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广东省深圳市60校联考2024-2025学年下学期八年级期中数学素养卷
1．（2025八下·深圳期中）镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·深圳期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·深圳期中） 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C．-2a>-2b D．5a+2>5b+2
4．（2025八下·深圳期中） 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（-4， 2）的对应点B1的坐标是（　　）
A．（1， 3） B．（1， 1） C．（3， 1） D．（2， 2）
5．（2025八下·深圳期中） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.则∠BCD等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°
6．（2025八下·深圳期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克。已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克。如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025八下·深圳期中） 校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　）
A．线段AC，BD的交点 B．∠ABC，∠BCD角平分线的交点
C．线段AB，BC垂直平分线的交点 D．线段BC，CD垂直平分线的交点
8．（2025八下·深圳期中） 如图，将含有60°角的三角板ABC绕顶点C（∠ACB=60°）逆时针旋转一个角度a（0°<α<90°）得到△EDC，若AB，CE相交于点F，AE=AF，则旋转角a=（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（2025八下·深圳期中） 分解因式：7b3-21b2=　 　.
10．（2025八下·深圳期中） 若点A（-2025，2024）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b=　 　.
11．（2025八下·深圳期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　.
12．（2025八下·深圳期中） 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D.若，则CD的长为　 　。
13．（2025八下·深圳期中） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B'F的长为　 　。
14．（2025八下·深圳期中）因式分解：
（1）；
（2）．
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组并写出所有的整数解.
16．（2025八下·深圳期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”. 这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合. 如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成演中，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称.
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出
（3）队形继续进行变换，绕点A1顺时针旋转90°得到，请写出此时B2的坐标　 　.
17．（2025八下·深圳期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，△ABC为主梁框架，∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE，使得BE⊥AD，分别交AD，AC于点F，E.
（1）求证：加固后的△ABE是等腰三角形；
（2）经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度.
18．（2025八下·深圳期中）目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
19．（2025八下·深圳期中） 如图
（1）【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y=2|x-2|-2，下表是y与x的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 -2 a 2 …
①a= ▲ .
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ .
（2）【拓展应用】
①若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： 　 　.
②结合函数y=2|x-2|-2的图象，请写出不等式2|x-2|-2>x-1的解集：　 　.
20．（2025八下·深圳期中）如图
（1）【特例感知】
如图1，在∠ABC中，∠ABC=120°，BC=2，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，则CD=　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，且满足点B，C，E三点共线.若∠BED=90°，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足∠BAC=90°，点D为公园中的观景点，若AD=200米，CD=200米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A.∵a < b，
∴a-2＜b-2，该等式不成立，不符合题意；
B.∵a < b，
∴，该等式不成立，不符合题意；
C.∵a < b，
∴-2a＞-2b，该等式成立，不符合题意；
D.∵a < b，
∴5a＜5b，
∴5a+2＜5b+2，该等式不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵ 平移△ABC至△A1B1C1的位置， 顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），
∴2-（-3）=5，5-4=1，
∴△ABC向右平移5个单位，向上平移1个单位得到△A1B1C1，
∵ 点B（-4， 2），
∴ 对应点B1的坐标是 （1，3），
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出△ABC向右平移5个单位，向上平移1个单位得到△A1B1C1，再根据点B的坐标求解即可。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=70°，再根据垂直平分线的性质求出DA=DC，最后计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵ 购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克 ，
∴ x + ( 3 x 4 ) ≥ 40 ；
∵ 购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，
∴ 15 x + 8 ( 3 x 4 ) < 500 ；
∴列不等式组为：
故答案为：A.
【分析】根据题意找出不等关系求出x + ( 3 x 4 ) ≥ 40 和15 x + 8 ( 3 x 4 ) < 500 ，再列不等式组求解即可。
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将含有60°角的三角板ABC绕顶点C（∠ACB=60°）逆时针旋转一个角度a（0°<α<90°）得到△EDC ，
∴∠ACE= a ，AC=AE，
∴∠EAC=∠AEC=，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=，
∴∠EAF=a ，
∴，
解得：a=40°，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠ACE= a ，AC=AE，再求出，最后计算求解即可。
9．【答案】7b2(b 3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： 7b3-21b2= 7b2(b 3) ，
故答案为： 7b2(b 3) .
【分析】利用提公因式法分解因式计算求解即可。
10．【答案】1
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：∵ 点A（-2025，2024）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，
∴a=2025，b=-2024，
∴a+b=2025-2024=1，
故答案为：1.
【分析】根据关于原点对称的点坐标互为相反数， 求出a和b的值，再代入a+b计算求解即可。
11．【答案】m≥4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：x<4
∵不等式组的解集为
∴m≥4
故答案为：m≥4
【分析】解不等式得：x<4，再结合不等式组的解集即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴AC=4，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：CD=3，
即CD的长为3，
故答案为：3.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：AE=ED，BF=B'F，AC=CD，∠ACE=∠ECD，∠BCF=∠B'CF，∠CED=∠CEA=90°，
∴，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵BF=B'F，
∴，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出AE=ED，BF=B'F，AC=CD，∠ACE=∠ECD，∠BCF=∠B'CF，∠CED=∠CEA=90°，再求出△CEF是等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．【答案】解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>，
所以原不等式组的解集为＜x≤2，
所有的整数解为1和2.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
16．【答案】（1）解：△DEF如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（5，3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）∵绕点A1顺时针旋转90°得到，
∴ B2的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）.【分析】（1）根据中心对称的性质作图求解即可；
（2）根据平移的性质作图求解即可；
（3）根据旋转的性质，结合题意求点的坐标即可。
17．【答案】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF，
∵在△AEF和△ABF中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠AEF=∠ABF，
∴AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接 DE，如图所示：
∵AE=AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分 BE，
∴BD=ED，
∴∠DEF=∠DBF，
∴∠AEF=∠ABF，
∴∠AED=∠ABD，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∴在△CDE中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴CE=BD=5 m.
∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=13-5=8(m).
即原始支撑段AB的长度是8米.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直求出∠AFE=∠AFB=90°，再根据角平分线求出∠AFE=∠AFB=90°，最后证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出BD=ED，再求出EC=ED，最后计算求解即可。
18．【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：①0；
②作图如下：
当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，随x的增大而增大.
（2）m+n=4；x＞5或x＜1
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）①当x=3时， y=2|x-2|-2=2×|3-2|-2=2×1-2=0，
∴a=0，
故答案为：0；
（2）①∵ 点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，
∴ m，n满足的数量关系为：m+n=4，
故答案为：m+n=4；
②观察函数图象可知，不等式2|x-2|-2>x-1的解集为：x＞5或x＜1，
故答案为：x＞5或x＜1.
【分析】（1）①将x=3代入 y=2|x-2|-2 计算求解即可；
②先作图，再观察函数图象求解即可；
（2）①根据点A和点B的坐标求解即可；
②根据函数图象的性质求解即可。
20．【答案】（1）6
（2）解：BE=AB+DE. 理由如下：
设AD与BE相交于点F，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE.
∵∠AFB=∠DFE，
∴180°-∠B-∠AFB=180°-∠D-∠DFE，
∴∠BAF=∠DEF= 90°，
∵∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF=∠CAE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE，
∴BE=CE+BC=AE+DE.
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE，连接DE.
∵CD+DE≥CE，
∴当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值.
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=400（米)，
∴CE=CD+DE=400+200=600（米)，
∴BD=600 米.
设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD于点G.
∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠CFD，
∴180°-∠ABD-∠AFB=180°-∠ACE-∠CFD，
∴∠BAF=∠CDF=90°.
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=90°-45°=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴2AG2=AD2，
∴AG=200m，
∴S四边形ABCD=S△ABD十S△BCD=60000+60000=120000(m2).
因此，当BD最大时，四边形ABCD的面积为120000m2.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∴CD=CB+BD=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据旋转的性质求出AB=AD，∠BAD=60°，再求出△ABD是等边三角形，最后计算求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE，再求出△ACE是等腰直角三角形，最后计算求解即可；
（3）先求出当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值，再求出△ADG是等腰直角三角形，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1广东省深圳市60校联考2024-2025学年下学期八年级期中数学素养卷
1．（2025八下·深圳期中）镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025八下·深圳期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．（2025八下·深圳期中） 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C．-2a>-2b D．5a+2>5b+2
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A.∵a < b，
∴a-2＜b-2，该等式不成立，不符合题意；
B.∵a < b，
∴，该等式不成立，不符合题意；
C.∵a < b，
∴-2a＞-2b，该等式成立，不符合题意；
D.∵a < b，
∴5a＜5b，
∴5a+2＜5b+2，该等式不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a4．（2025八下·深圳期中） 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（-4， 2）的对应点B1的坐标是（　　）
A．（1， 3） B．（1， 1） C．（3， 1） D．（2， 2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵ 平移△ABC至△A1B1C1的位置， 顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），
∴2-（-3）=5，5-4=1，
∴△ABC向右平移5个单位，向上平移1个单位得到△A1B1C1，
∵ 点B（-4， 2），
∴ 对应点B1的坐标是 （1，3），
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出△ABC向右平移5个单位，向上平移1个单位得到△A1B1C1，再根据点B的坐标求解即可。
5．（2025八下·深圳期中） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.则∠BCD等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=70°，再根据垂直平分线的性质求出DA=DC，最后计算求解即可。
6．（2025八下·深圳期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克。已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克。如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵ 购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克 ，
∴ x + ( 3 x 4 ) ≥ 40 ；
∵ 购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，
∴ 15 x + 8 ( 3 x 4 ) < 500 ；
∴列不等式组为：
故答案为：A.
【分析】根据题意找出不等关系求出x + ( 3 x 4 ) ≥ 40 和15 x + 8 ( 3 x 4 ) < 500 ，再列不等式组求解即可。
7．（2025八下·深圳期中） 校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　）
A．线段AC，BD的交点 B．∠ABC，∠BCD角平分线的交点
C．线段AB，BC垂直平分线的交点 D．线段BC，CD垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
8．（2025八下·深圳期中） 如图，将含有60°角的三角板ABC绕顶点C（∠ACB=60°）逆时针旋转一个角度a（0°<α<90°）得到△EDC，若AB，CE相交于点F，AE=AF，则旋转角a=（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将含有60°角的三角板ABC绕顶点C（∠ACB=60°）逆时针旋转一个角度a（0°<α<90°）得到△EDC ，
∴∠ACE= a ，AC=AE，
∴∠EAC=∠AEC=，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=，
∴∠EAF=a ，
∴，
解得：a=40°，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠ACE= a ，AC=AE，再求出，最后计算求解即可。
9．（2025八下·深圳期中） 分解因式：7b3-21b2=　 　.
【答案】7b2(b 3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： 7b3-21b2= 7b2(b 3) ，
故答案为： 7b2(b 3) .
【分析】利用提公因式法分解因式计算求解即可。
10．（2025八下·深圳期中） 若点A（-2025，2024）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b=　 　.
【答案】1
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：∵ 点A（-2025，2024）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，
∴a=2025，b=-2024，
∴a+b=2025-2024=1，
故答案为：1.
【分析】根据关于原点对称的点坐标互为相反数， 求出a和b的值，再代入a+b计算求解即可。
11．（2025八下·深圳期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　.
【答案】m≥4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：x<4
∵不等式组的解集为
∴m≥4
故答案为：m≥4
【分析】解不等式得：x<4，再结合不等式组的解集即可求出答案.
12．（2025八下·深圳期中） 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D.若，则CD的长为　 　。
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴AC=4，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：CD=3，
即CD的长为3，
故答案为：3.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可。
13．（2025八下·深圳期中） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B'F的长为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：AE=ED，BF=B'F，AC=CD，∠ACE=∠ECD，∠BCF=∠B'CF，∠CED=∠CEA=90°，
∴，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵BF=B'F，
∴，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出AE=ED，BF=B'F，AC=CD，∠ACE=∠ECD，∠BCF=∠B'CF，∠CED=∠CEA=90°，再求出△CEF是等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．（2025八下·深圳期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组并写出所有的整数解.
【答案】解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>，
所以原不等式组的解集为＜x≤2，
所有的整数解为1和2.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
16．（2025八下·深圳期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”. 这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合. 如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成演中，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称.
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出
（3）队形继续进行变换，绕点A1顺时针旋转90°得到，请写出此时B2的坐标　 　.
【答案】（1）解：△DEF如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（5，3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）∵绕点A1顺时针旋转90°得到，
∴ B2的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）.【分析】（1）根据中心对称的性质作图求解即可；
（2）根据平移的性质作图求解即可；
（3）根据旋转的性质，结合题意求点的坐标即可。
17．（2025八下·深圳期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，△ABC为主梁框架，∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE，使得BE⊥AD，分别交AD，AC于点F，E.
（1）求证：加固后的△ABE是等腰三角形；
（2）经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度.
【答案】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF，
∵在△AEF和△ABF中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠AEF=∠ABF，
∴AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接 DE，如图所示：
∵AE=AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分 BE，
∴BD=ED，
∴∠DEF=∠DBF，
∴∠AEF=∠ABF，
∴∠AED=∠ABD，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∴在△CDE中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴CE=BD=5 m.
∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=13-5=8(m).
即原始支撑段AB的长度是8米.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直求出∠AFE=∠AFB=90°，再根据角平分线求出∠AFE=∠AFB=90°，最后证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出BD=ED，再求出EC=ED，最后计算求解即可。
18．（2025八下·深圳期中）目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．（2025八下·深圳期中） 如图
（1）【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y=2|x-2|-2，下表是y与x的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 -2 a 2 …
①a= ▲ .
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ .
（2）【拓展应用】
①若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： 　 　.
②结合函数y=2|x-2|-2的图象，请写出不等式2|x-2|-2>x-1的解集：　 　.
【答案】（1）解：①0；
②作图如下：
当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，随x的增大而增大.
（2）m+n=4；x＞5或x＜1
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）①当x=3时， y=2|x-2|-2=2×|3-2|-2=2×1-2=0，
∴a=0，
故答案为：0；
（2）①∵ 点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，
∴ m，n满足的数量关系为：m+n=4，
故答案为：m+n=4；
②观察函数图象可知，不等式2|x-2|-2>x-1的解集为：x＞5或x＜1，
故答案为：x＞5或x＜1.
【分析】（1）①将x=3代入 y=2|x-2|-2 计算求解即可；
②先作图，再观察函数图象求解即可；
（2）①根据点A和点B的坐标求解即可；
②根据函数图象的性质求解即可。
20．（2025八下·深圳期中）如图
（1）【特例感知】
如图1，在∠ABC中，∠ABC=120°，BC=2，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，则CD=　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，且满足点B，C，E三点共线.若∠BED=90°，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足∠BAC=90°，点D为公园中的观景点，若AD=200米，CD=200米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）6
（2）解：BE=AB+DE. 理由如下：
设AD与BE相交于点F，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE.
∵∠AFB=∠DFE，
∴180°-∠B-∠AFB=180°-∠D-∠DFE，
∴∠BAF=∠DEF= 90°，
∵∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF=∠CAE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE，
∴BE=CE+BC=AE+DE.
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE，连接DE.
∵CD+DE≥CE，
∴当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值.
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=400（米)，
∴CE=CD+DE=400+200=600（米)，
∴BD=600 米.
设AC与BD相交于点F，作AG⊥BD于点G.
∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠CFD，
∴180°-∠ABD-∠AFB=180°-∠ACE-∠CFD，
∴∠BAF=∠CDF=90°.
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=90°-45°=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴2AG2=AD2，
∴AG=200m，
∴S四边形ABCD=S△ABD十S△BCD=60000+60000=120000(m2).
因此，当BD最大时，四边形ABCD的面积为120000m2.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∴CD=CB+BD=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据旋转的性质求出AB=AD，∠BAD=60°，再求出△ABD是等边三角形，最后计算求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，BC=DE，AC=AE，再求出△ACE是等腰直角三角形，最后计算求解即可；
（3）先求出当C，D，E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值，再求出△ADG是等腰直角三角形，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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