资源简介

广东省深圳市石厦中学等多校联考2024-2025学年八年级下册数学期中考试试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分)
1．（2025八下·深圳期中）下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·深圳期中）若，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·深圳期中）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于M、N两点，画直线MN与边BC相交于点D，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·深圳期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为(x+9)(x-6)，则a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-54 D．54
5．（2025八下·深圳期中）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(-1，m)，则关于×的不等式-2x+2A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-1
6．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
7．（2025八下·深圳期中）关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·深圳期中）如图，，点在边OE上，且，过点作交ON于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作OF的垂线分别交OE，OF于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作OF的垂线分别交OE，OF于点，，以为边在的右侧作等边三角形...按此规律进行下去，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，7)向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标是　 　.
10．（2025八下·深圳期中）已知直角三角形的两条边长分别为5和12，则这个直角三角形的第三边长为　 　.
11．（2025八下·深圳期中）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为　 　cm.
12．（2025八下·深圳期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　.
13．（2025八下·深圳期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=8.将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△A'B'C'，点E是边AB的中点，点F是边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点F'，则线段EF'最小值　 　.
三、解答题(共7小题，共61分)
14．（2025八下·深圳期中）计算
（1）分式化简；
（2）因式分解
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组，并把解集表示在数轴上.
16．（2025八下·深圳期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且，.
（1）①画出绕原点O顺时针旋转后的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）.
②若点P(m，n)在内，其旋转后的对应点为，直接写出的坐标(　 　，　 　)；（用m、n来表示）
（2）画出关于原点O成中心对称的图形，其中点A_2与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）.
17．（2025八下·深圳期中）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC//OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6.
（1）求证：OC=CP.
（2）求PD的长度.
18．（2025八下·深圳期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作.这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元
（1）求A、B型手办进价分别是每件多少元
（2）该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案。
（3）在第(2)问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案。
19．（2025八下·深圳期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法.在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的.八(1)班的几名同学在对多项式因式分解时用“换元法”进行解题时发现了几种方法：
【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路.
解：令，得：，
即原式=
【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路.
解：令，得，
即原式
【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元.
解：，
∴令，得，
即原式=
请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题：
（1）因式分解：.
（2）小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解。
解：原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16
......
......
请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整。
（3）请直接写出最终结果。
①因式分解：(x+3)(×+4)(x+5)(x+6)-360=　 　.
②因式分解：(x2-1)(x+3)(x+5)+16=　 　.
20．（2025八下·深圳期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数 请写出完整过程；　 　(直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：不一定成立，不符合题意.
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC垂直平分AC
∴AD=DC
∴∠C=∠DAC=30°
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°
故答案为：D
【分析】由题意可得：BC垂直平分AC，根据垂直平分线性质可得AD=DC，根据等边对等角可得∠C=∠DAC=30°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
(x+9)(x-6)=x2+3x-54
∴a=3，b=-54
故答案为：C
【分析】将(x+9)(x-6)展开，根据对应系数相等即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b相交于点A(-1，m)
∴-2x+2故答案为：B
【分析】当直线y=-2x+2在直线y=kx+b下方时，有-2x+26．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，解得：
∴不等式组的解集为：m∵不等式组有两个整数解，即整数解为：2，1
∴m取值范围为
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解，即可求出m的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由题意可得：
在Rt△OA1B1中
∵
∴∠OA1B1=30°
∴
∴
∵
∴
同理可得，......
∴
当n=2025时
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠OA1B1=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，由题可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，......，总结规律即可求出答案.
9．【答案】(5，3)
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
将点P（3，7)向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标是(5，3)
故答案为：(5，3)
【分析】根据点的平移即可求出答案.
10．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当12为直角边时，第三边长为
当12为斜边长时，第三边长为
故答案为：13或
【分析】分情况讨论，结合勾股定理即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AC=BC=10，∠B=15°
∴∠BAC=∠B=15°
∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°
∴
故答案为：5
【分析】根据等边对等角可得∠BAC=∠B=15°，再根据三角形外角性质可得∠ACD=∠B+∠BAC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．【答案】9≤x<12
【知识点】解一元一次不等式组；列一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得：
第一次运算结果为：(x-3)×2<18
第二次运算结果为[(x-3)×2-3]×2≥18
∵需要经过2次运算才能输出结果
∴
解得：9≤x<12
故答案为：9≤x<12
【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，AF'，过点A作AH⊥BC于点H
在Rt△ACH中，∠C=45°
∴
过点B作BP⊥AC于点P，则∠ABP=90°-60°=30°
∵AB=8
∴
∵∠C=45°
∴
∵
∴
∴
∵点E是边AB的中点
∴
∵点F是边BC上的动点
∴当点F是点H重合时，EF有最小值
故答案为：
【分析】连接AF，AF'，过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质可得，过点B作BP⊥AC于点P，则∠ABP=90°-60°=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得AH，再根据正弦定义可得AC，根据线段中点可得AE，当点F是点H重合时，EF有最小值，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）分子提公因数，分母根据完全平方公式化简即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
15．【答案】解：
解①得：
解② 得：
∴不等式的解集为
解集在数轴上表示如下.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
16．【答案】（1）n；-m
（2）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）①如图，即为所求
【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可.
②根据旋转性质即可求出答案.
（2）根据中心对称图形作图即可.
17．【答案】（1）证明：∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠AOP=∠BOP
∵PC//OA
∴∠AOP=∠OPC
∴∠BOP=∠OPC
∴OC=CP
（2）解：过点P作PE⊥OB于点E
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，∠AOB=60°
∴PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°
由（1）知OC=CP=6，∠BOP=∠OPC=30°
∵∠CPE=180°-∠PEO-∠BOP-∠OPC=30°
在Rt△CPE中，∠CPE=30°
∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠AOP=∠BOP，再根据直线平行性质可得∠AOP=∠OPC，则∠BOP=∠OPC，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线定义及性质可得PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°，再根据三角形内角和定理及角之间的关系可得∠CPE=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元
由题意可得：，解得：
∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元
（2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件
由题意可得：
解得：
∴共有3种方案
A型26件，B型34件
A型27件，B型33件
A型28件，B型32件
（3）解：由题意可得：
利润函数为10a+1200
当a=28时，利润最大为1480元
∴最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：令t=a2+4a+1
原式=(t-5)(t+5)+25
=t2-25+25
=t2
=(a2+4a+1)2
（2）解：原式=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+ 16
令t=a2+8a+11
∴原式=(t-4)(t+4)+16
=t2-16+16
=t2
=(a2+8a+11)2
（3）x(x+9)(x2+9x+38)；(x2+4x-1)2
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（3）①原式=[(x+3)(x+6)][(x+4)(2+5)]-360
=(x2+9x+18)(x2+9x+20)-360
令t=x2+9x+19，
则原式=(t-1)(t+1)-360
=t2-1-360
=t2-361
=(t-19)(t+19).
=(x2+9x)(x2+9x+38)
=x(x+9)(x2+9x+38)
故答案为：x(x+9)(x2+9x+38)
②原式=(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)+16
=[(x-1)(x+5)][(x+1)(x+3)]+16
=(x2+4x-5)(x2+4x+3)+16
令t=x2+4x-1
∴原式=(t-4)(t+4)+16
=t2-16+16
=t2
=(x2+4x-1)2
故答案为：(x2+4x-1)2
【分析】（1）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
（2）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
（3）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
20．【答案】（1）3；150°
（2）
（3）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°∴∠APB=∠BP'C=135°∴
（4）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB
∵∠PAC+∠BAP=60°
∴∠PAP'=60°
∴△APP'为等边三角形
∴PP'=AP=AP'=3
∵PP'2+BP2=BP2
∴△BPP'为直角三角形
∴∠BPP'=90°
∴∠APB=90°+60°=150°
故答案为：3；150°
（2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90°
∴∠BPH=30°
∵BH⊥AP
∴∠H=90°
∵PB=4
∴
∴
∴
故答案为：
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE
∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD
∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形
∴AP=PF=AF
作EH⊥BC于点H交AD于点G
∴∠AEG=30°
∴
∵
∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH
∵GH=AB=3
∴
∴PA+PD+PQ的最小值为
故答案为：
【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案.
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市石厦中学等多校联考2024-2025学年八年级下册数学期中考试试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分)
1．（2025八下·深圳期中）下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·深圳期中）若，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：不一定成立，不符合题意.
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．（2025八下·深圳期中）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于M、N两点，画直线MN与边BC相交于点D，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC垂直平分AC
∴AD=DC
∴∠C=∠DAC=30°
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°
故答案为：D
【分析】由题意可得：BC垂直平分AC，根据垂直平分线性质可得AD=DC，根据等边对等角可得∠C=∠DAC=30°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
4．（2025八下·深圳期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为(x+9)(x-6)，则a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-54 D．54
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
(x+9)(x-6)=x2+3x-54
∴a=3，b=-54
故答案为：C
【分析】将(x+9)(x-6)展开，根据对应系数相等即可求出答案.
5．（2025八下·深圳期中）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(-1，m)，则关于×的不等式-2x+2A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-1
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b相交于点A(-1，m)
∴-2x+2故答案为：B
【分析】当直线y=-2x+2在直线y=kx+b下方时，有-2x+26．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·深圳期中）关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，解得：
∴不等式组的解集为：m∵不等式组有两个整数解，即整数解为：2，1
∴m取值范围为
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解，即可求出m的取值范围.
8．（2025八下·深圳期中）如图，，点在边OE上，且，过点作交ON于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作OF的垂线分别交OE，OF于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作OF的垂线分别交OE，OF于点，，以为边在的右侧作等边三角形...按此规律进行下去，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由题意可得：
在Rt△OA1B1中
∵
∴∠OA1B1=30°
∴
∴
∵
∴
同理可得，......
∴
当n=2025时
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠OA1B1=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，由题可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，......，总结规律即可求出答案.
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，7)向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标是　 　.
【答案】(5，3)
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
将点P（3，7)向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标是(5，3)
故答案为：(5，3)
【分析】根据点的平移即可求出答案.
10．（2025八下·深圳期中）已知直角三角形的两条边长分别为5和12，则这个直角三角形的第三边长为　 　.
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当12为直角边时，第三边长为
当12为斜边长时，第三边长为
故答案为：13或
【分析】分情况讨论，结合勾股定理即可求出答案.
11．（2025八下·深圳期中）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为　 　cm.
【答案】5
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AC=BC=10，∠B=15°
∴∠BAC=∠B=15°
∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°
∴
故答案为：5
【分析】根据等边对等角可得∠BAC=∠B=15°，再根据三角形外角性质可得∠ACD=∠B+∠BAC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．（2025八下·深圳期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　.
【答案】9≤x<12
【知识点】解一元一次不等式组；列一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得：
第一次运算结果为：(x-3)×2<18
第二次运算结果为[(x-3)×2-3]×2≥18
∵需要经过2次运算才能输出结果
∴
解得：9≤x<12
故答案为：9≤x<12
【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
13．（2025八下·深圳期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=8.将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△A'B'C'，点E是边AB的中点，点F是边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点F'，则线段EF'最小值　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，AF'，过点A作AH⊥BC于点H
在Rt△ACH中，∠C=45°
∴
过点B作BP⊥AC于点P，则∠ABP=90°-60°=30°
∵AB=8
∴
∵∠C=45°
∴
∵
∴
∴
∵点E是边AB的中点
∴
∵点F是边BC上的动点
∴当点F是点H重合时，EF有最小值
故答案为：
【分析】连接AF，AF'，过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质可得，过点B作BP⊥AC于点P，则∠ABP=90°-60°=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得AH，再根据正弦定义可得AC，根据线段中点可得AE，当点F是点H重合时，EF有最小值，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题(共7小题，共61分)
14．（2025八下·深圳期中）计算
（1）分式化简；
（2）因式分解
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）分子提公因数，分母根据完全平方公式化简即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组，并把解集表示在数轴上.
【答案】解：
解①得：
解② 得：
∴不等式的解集为
解集在数轴上表示如下.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
16．（2025八下·深圳期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且，.
（1）①画出绕原点O顺时针旋转后的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）.
②若点P(m，n)在内，其旋转后的对应点为，直接写出的坐标(　 　，　 　)；（用m、n来表示）
（2）画出关于原点O成中心对称的图形，其中点A_2与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）.
【答案】（1）n；-m
（2）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）①如图，即为所求
【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可.
②根据旋转性质即可求出答案.
（2）根据中心对称图形作图即可.
17．（2025八下·深圳期中）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC//OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6.
（1）求证：OC=CP.
（2）求PD的长度.
【答案】（1）证明：∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠AOP=∠BOP
∵PC//OA
∴∠AOP=∠OPC
∴∠BOP=∠OPC
∴OC=CP
（2）解：过点P作PE⊥OB于点E
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，∠AOB=60°
∴PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°
由（1）知OC=CP=6，∠BOP=∠OPC=30°
∵∠CPE=180°-∠PEO-∠BOP-∠OPC=30°
在Rt△CPE中，∠CPE=30°
∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠AOP=∠BOP，再根据直线平行性质可得∠AOP=∠OPC，则∠BOP=∠OPC，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线定义及性质可得PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°，再根据三角形内角和定理及角之间的关系可得∠CPE=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2025八下·深圳期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作.这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元
（1）求A、B型手办进价分别是每件多少元
（2）该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案。
（3）在第(2)问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案。
【答案】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元
由题意可得：，解得：
∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元
（2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件
由题意可得：
解得：
∴共有3种方案
A型26件，B型34件
A型27件，B型33件
A型28件，B型32件
（3）解：由题意可得：
利润函数为10a+1200
当a=28时，利润最大为1480元
∴最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．（2025八下·深圳期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法.在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的.八(1)班的几名同学在对多项式因式分解时用“换元法”进行解题时发现了几种方法：
【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路.
解：令，得：，
即原式=
【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路.
解：令，得，
即原式
【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元.
解：，
∴令，得，
即原式=
请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题：
（1）因式分解：.
（2）小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解。
解：原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16
......
......
请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整。
（3）请直接写出最终结果。
①因式分解：(x+3)(×+4)(x+5)(x+6)-360=　 　.
②因式分解：(x2-1)(x+3)(x+5)+16=　 　.
【答案】（1）解：令t=a2+4a+1
原式=(t-5)(t+5)+25
=t2-25+25
=t2
=(a2+4a+1)2
（2）解：原式=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+ 16
令t=a2+8a+11
∴原式=(t-4)(t+4)+16
=t2-16+16
=t2
=(a2+8a+11)2
（3）x(x+9)(x2+9x+38)；(x2+4x-1)2
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（3）①原式=[(x+3)(x+6)][(x+4)(2+5)]-360
=(x2+9x+18)(x2+9x+20)-360
令t=x2+9x+19，
则原式=(t-1)(t+1)-360
=t2-1-360
=t2-361
=(t-19)(t+19).
=(x2+9x)(x2+9x+38)
=x(x+9)(x2+9x+38)
故答案为：x(x+9)(x2+9x+38)
②原式=(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)+16
=[(x-1)(x+5)][(x+1)(x+3)]+16
=(x2+4x-5)(x2+4x+3)+16
令t=x2+4x-1
∴原式=(t-4)(t+4)+16
=t2-16+16
=t2
=(x2+4x-1)2
故答案为：(x2+4x-1)2
【分析】（1）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
（2）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
（3）根据“换元法”思想进行因式分解即可求出答案.
20．（2025八下·深圳期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数 请写出完整过程；　 　(直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案)
【答案】（1）3；150°
（2）
（3）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°∴∠APB=∠BP'C=135°∴
（4）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB
∵∠PAC+∠BAP=60°
∴∠PAP'=60°
∴△APP'为等边三角形
∴PP'=AP=AP'=3
∵PP'2+BP2=BP2
∴△BPP'为直角三角形
∴∠BPP'=90°
∴∠APB=90°+60°=150°
故答案为：3；150°
（2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90°
∴∠BPH=30°
∵BH⊥AP
∴∠H=90°
∵PB=4
∴
∴
∴
故答案为：
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE
∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD
∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形
∴AP=PF=AF
作EH⊥BC于点H交AD于点G
∴∠AEG=30°
∴
∵
∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH
∵GH=AB=3
∴
∴PA+PD+PQ的最小值为
故答案为：
【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案.
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案.
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