∠ECF=45°，则CE=EF=，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025八下·龙岗期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．（2025八下·龙岗期中）解不等式组并写出所有的整数解．
【答案】解：
解不等式①可得：x≤2
解不等式②可得：
∴不等式组的解集为
∴整数解为：1，2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求出不等式组的解集，再写出整数解即可求出答案.
16．（2025八下·龙岗期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成，其初始位置坐标分别为，另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的与关于点成中心对称．
（1）在图中画出；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出；
（3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标 ▲ ．
【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）(5，3)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：解：画出如图所示
∴的坐标为(5，3)
故答案为：(5，3)
【分析】（1）根据中心对称图形性质作图即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图图形，即可得坐标.
17．（2025八下·龙岗期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析．如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点，为确保稳定性，必须过点焊接加固钢索BE，使得，分别交AD，AC于点F，E．
（1）求证：加固后的是等腰三角形；
（2）经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度．
【答案】（1）证明：在△ABF和△AEF中
∴△ABF≌△AEF
∴AB=AE
∴加固后的是等腰三角形
（2）解：连接DE，
由（1）知△ABF≌△AEF
∴AB=AC，BF=EF，∠ABE=∠AEC
∵BE⊥AD
∴DB=DE=5
∴∠DBE=∠DEB
∴∠ABC=∠AED
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=2∠C
∠AED=∠C+∠CDE
∴∠C=∠CDE
∴CE=DE=5
∴AB=AE=AC-CE=8
∴原始支撑段AB的长度为8米
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得△ABF≌△AEF，则AB=AE，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接DE，根据全等三角形性质可得AB=AC，BF=EF，∠ABE=∠AEC，根据等边对等角可得∠DBE=∠DEB，再根据角之间的关系可得∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2025八下·龙岗期中）目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．（2025八下·龙岗期中）【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知，下表是与的几组对应值．
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 6 4 2 0 -2 2 …
（1） ▲ ；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【拓展应用】
若点均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ▲ ；
（4）结合函数的图象，请写出不等式的解集： ▲ ．
【答案】（1）0
（2）解：作图如下
当x<2时，y随x的增大而减小
（3）m+n=4
（4）x<1或x>5
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：当x=3时，代入可得：
y=2|3-2|-2=0
∴a=0
故答案为：0
（3）若点均在该函数图象上
则m，n满足的数量关系为m+n=4
故答案为：m+n=4
（4）作出y=x-1的图象
由图象可得，不等式的解集为x<1或x>5
故答案为：x<1或x>5
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象即可求出答案.
（4）当函数的图象的图象在函数y=x-1上方时，有，结合函数图形即可求出答案.
20．（2025八下·龙岗期中）【特例感知】
（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接CD，则 ▲ ；
（2）【类比迁移】
如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点为公园入口，点，点是公园出口，入口与出口B，C的距离相等，且满足，点为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）6
（2）解：，理由如下
设AD于BE相交于点F
∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE
∵∠AFB=∠DFE
∴180°-∠B-∠AFB=180°-∠D-∠DFE
∴∠BAF=∠DEF=90°
∵∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF
∴∠BAF=∠CAE=90°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴
∴
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接DE
∵CD+DE≥CE
∴当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值
∵AD=AE，∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴
∴CE=CD+DE=600
∴BD=600
设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD与点G
∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠CFD
∴180°-∠ABD-∠AFB=180°-∠ACE-∠CFD
∴∠BAF=∠CDF=90°
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠ADE=45°
∴∠ADB=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形
∴2AG2=AD2
∴AG=200
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵将绕点逆时针旋转得到
∴AB=AD，∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴BD=AB=4
∴CD=CB+BD=6
故答案为：6
【分析】（1）根据旋转性质可得AB=AD，∠BAD=60°，根据等边三角形判定定理可得△ABD为等边三角形，则BD=AB=4，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设AD于BE相交于点F，根据全等三角形性质可得∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE，再根据角之间的关系可得∠BAF=∠CAE=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△ACE是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接DE，根据边之间的关系可得CD+DE≥CE，则当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值，根据等腰直角三角形判定定理可得△ADE是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得BD，设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD与点G，根据角之间的关系可得∠BAF=∠CDF=90°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ADG是等腰直角三角形，则AG=200，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2024-2025学年八年级下学期数学期中诊断试卷
1．（2025八下·龙岗期中）镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值．自古以来，镂花窗不仅用于宫殿，庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味．下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·龙岗期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a-2＞b-2 B． C． D．
4．（2025八下·龙岗期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·龙岗期中）如图，在中，的垂直平分线分别交AB，AC于，两点，连接CD．则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·龙岗期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元／千克，香蕉的单价为8元／千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025八下·龙岗期中）校园的一角如图所示，其中线段表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等，那么这个点的位置是（　　）
A．线段AC，BD的交点 B．角平分线的交点
C．线段AB，BC垂直平分线的交点 D．线段BC，CD垂直平分线的交点
8．（2025八下·龙岗期中）如图，将含有角的三角板ABC绕顶点逆时针旋转一个角度得到，若AB，CE相交于点，则旋转角（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·龙岗期中）分解因式：　 　．
10．（2025八下·龙岗期中）若点与点关于原点成中心对称，则　 　．
11．（2025八下·龙岗期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　.
12．（2025八下·龙岗期中）如图，在Rt中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线MN交边BC于点．若，则CD的长为　 　．
13．（2025八下·龙岗期中）如图，在Rt中，，将边AC沿CE翻折，使点落在AB上的点处；再将边BC沿CF翻折，使点落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段的长为　 　．
14．（2025八下·龙岗期中）因式分解：
（1）；
（2）．
15．（2025八下·龙岗期中）解不等式组并写出所有的整数解．
16．（2025八下·龙岗期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成，其初始位置坐标分别为，另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的与关于点成中心对称．
（1）在图中画出；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出；
（3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标 ▲ ．
17．（2025八下·龙岗期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析．如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点，为确保稳定性，必须过点焊接加固钢索BE，使得，分别交AD，AC于点F，E．
（1）求证：加固后的是等腰三角形；
（2）经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度．
18．（2025八下·龙岗期中）目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
19．（2025八下·龙岗期中）【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知，下表是与的几组对应值．
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 6 4 2 0 -2 2 …
（1） ▲ ；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【拓展应用】
若点均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ▲ ；
（4）结合函数的图象，请写出不等式的解集： ▲ ．
20．（2025八下·龙岗期中）【特例感知】
（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接CD，则 ▲ ；
（2）【类比迁移】
如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点为公园入口，点，点是公园出口，入口与出口B，C的距离相等，且满足，点为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由数轴可得：aA：a-2B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：
故答案为：C
【分析】由数轴可得：a4．【答案】A
【知识点】图形的平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵顶点的对应点是
∴将向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到
∴点的对应点的坐标为
故答案为：A
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
∵AC的垂直平分线分别交AB，AC于，两点
∴∠ACD=∠A=40°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°
故答案为：B
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ACB，再根据垂直平分线性质可得∠ACD=∠A=40°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克，根据题意建立不等式组即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∴使得点到三面围墙的距离都相等，则点是角平分线的交点
故答案为：B
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将含有角的三角板ABC绕顶点逆时针旋转一个角度得到
∴∠ACE=，AC=AE
∴
∵AE=AF
∴
∴∠EAF=
∴
解得：
故答案为：C
【分析】根据旋转性质可得∠ACE=，AC=AE，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点成中心对称
∴a=2025，b=-2024
∴2025+(-2024)=1
故答案为：1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数值即可求出答案.
11．【答案】m≥4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：x<4
∵不等式组的解集为
∴m≥4
故答案为：m≥4
【分析】解不等式得：x<4，再结合不等式组的解集即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD
由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线
∴AD=BD
∵BC=2AC=8
∴AC=4
设CD=x，则BD=AD=8-x
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD2=CD2+AC2
即(8-x)2=x2+42
解得：x=3
∴CD的长为3
故答案为：3
【分析】连接AD，由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵Rt中，
∴
∵将边AC沿CE翻折，使点落在AB上的点处
∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE
∵∠AED=180°
∴∠CED=90°，即CE⊥AB
∵
∴EC=
在Rt△BCE中，
∵将边BC沿CF翻折，使点落在CD的延长线上的点处
∴BF=B'F，∠BCF=∠B'CF
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°
∴∠ECF=45°且CE⊥AB
∴∠EFC=∠ECF=45°
∴CE=EF=
∵BF=BE-EF=
∴B'F=
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得BA，再根据折叠性质可得∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，根据三角形面积可得EC，再根据勾股定理可得BE，再根据折叠性质可得BF=B'F，∠BCF=∠B'CF，根据角之间的关系可得∠EFC=∠ECF=45°，则CE=EF=，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．【答案】解：
解不等式①可得：x≤2
解不等式②可得：
∴不等式组的解集为
∴整数解为：1，2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求出不等式组的解集，再写出整数解即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）(5，3)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：解：画出如图所示
∴的坐标为(5，3)
故答案为：(5，3)
【分析】（1）根据中心对称图形性质作图即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图图形，即可得坐标.
17．【答案】（1）证明：在△ABF和△AEF中
∴△ABF≌△AEF
∴AB=AE
∴加固后的是等腰三角形
（2）解：连接DE，
由（1）知△ABF≌△AEF
∴AB=AC，BF=EF，∠ABE=∠AEC
∵BE⊥AD
∴DB=DE=5
∴∠DBE=∠DEB
∴∠ABC=∠AED
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=2∠C
∠AED=∠C+∠CDE
∴∠C=∠CDE
∴CE=DE=5
∴AB=AE=AC-CE=8
∴原始支撑段AB的长度为8米
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得△ABF≌△AEF，则AB=AE，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接DE，根据全等三角形性质可得AB=AC，BF=EF，∠ABE=∠AEC，根据等边对等角可得∠DBE=∠DEB，再根据角之间的关系可得∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）0
（2）解：作图如下
当x<2时，y随x的增大而减小
（3）m+n=4
（4）x<1或x>5
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：当x=3时，代入可得：
y=2|3-2|-2=0
∴a=0
故答案为：0
（3）若点均在该函数图象上
则m，n满足的数量关系为m+n=4
故答案为：m+n=4
（4）作出y=x-1的图象
由图象可得，不等式的解集为x<1或x>5
故答案为：x<1或x>5
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象即可求出答案.
（4）当函数的图象的图象在函数y=x-1上方时，有，结合函数图形即可求出答案.
20．【答案】（1）6
（2）解：，理由如下
设AD于BE相交于点F
∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE
∵∠AFB=∠DFE
∴180°-∠B-∠AFB=180°-∠D-∠DFE
∴∠BAF=∠DEF=90°
∵∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF
∴∠BAF=∠CAE=90°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴
∴
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接DE
∵CD+DE≥CE
∴当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值
∵AD=AE，∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴
∴CE=CD+DE=600
∴BD=600
设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD与点G
∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠CFD
∴180°-∠ABD-∠AFB=180°-∠ACE-∠CFD
∴∠BAF=∠CDF=90°
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠ADE=45°
∴∠ADB=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形
∴2AG2=AD2
∴AG=200
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵将绕点逆时针旋转得到
∴AB=AD，∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴BD=AB=4
∴CD=CB+BD=6
故答案为：6
【分析】（1）根据旋转性质可得AB=AD，∠BAD=60°，根据等边三角形判定定理可得△ABD为等边三角形，则BD=AB=4，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设AD于BE相交于点F，根据全等三角形性质可得∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE，再根据角之间的关系可得∠BAF=∠CAE=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△ACE是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接DE，根据边之间的关系可得CD+DE≥CE，则当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值，根据等腰直角三角形判定定理可得△ADE是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得BD，设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD与点G，根据角之间的关系可得∠BAF=∠CDF=90°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ADG是等腰直角三角形，则AG=200，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
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