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广东省深圳市光明区2025年中考数学二模试题
1．（2025·光明模拟） 如果零上20℃记作+20℃，那么零下12℃记作（　　）℃.
A．-20 B．+20 C．+12 D．-12
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 零下12℃记作 -12℃。
故答案为：D .
【分析】因为零上20℃记作+20℃，根据正负数的意义即可得出零下12℃记作 -12℃。
2．（2025·光明模拟） 下图是小张在完成劳动课作业“为家人做一餐饭”时用到的电饭煲，该电饭煲的主视图为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：图案是该电饭煲的俯视图，所以A不正确；
B：图案是该电饭煲的主视图，所以B正确；
C：图案是该电饭煲的左视图，所以C不正确；
D：图案是该电饭煲的右视图，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】从电饭煲的各个方向观察，得到不同的视图，分别进行判断，即可得出答案。
3．（2025·光明模拟） 深度求索（Deep Seek）公司独立开发的智能助手Deep Seek-R1，理论上可支持每秒1万亿次以上的浮点运算，1万亿用科学记数法可表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1万亿 =1000000000000=1×1012.
故答案为：C .
【分析】首先把1万亿改写成数字形式，再把数字根据大于10的科学记数法的规范写法，即可得出答案。
4．（2025·光明模拟） 某次演讲比赛中，进入决赛的 7 位同学得分由低到高依次为 88，90，90，92，97，97，98.这组得分的众数是（　　）.
A．90 和 97 B．92 C．97 D．90
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为90和97都是出现2次，且其它的数都是出现1次，
∴90和97都是这组数据的众数。
故答案为：A .
【分析】根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，就是这组数据的众数，即可得出答案。
5．（2025·光明模拟） 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）m.（结果精确到0.1m）（，，，）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：α越大， 使用的梯子越短，所以当α=75°时， 使用的梯子最短 ，
当α=75°时：由sinα=，得：AC=
故答案为：B .
【分析】首先确定α越大， 使用的梯子越短，然后根据， 可求得当α=75°时，使用的梯子最短，通过解直角三角形ABC，即可得出最短得梯子长度。
6．（2025·光明模拟） 已知二次函数为，则它的图象可能是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；
∵b≠0，
∴抛物线的对称轴不是y轴，
∴ 二次函数为的图象是：C。
故答案为：C .
【分析】首先根据a＞0，b≠0，可得出二次函数为的图象开口向上，且对称轴不是y轴，然后结合图象，即可得出正确答案。
7．（2025·光明模拟） 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设这两个数分别为a，b，且a＞b，
∴a-b=m，
∴平均数的平方为：，平方的平均数为：，
∴ 它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”=-=，
故答案为：D .
【分析】首先设这两个数分别为a，b，且a＞b，然后根据题意可得出平均数的平方为：，平方的平均数为：，然后列式计算即可得出答案。
8．（2025·光明模拟） 如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（　　）cm.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，AB表示一根连接装置，AB=15cm，AB旋转90°后到了AC的位置，分别过点 B、C作BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，
由已知条件知：∠BAM=30°，
∴∠CAN=60°，
∴∠ACN=30°，
在直角三角形ABM中：BM=；
在直角三角形ACN中，AN=，
∴CN=，
∴ 当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加 ：
故答案为：C .
【分析】AB表示一根连接装置，AB=15cm，AB旋转90°后到了AC的位置，分别过点 B、C作BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，根据题意，得出直角三角形ABM和直角三角形ACN中，∠BAM=30°，∠ACN=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质即可得出BM和CN的长度，进一步得出当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加的高度为2（CN-BM)，代入计算即可得出答案。
9．（2025·光明模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
10．（2025·光明模拟） 已知2是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得：2x2=2，
∴x2=1.
故第1空答案为： 1.
【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得：2x2=2，计算即可得出答案。
11．（2025·光明模拟） 如图，已知，，，则的度数为　 　度.
【答案】30
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A'=∠A=50°，
∵，
∴=180°-∠A’-∠C'=180°-50°-100°=30°。
故第1空答案为：30 .
【分析】首先根据全等三角形的性质得出∠A'=∠A=50°，然后根据三角形内角和等于180°即可求得的度数 。
12．（2025·光明模拟） 如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若，则AF的长度为　 　cm.
【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，EG∥CB，
∴，
∴，
即：，
∵DC∥AB，
∴，
∵CD=AB=60，
∴AF=（cm）。
故答案为：15 .
【分析】如图，首先根据EG∥CB，可得出，再根据DC∥AB，可得出，最后根据CD=AB=60，即可得出AF=15cm。
13．（2025·光明模拟） 如图，已知中三边长分别为，，，动点D在边BC上运动，过点D作，，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，
在直角三角形ABH中：BH2=AB2-AH2=22-x2，在直角三角形BCH中：BH2=BC2-CH2=，
∴22-x2=，
解得：x=1，即AH=1，CH=2，
在直角三角形ABH中：cos∠BAH=，
∴∠BAH=60°，
∵，，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴A、E、D、F四点共圆，且AD为该圆的直径，
取AD的中点O，连接OE，OF，
∴∠EOF=2∠BAH=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴cos30°=，
∴，
∴EF==，
∴当AD最短时，EF取最小值，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
当AD⊥BC时，，
由勾股定理可得：BH=，
∴AD=，
此时，EF=。
故答案为： .
【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，然后根据勾股定理可得：22-x2=，解得x=1，即AH=1，CH=2，然后在直角三角形ABH中，根据三角函数的定义，可求得∠BAH=60°，进而根据四点共圆和圆周角定理，即可得出∠EOF=2∠BAH=120°，进而得出EF=，即可得出当AD最小时，EF取最小值，根据垂线段最短，即可得出当当AD⊥BC时，AD的值最小，然后根据三角形的面积计算公式即可得出，通过计算可求得此时AD的长度，进而得出EF的最小值即可。
14．（2025·光明模拟）
（1） 计算：；
（2） 解方程：
【答案】（1）解： 原式
（2）解：
解：①+②可得 x + 2x = -3，3x = -3，x = -1.
将x = -1代入①，得y = -2.
所以原方程组的解是 .
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；解二元一次方程组；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）首先根据0指数幂的性质，30°锐角的正切值，化简二次根式，绝对值的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可得出答案；
（2）利用加法消元，先消去未知数y，即可得出关于x的一元一次方程：3x = -3，解得x的值，然后把x = -1代入①，得y = -2.，即可得出方程组的解。
15．（2025·光明模拟）某校举办了跑操比赛，进入决赛的班级有一班，二班，三班，评委将从服装统一，口号响亮，跑操整齐三个方面进行打分，每项满分10 分.
（1） 比赛开始前，三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同，那么三班第二个进场的概率为　 　；
（2） 三个班级的得分如下表. 若将服装统一、口号响亮、跑操整齐这三项得分依次按20%，30%，50%的比例计算各班比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？写出必要的过程.
项目 得分
一班 二班 三班
服装统一 9.5 8 8.5
口号响亮 9 7 7
跑操整齐 7 9 8
【答案】（1）
（2）解：二班得分较高.
理由如下：一班得分为：
二班得分为：
三班得分为：
，
二班得分最高.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)树状图分析如下：
∴ 三班第二个进场的概率为 ：.
故第1空答案为：.
【分析】（1）首先根据树状图进行分析所有机会均等的结果共6种，其中3班第二个进场的结果有2种， 然后根据频率计算公式，即可得出答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，分别计算各班的得分，然后进行比较，即可得出答案。
16．（2025·光明模拟）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
17．（2025·光明模拟）如图，在中，，过AB的中点C.
（1） 求证：AB为的切线；
（2） 若的直径为8cm，，求OA的长.
【答案】（1）证明：
经过点C
是的切线.
（2）解：的直径为8cm
在 中，由勾股定理可得
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。
18．（2025·光明模拟）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠.白银分割是指：若存在两点C、D将线段AB分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段AB被点C、D白银分割，点C、D叫做线段AB的白银分割点，该比值叫做白银比.
根据分割形态差异，可分为两类经典情形：
对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割；
邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割.
（1） 以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比. 如图1，设，. 求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）.
（2） 如图3，点C为线段AB靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段AN靠近点A的白银分割点P. 不写作法，保留作图痕迹.
【答案】（1）解：
，
解得：（舍去）
（2）解：
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；一元二次方程的应用-几何问题；尺规作图-平行线
19．（2025·光明模拟）希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下.
1. 如图 1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边 OB与 x 轴正方向重合；
2. 绘制函数的图象，图象与已知角的另一边 OA交于点 P；
3. 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，交函数的图象于点 R；
4. 分别过点 P和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线交于点 M；
5. 连接 OM，得到，这时.
（1）【探究】小明在探究该方法时发现，先以 P，R，M 为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点 Q 与 O，M 共线后，即可推导出. 请你根据以上思路帮助小明完成证明过程.
证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
，，，
四边形PQRM为矩形.
设点 P(，，)，则 M (，（　 　），
于是直线 OM 的解析式为　 　，
，
点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
，
，
又，
，
　 　，
.
（2）【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明.
（3）【应用】如图2. 在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边OB与轴正方向重合，另一边与函数（）交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中，，那么　 　.
【答案】（1）；；
（2）证明：如图，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q，
四边形PQRM为矩形，
设点P，R，
于是直线的解析式为，
∵，
∴点Q在直线OM上，
连接 PR 交 OM于点 N，则 N 为 PR 中点，
，
，
又 ，
，
，
；
（3）8
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；正比例函数的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
，，，
四边形PQRM为矩形.
设点 P(，，)，则 M (，（)，
于是直线 OM 的解析式为，
，
点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
，
，
又，
，
，
.
故第1空答案为：；第2空答案为：；第3空答案为：；
(3)如图2，过点A作AD⊥OP于点D，过点A作AE⊥OB于点E，
∵∠OAC=120°，
∴∠AOP=∠APO=30°，
∵，
∴AD=，
在直角三角形AOD中，由cos∠AOP=，得：OA=，
由（2）知：∠AOB=3∠POB，
∴∠AOB=45°，
∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为：，
∴k=，
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的性质可得出点Q的横坐标等于点P的横坐标，点Q的纵坐标等于点R的纵坐标，即可得出第1空答案；再根据点M的坐标，利用正比例函数待定系数法，即可得出第2空答案；再根据矩形的对角线互相平分且相等及题意 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，可得出，即可得出3空答案；
（2）推理同（1）；
（3）如图2，过点A作AD⊥OP于点D，过点A作AE⊥OB于点E，由题意知OA=OP，可得出∠AOP=∠APO=30°，再根据（2）的结果可得出∠AOB=3∠POB，可得：∠AOB=45°，然后通过解三角形可得AE=OE=2，进而得出k=.
20．（2025·光明模拟）四边形 ABCD 为正方形，以点 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转，得到线段 AE，连接线段 DE，BE.
（1） 如图 1，当旋转角时，的度数为 　 　度；
（2） 如图 2，当旋转角由小变大时，的度数 　 　（填 “变大”，“变小”，或 “不变”），请说明理由；
（3） 如图 3，延长 DE，过点 B 作的延长线于点 F，连接 CF. 求线段 DE 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（4） 如图 4，正方形的边长为 2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段 CF 扫过的面积.
【答案】（1）135
（2）不变
（3）解： ；
证明：连接BD、BE，
由(2)可知：，
∴，
为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（4）解：如图，取BD的中点P，连接PC，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CP⊥BD，
∵BC=BD=2，
∴BD=，
∴BP=DP=CP=，
∴PF=PC=.
∵∠BPC=90°，
∴ 线段 CF 扫过的面积=.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)∵AD=AE，
∴∠AED=，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=AE=AD，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠BED=75°+60°=135°；
故第1空答案为：135；
（2）理由如下：∵， ，
∴
又∵， ；
∴
∴.
故第1空答案为：不变；
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=75°，再根据等边三角形的性质得出∠BAE=60°，进而可得出∠BED=135°；
（2）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=90°-，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=45°+，进而可得出∠BED=135°，即可得出的度数不变；
（3）首先根据两边对应成比例且夹角相等，得出，再根据相似三角形的性质得出即；
（4）首先得出 CF 扫过的面积 是以点P为圆心，PC长为半径的扇形，且圆心角为90°，然后根据扇形面积计算公式，即可得出线段 CF 扫过的面积=.
1 / 1广东省深圳市光明区2025年中考数学二模试题
1．（2025·光明模拟） 如果零上20℃记作+20℃，那么零下12℃记作（　　）℃.
A．-20 B．+20 C．+12 D．-12
2．（2025·光明模拟） 下图是小张在完成劳动课作业“为家人做一餐饭”时用到的电饭煲，该电饭煲的主视图为（　　）.
A． B．
C． D．
3．（2025·光明模拟） 深度求索（Deep Seek）公司独立开发的智能助手Deep Seek-R1，理论上可支持每秒1万亿次以上的浮点运算，1万亿用科学记数法可表示为（　　）.
A． B． C． D．
4．（2025·光明模拟） 某次演讲比赛中，进入决赛的 7 位同学得分由低到高依次为 88，90，90，92，97，97，98.这组得分的众数是（　　）.
A．90 和 97 B．92 C．97 D．90
5．（2025·光明模拟） 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）m.（结果精确到0.1m）（，，，）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
6．（2025·光明模拟） 已知二次函数为，则它的图象可能是（　　）.
A． B．
C． D．
7．（2025·光明模拟） 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）.
A． B． C． D．
8．（2025·光明模拟） 如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（　　）cm.
A． B． C． D．
9．（2025·光明模拟）因式分解： 　 　．
10．（2025·光明模拟） 已知2是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是　 　.
11．（2025·光明模拟） 如图，已知，，，则的度数为　 　度.
12．（2025·光明模拟） 如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若，则AF的长度为　 　cm.
13．（2025·光明模拟） 如图，已知中三边长分别为，，，动点D在边BC上运动，过点D作，，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　 　.
14．（2025·光明模拟）
（1） 计算：；
（2） 解方程：
15．（2025·光明模拟）某校举办了跑操比赛，进入决赛的班级有一班，二班，三班，评委将从服装统一，口号响亮，跑操整齐三个方面进行打分，每项满分10 分.
（1） 比赛开始前，三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同，那么三班第二个进场的概率为　 　；
（2） 三个班级的得分如下表. 若将服装统一、口号响亮、跑操整齐这三项得分依次按20%，30%，50%的比例计算各班比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？写出必要的过程.
项目 得分
一班 二班 三班
服装统一 9.5 8 8.5
口号响亮 9 7 7
跑操整齐 7 9 8
16．（2025·光明模拟）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
17．（2025·光明模拟）如图，在中，，过AB的中点C.
（1） 求证：AB为的切线；
（2） 若的直径为8cm，，求OA的长.
18．（2025·光明模拟）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠.白银分割是指：若存在两点C、D将线段AB分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段AB被点C、D白银分割，点C、D叫做线段AB的白银分割点，该比值叫做白银比.
根据分割形态差异，可分为两类经典情形：
对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割；
邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割.
（1） 以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比. 如图1，设，. 求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）.
（2） 如图3，点C为线段AB靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段AN靠近点A的白银分割点P. 不写作法，保留作图痕迹.
19．（2025·光明模拟）希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下.
1. 如图 1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边 OB与 x 轴正方向重合；
2. 绘制函数的图象，图象与已知角的另一边 OA交于点 P；
3. 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，交函数的图象于点 R；
4. 分别过点 P和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线交于点 M；
5. 连接 OM，得到，这时.
（1）【探究】小明在探究该方法时发现，先以 P，R，M 为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点 Q 与 O，M 共线后，即可推导出. 请你根据以上思路帮助小明完成证明过程.
证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
，，，
四边形PQRM为矩形.
设点 P(，，)，则 M (，（　 　），
于是直线 OM 的解析式为　 　，
，
点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
，
，
又，
，
　 　，
.
（2）【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明.
（3）【应用】如图2. 在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边OB与轴正方向重合，另一边与函数（）交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中，，那么　 　.
20．（2025·光明模拟）四边形 ABCD 为正方形，以点 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转，得到线段 AE，连接线段 DE，BE.
（1） 如图 1，当旋转角时，的度数为 　 　度；
（2） 如图 2，当旋转角由小变大时，的度数 　 　（填 “变大”，“变小”，或 “不变”），请说明理由；
（3） 如图 3，延长 DE，过点 B 作的延长线于点 F，连接 CF. 求线段 DE 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（4） 如图 4，正方形的边长为 2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段 CF 扫过的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 零下12℃记作 -12℃。
故答案为：D .
【分析】因为零上20℃记作+20℃，根据正负数的意义即可得出零下12℃记作 -12℃。
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：图案是该电饭煲的俯视图，所以A不正确；
B：图案是该电饭煲的主视图，所以B正确；
C：图案是该电饭煲的左视图，所以C不正确；
D：图案是该电饭煲的右视图，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】从电饭煲的各个方向观察，得到不同的视图，分别进行判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1万亿 =1000000000000=1×1012.
故答案为：C .
【分析】首先把1万亿改写成数字形式，再把数字根据大于10的科学记数法的规范写法，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为90和97都是出现2次，且其它的数都是出现1次，
∴90和97都是这组数据的众数。
故答案为：A .
【分析】根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，就是这组数据的众数，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：α越大， 使用的梯子越短，所以当α=75°时， 使用的梯子最短 ，
当α=75°时：由sinα=，得：AC=
故答案为：B .
【分析】首先确定α越大， 使用的梯子越短，然后根据， 可求得当α=75°时，使用的梯子最短，通过解直角三角形ABC，即可得出最短得梯子长度。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；
∵b≠0，
∴抛物线的对称轴不是y轴，
∴ 二次函数为的图象是：C。
故答案为：C .
【分析】首先根据a＞0，b≠0，可得出二次函数为的图象开口向上，且对称轴不是y轴，然后结合图象，即可得出正确答案。
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设这两个数分别为a，b，且a＞b，
∴a-b=m，
∴平均数的平方为：，平方的平均数为：，
∴ 它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”=-=，
故答案为：D .
【分析】首先设这两个数分别为a，b，且a＞b，然后根据题意可得出平均数的平方为：，平方的平均数为：，然后列式计算即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，AB表示一根连接装置，AB=15cm，AB旋转90°后到了AC的位置，分别过点 B、C作BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，
由已知条件知：∠BAM=30°，
∴∠CAN=60°，
∴∠ACN=30°，
在直角三角形ABM中：BM=；
在直角三角形ACN中，AN=，
∴CN=，
∴ 当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加 ：
故答案为：C .
【分析】AB表示一根连接装置，AB=15cm，AB旋转90°后到了AC的位置，分别过点 B、C作BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，根据题意，得出直角三角形ABM和直角三角形ACN中，∠BAM=30°，∠ACN=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质即可得出BM和CN的长度，进一步得出当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加的高度为2（CN-BM)，代入计算即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得：2x2=2，
∴x2=1.
故第1空答案为： 1.
【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得：2x2=2，计算即可得出答案。
11．【答案】30
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A'=∠A=50°，
∵，
∴=180°-∠A’-∠C'=180°-50°-100°=30°。
故第1空答案为：30 .
【分析】首先根据全等三角形的性质得出∠A'=∠A=50°，然后根据三角形内角和等于180°即可求得的度数 。
12．【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，EG∥CB，
∴，
∴，
即：，
∵DC∥AB，
∴，
∵CD=AB=60，
∴AF=（cm）。
故答案为：15 .
【分析】如图，首先根据EG∥CB，可得出，再根据DC∥AB，可得出，最后根据CD=AB=60，即可得出AF=15cm。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，
在直角三角形ABH中：BH2=AB2-AH2=22-x2，在直角三角形BCH中：BH2=BC2-CH2=，
∴22-x2=，
解得：x=1，即AH=1，CH=2，
在直角三角形ABH中：cos∠BAH=，
∴∠BAH=60°，
∵，，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴A、E、D、F四点共圆，且AD为该圆的直径，
取AD的中点O，连接OE，OF，
∴∠EOF=2∠BAH=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴cos30°=，
∴，
∴EF==，
∴当AD最短时，EF取最小值，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
当AD⊥BC时，，
由勾股定理可得：BH=，
∴AD=，
此时，EF=。
故答案为： .
【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，然后根据勾股定理可得：22-x2=，解得x=1，即AH=1，CH=2，然后在直角三角形ABH中，根据三角函数的定义，可求得∠BAH=60°，进而根据四点共圆和圆周角定理，即可得出∠EOF=2∠BAH=120°，进而得出EF=，即可得出当AD最小时，EF取最小值，根据垂线段最短，即可得出当当AD⊥BC时，AD的值最小，然后根据三角形的面积计算公式即可得出，通过计算可求得此时AD的长度，进而得出EF的最小值即可。
14．【答案】（1）解： 原式
（2）解：
解：①+②可得 x + 2x = -3，3x = -3，x = -1.
将x = -1代入①，得y = -2.
所以原方程组的解是 .
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；解二元一次方程组；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）首先根据0指数幂的性质，30°锐角的正切值，化简二次根式，绝对值的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可得出答案；
（2）利用加法消元，先消去未知数y，即可得出关于x的一元一次方程：3x = -3，解得x的值，然后把x = -1代入①，得y = -2.，即可得出方程组的解。
15．【答案】（1）
（2）解：二班得分较高.
理由如下：一班得分为：
二班得分为：
三班得分为：
，
二班得分最高.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)树状图分析如下：
∴ 三班第二个进场的概率为 ：.
故第1空答案为：.
【分析】（1）首先根据树状图进行分析所有机会均等的结果共6种，其中3班第二个进场的结果有2种， 然后根据频率计算公式，即可得出答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，分别计算各班的得分，然后进行比较，即可得出答案。
16．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
17．【答案】（1）证明：
经过点C
是的切线.
（2）解：的直径为8cm
在 中，由勾股定理可得
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。
18．【答案】（1）解：
，
解得：（舍去）
（2）解：
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；一元二次方程的应用-几何问题；尺规作图-平行线
19．【答案】（1）；；
（2）证明：如图，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q，
四边形PQRM为矩形，
设点P，R，
于是直线的解析式为，
∵，
∴点Q在直线OM上，
连接 PR 交 OM于点 N，则 N 为 PR 中点，
，
，
又 ，
，
，
；
（3）8
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；正比例函数的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
，，，
四边形PQRM为矩形.
设点 P(，，)，则 M (，（)，
于是直线 OM 的解析式为，
，
点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
，
，
又，
，
，
.
故第1空答案为：；第2空答案为：；第3空答案为：；
(3)如图2，过点A作AD⊥OP于点D，过点A作AE⊥OB于点E，
∵∠OAC=120°，
∴∠AOP=∠APO=30°，
∵，
∴AD=，
在直角三角形AOD中，由cos∠AOP=，得：OA=，
由（2）知：∠AOB=3∠POB，
∴∠AOB=45°，
∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为：，
∴k=，
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的性质可得出点Q的横坐标等于点P的横坐标，点Q的纵坐标等于点R的纵坐标，即可得出第1空答案；再根据点M的坐标，利用正比例函数待定系数法，即可得出第2空答案；再根据矩形的对角线互相平分且相等及题意 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，可得出，即可得出3空答案；
（2）推理同（1）；
（3）如图2，过点A作AD⊥OP于点D，过点A作AE⊥OB于点E，由题意知OA=OP，可得出∠AOP=∠APO=30°，再根据（2）的结果可得出∠AOB=3∠POB，可得：∠AOB=45°，然后通过解三角形可得AE=OE=2，进而得出k=.
20．【答案】（1）135
（2）不变
（3）解： ；
证明：连接BD、BE，
由(2)可知：，
∴，
为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（4）解：如图，取BD的中点P，连接PC，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CP⊥BD，
∵BC=BD=2，
∴BD=，
∴BP=DP=CP=，
∴PF=PC=.
∵∠BPC=90°，
∴ 线段 CF 扫过的面积=.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)∵AD=AE，
∴∠AED=，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=AE=AD，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠BED=75°+60°=135°；
故第1空答案为：135；
（2）理由如下：∵， ，
∴
又∵， ；
∴
∴.
故第1空答案为：不变；
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=75°，再根据等边三角形的性质得出∠BAE=60°，进而可得出∠BED=135°；
（2）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=90°-，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=45°+，进而可得出∠BED=135°，即可得出的度数不变；
（3）首先根据两边对应成比例且夹角相等，得出，再根据相似三角形的性质得出即；
（4）首先得出 CF 扫过的面积 是以点P为圆心，PC长为半径的扇形，且圆心角为90°，然后根据扇形面积计算公式，即可得出线段 CF 扫过的面积=.
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