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压轴题一 二次函数综合题
题型解读：编者深研辽宁各地市近5年真题，在关注全国新中考考改发达省市命题的同时，立足辽宁中考，精选全国各地优质好题供考生练习备考，现结合2024辽宁中考真题及2024辽宁省模考卷、省样卷对函数综合题划分为以下4个类型：函数的实际应用(多考查二次函数的实际应用)、新定义函数综合(如：2024辽宁23题，省模考卷23题)、函数综合探究题(如：2024省样卷22题)、二次函数与几何综合题(2023年各地市压轴题).
类型 ① 二次函数的实际应用
1.[2024兰州]在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图①是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图②建立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA 的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O 的水平距离为5m 时，水火箭距离地面的竖直高度.
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2.[2024铁岭月考]根据以下素材，完成探索任务.
【问题提出】根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5 900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m.
素材二 每个门的价格为250元.
素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
【问题解决】
任务1 设AB=xm，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式；
任务2 探究自变量x的取值范围；
任务3 确定设计方案.当 时，S的最大值为 m .(直接填写结果)
3.[2024 盐城]请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类 加工人数(人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利(元)
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x，y之间的数量关系.
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
类型 2 新定义函数综合题(真卷23题)
4.在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形ABCD 对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”.
(1)如图,在矩形ABCD中,AB∥x轴,经过点. )和点C(3，3)的一次函数 是矩形 ABCD 的“友好函数”，求一次函数 的解析式；
(2)已知第一象限内矩形ABCD的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行x轴和y轴，经过点 D 和点 B 的反比例函数 是矩形ABCD 的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
(3)①若 是矩形ABCD 的“友好函数”且经过A，C两点，点B 的坐标为 点D 的坐标为( 轴，若 的图象与矩形ABCD有且只有两个交点，求a的取值范围；
②在①的条件下，若点 是 图象上一点，且 当a>0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值.
5. [2024 辽宁23题 13分]已知y 是自变量x的函数,当 时，称函数y 为函数y 的“升 幂函数”.在平面直角坐标系中，对于函数y 图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，mn)为点A“关于y 的升幂点”，点B 在函数y 的“升幂函数”y 的图象上.
例如：函数 当 时，则函数 是函数 的“升幂函数”.在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点A(m，2m)，点 为点A“关于y 的升幂点”，点B在函数. 的“升幂函数’ 的图象上.
(1)求函数 的“升幂函数”y 的函数表达式；
(2)如图，点A在函数 的图象上，点A“关于y 的升幂点”B在点 A 上方，当 AB=2时,求点A的坐标;
(3)点A在函数 的图象上，点A“关于y 的升幂点”为点 B，设点A 的横坐标 为m.
①若点 B 与点A 重合，求m的值；
②若点 B 在点A的上方，过点B 作x轴的平行线，与函数y 的“升幂函数”y 的图象 相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD 的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E,F,G,当直线 与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若 ，请直接写出 的值.
6.[2024丹东二模]定义：在平面直角坐标系中，函数R 的图象经过 Rt△ABC的两个顶点，则函数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R 的图象经过的直角三角形的两个顶点的坐标分别为( 且 当自变量x满足 时，此时函数R的最大值记为 ymax，最小值记为 则 h是Rt△ABC 的“DX”值.
已知:在平面直角坐标系中,有Rt△ABC,∠ACB=90°,BC∥y轴.
(1)如图,若点 C坐标为(1,1),AC=BC=4.
①一次函数 是 Rt△ABC 的“勾股函数”吗 若是，请说明理由，并求出Rt△ABC的“DX”值;若不是,请说明理由;
②是否存在反比例函数 是 Rt△ABC 的“勾股函数” 若存在,求出 k值;若不存在，请说明理由.
(2)若点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(1,m),二次函数 是 Rt△ABC的“勾股函数”.
①若二次函数 经过A,C两点,则Rt△ABC 的“DX”值h= ;
②若二次函数 经过A，B两点，且与 Rt△ABC的边有第三个交点，求m的取值范围；
③若二次函数 经过A,B 两点,且Rt△ABC的“DX”值 求m的值.
类型 二次函数综合探究题(省样卷22题)
7. [2024辽宁省样卷]【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图①所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层(最底层)杯子的个数变化而变化.
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数x 1 2 3 4 5
杯子的总数y 1 3 6 10 15
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图②，小丽根据图②中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分.
为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图③)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
(3)杯子的侧面展开图如图④所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径， 所对的圆心角 .将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80 cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数.(提示：杯子下底面圆周长与 的长度相等)
8. [2024 沈阳于洪区期末]
【问题背景】
综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片王老师取出三张纸片演示操作，如图，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形.
【分析问题】
纸片序号n 1 2 3 4 5
裁剪得到的小长方形个数m 2 6 12
(1)请根据裁剪规律，补全上面表格，并在图①所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点(n，m)，再用平滑曲线连接.根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n可能存在的函数关系(写出类型).
【猜想验证】
为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到.
(2)请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式.
【解决问题】
某农科研究所有一块矩形的耕地ABCD(如图②)， ，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验.按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题.
(3)若将此耕地分成56个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量.
(4)为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的36%，求小长方形耕地的总数量.
9. 【发现问题】
中国结寓意着美满团圆、万事如意.中国结的绳结之间互相缠绕着，宛若一条盘旋在天空中的龙，是中华民族的象征.“结”字可以引申为“吉”字，体现了人们对美好生活的追求和向往，同时凝聚了中华民族的人文情怀，如图①，观察下图中的中国结，发现图中的部分图形可以从几何图形角度来看，如图②.
【提出问题】
若每个圆的半径都相等，同一种颜色且相邻的圆相切，相同颜色的两列圆相互垂直，则圆的总数和层数之间有怎样的函数关系
【分析问题】
数学小组通过计算和观察得到以下数据(第1题是1个圆，从第2层开始的每一层呈V字排列，如图②中铺灰部分为第2层)：
层数(n) 1 2 3 4 5
前n层圆的总个数(m) 1 6 15 28 45
如图③，在平面直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，并连线.
【解决问题】
(1)猜想层数n和前n层图的总个数m符合哪种函数关系 并求出函数解析式；
(2)若圆的半径为2cm,
①现有编织图②中中国结特制的部分彩线12m，则最多可以编织图②中的中国结多少层 (π取3.14)
②数学小组准备把这个中国结挂在教室的黑板上方，经测量黑板上方距教室顶棚的距离大约为100cm，中国结的流苏穗子大约为20cm，为了不遮挡黑板，则这个中国结最多可以编织多少层 结果保留整数)(注：每个小圆的编织耗材忽略不计)
10.[2024鞍山立山区月考]【发现问题】蜂巢的结构非常精美，每个巢室都由多个正六边形组成(如图①)，某数学兴趣小组的同学用若干个形状、大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图②所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层(最下面一层)正六边形模具个数的变化而变化.
【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据：
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图③，同学们根据图③中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分.
为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具(虚线部分)移到下面，并把第一层缺少的正六边形模具(阴影部分)补全，再拼接到一起(如图④)，使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学们按图②的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图⑤，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点， 的长为 现有一张长100 cm，宽80 cm的长方形桌子，若按图②的拼接方式拼接图案(模具间的接缝忽略不计)，最多可以放下多少个正六边形模具
类型 4 二次函数与几何综合题(省模考15题)
11.[2023沈阳25 题12分]如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点A(0,2),与x轴的交点为点. 和点 C.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点E,G在y轴正半轴上,( ,点D 在线段OC上, 以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE,连接GD,设(
①连接FC,当 与 相似时，求a的值；
②当点 D 与点 C 重合时，将线段GD绕点 G 按逆时针方向旋转( 后得到线段GH，连接FH,FG,将 绕点 F 按顺时针方向旋转 后得到 点G，H的对应点分别为 ,连接DE.当. '的边与线段DE 垂直时，请直接写出点. 的横坐标.
12.[2024广元]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F 经过点 与y轴交于点 B(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图①，在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB 于点D，求 的最大值及此时点C 的坐标；
(3)如图②，作抛物线 F 关于直线 上一点的对称图象 抛物线F与 只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB 上一点，H为抛物线. '对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.
压轴题一 二次函数综合题
1.解：(1)抛物线的表达式为
(2)水火箭距离地面的竖直高度为5m.
2.解：任务1 任务
任务3: ,11,47
3.解：任务
任务2
任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可使每天总利润最大.
4. 解:
(2)分两种情况讨论：①当AD=2时，如解图①，设点 D的坐标为
则点B的坐标为
把点B的坐标代入 中，得
解得t=1或t=-3(舍去),∴t=1,
∴点D 的坐标为(1,6),点B 的坐标为(3,2),
∴点C的坐标为(1,2),
即矩形距原点最近的顶点坐标为(1，2)；
②当AD=4时，如解图②，设点D 的坐标为((t, ),
则点B的坐标为
把点B的坐标代入 中，
得
解得t=2或t=-6(舍去),∴t=2,
∴点D 的坐标为(2,3),点B的坐标为(6,1),
∴点C的坐标为(2,1),
即矩形距原点最近的顶点坐标为(2，1).
综上所述，矩形距原点最近的顶点坐标为(1，2)或(2，1)；
10. (1)60°;(2)5 【解析】如解图,以BD 为边向外作等边三角形BDE,连接CE,∵△BDE,△ABC均为等边三角形,∴BE=BD,AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABD=∠CBE,在 △ABD 和△CBE 中, △ABD≌△CBE,∴CE=AD,∵BE=BD=DE=8,CD=3,∴当C,D,E三点共线时,CE有最小值,∴ CE=DE-CD=8-3=5,∴AD的最小值为5,此时∠BDC=60°.
—突破双压轴解答题
(3)∵点B 的坐标为(1,-3),点D 的坐标为(-3,5),∴点A的坐标为(1,5),点 C的坐标为(-3,-3),将A(1,5)和C(-3,-3)代入 中，
得
∴抛物线 的对称轴为直线x=
①如解图③,当a>0时, 解得
∴a的取值范围为
如解图④,当a<0时, 解得
∴a的取值范围为
综上所述，a的取值范围为 或
②∵抛物线y 的对称轴为直线 且a>0, 恒成立，即xp在对称轴的右侧，当 时，
yp取最小值为( 当 时，
yp取最大值为( 解得
5. 解:
(2)A(3,1);
(3)m=1或m=4;
②由①可知,直线y=-x+4.与抛物线 有两个交点(1,3)和(4,0),
∴函数 的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线.x=2.
∵BC∥x轴,∴B、C两点关于直线x=2对称.
如解图②，当点B在点 C右侧时，
2如解图③，当点B在点 C 左侧时，
1由点 B 在点A 的上方，
得
∴当2当1综.上
或3-2 .【解法提示】情形一：如解图④，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间的距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于 P、Q两点间的竖直高度.
当m=2时, ∴P(2,4).
当m=4时, ,∴Q(4,8).
情形2，如解图⑤(局部，变形处理)，点M 是抛物线 的顶点.由 得
∴点 F 的横坐标
于是可得
综上,t -t 的值为4或
6. 解:(1)①一次函数 是Rt△ABC的“勾股函数”,理由如下：
由∠ACB=90°,BC∥y轴,点C坐标为(1,1),AC=BC=4,可得点A的坐标为(5,1),点B 的坐标为(1,5),
∵(5,1)和(1,5)这两点都在直线 的图象上，
∴一次函数y =-x+6是Rt△ABC的“勾股函数”,
∵-1<0,
∴一次函数y =-x+6的函数值y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤5时, ymax=5, ymin=1,
∴Rt△ABC的“DX”值为2;
②存在，理由如下：
∵点A的坐标为(5,1),点B 的坐标为(1,5),
∴1×5=5×1=5,
∴点A 和点 B 在同一个反比例函数 的图象上，
∴反比例函数 是Rt△ABC的“勾股函数”,且k=5;
【解法提示】∵点A 的坐标为(2,2),点B 的坐标为((1,m),∠ACB=90°,BC∥y轴,∴C(1,2),∵二次函数 经过A,C 两点,∴ 解得当1≤x≤2时,函数y 的最大值ymax=2,最小值 即Rt△ABC 的“DX”值为
②∵二次函数 经过A，B两点，∴将A(2,2),B(1,m)代入 得 解得
∴ 抛物线的对称轴为直线
∵二次函数 与Rt△ABC 的边有第三个交点，
∴点B在AC上方，对称轴在点 A、C之间，
③由②知
可得其顶点坐标为
第一种情况：点B在点A上方，即m>2，
(i)当点B 和点A在对称轴左侧，
即 时，解得m≥3,此时y 随x的增大而减小，
解得
(ii)当对称轴在点A 和点C之间,即2解得 (舍去), (舍去);
第二种情况：点B在点A下方，即m<2，
(i)当点B 和点A在对称轴右侧，
即 时,解得m≤1,
此时y 随x的增大而增大，
解得 (舍去),
(ii)当对称轴在点A 和点 C之间,即1解得 (舍去), 综上所述，m的值为4或-4-4 或(
7. 解: 且x为正整数)；
(2)第一层杯子的个数为8；
(3)∵OA=24 cm,∠AOB=60°,∴AB= π OA=8π,由题意得 解得MA=4cm,
∴每个杯口的直径为4×2=8(cm),
∵第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，
∴第一层的杯子数量不超过10个，
则杯子总数不超过 (个),
由【发现问题】中杯子的叠放规律，每层减少1个杯子，则最高可以叠放10层，
在题图④中,OA=24cm,OD=15cm,
∵DN∥AM,∴△ODN∽△OAM,
即 解得DN=2.5cm,
如解图,过点D作DP⊥AM于点 P,
∴MP=ND=2.5cm,AM=4cm,
∴AP=AM-MP=4-2.5=1.5(cm),AD=OA-OD=24-15=9(cm),在 Rt△APD 中,
叠放10层时杯子总高度为10MN=
∴杯子叠放达到的最大高度为 此时杯子的总数为55个.
8. 解:(1)20,30;描点,连线,如解图,猜想：裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n可能存在的函数关系为二次函数.
(3)竖直方向分割用的实线数量为7条;
(4)设水平方向有n条小路，竖直方向有(n+1)条小路,
由题意得1×40n+1×35(n+1)-1×1n(n+1)= 40×35×36%,
整理得 解得n=7或n=67(舍去),
∵n是水平方向小路的数量，∴ 水平方向耕地数量为8块，竖直方向耕地数量为9块，
∴小长方形耕地的总数量为8×9=72(块).
9.解：(1)符合二次函数关系，函数解析式为
(2)①∵彩线长12m=1200cm,
每个小圆周长为2πr≈2×3.14×2=12.56(cm),
∴可编织1200÷12.56≈95.54(个),即95个小圆,
由(1)知
令
解得 负值已舍去)，即最多可以编织中国结7层；
②由题意可知,黑板上方空余高度为100-20=80(cm),∵n层圆最下层(相同颜色的两列圆垂直)的单侧共有(2n-1)个小圆，它们彼此相切，小圆的半径为2cm，
∴可得圆心所在线段的长度为(2n-1)×2×2-4=8(n-1),
由题图知，圆心所在线段的长度为等腰直角三角形的斜边，
可得n≤14.57,
∴这个中国结最多可以编织14层.
10. 解:
(2)由(1)知,
将y=169代入得
解得 (不合题意，舍去)，
∴ 拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数为8；
(3)如解图，设正六边形其他顶点分别为C，D，E，F，连接AD,BD,
由正六边形及外接圆的性质得，AD为⊙O 的直径,∠BAD=60°,线段 BD 的长即为边 AB，DE间的距离，
∴∠ABD=90°,∴∠ADB=30°,
的长为
∴⊙O的周长为
∴⊙O的直径为 即AD=4cm,在△ABD中,∠ABD=90°,∠ADB=30°,
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有(2x-1)个，拼接成的图案共有(2x-1)层，其中有x层的高度按⊙O的直径计算，(x-1)层的高度按正六边形的边长计算，∴拼接图案的宽度为 高度为4x+2(x-1)=(6x-2) cm,
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时， 解得
∵x为整数,∴x最大取12;
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，解得
∵x为整数,∴x最大取13;
将x=12代入 得y=397;
将x=13代入 得y=469,
∵469>397,
∴最多可以放下469个正六边形模具.
11.解：(1)该二次函数的表达式为
(2)①由(1)知
令y=0,则
解得 或
∴C(2 ,0),∴OC=2
∵OE=a,OG=2OE,OD= OE,
∵四边形ODFE 为矩形,
∴E(0,a),D( a,0),F( a,a),G(0,2a),
Ⅰ.当△GOD∽△FDC时,有
Ⅱ.当△GOD∽△CDF时,有
综上,当△GOD与△FDC 相似时,a的值为 或
②点 H'的横坐标为 或 或
【解法提示】∵点D 与点 C 重合,∴ 如解图①,易知在△EOD中,∠EDO=30°,
∴OE=2,OG=2OE=4,EF=OD=
2,DF=OE=2,
EG=OE=2,∴EG=DF=2.
∵EG∥DF,
∴四边形GEDF为平行四边形，在 Rt△EOD 中,
∴FG=DE=4,
∴GO=GF,∠GFE=30°,∴∠EGF=60°,
∵∠DGH=60°,∴∠EGF=∠DGH,
∴∠OGD=∠FGH.
∵GH 是由 GD旋转得到的,∴GD=GH,在△GOD 和△GFH中,
∵△GOD≌△GFH(SAS),
Ⅰ.当 G'F所在直线与 DE 垂直时，如解图②，
∵∠GFH=90°,GF∥DE,
∴G，F，H'三点在一条直线上，
2
过点 H'作 H'K⊥y轴于点 K,则H'K∥FE,
∴∠KH'G=∠EFG=30°,
∴此时点 H'的横坐标为
Ⅱ.当G'H'所在直线与DE垂直时，如解图③，∵GF∥DE,∴G'H'⊥GF,
设GF的延长线交G'H'于点 M，过点M作MP⊥EF,交 EF的延长线于点 P,过点 H'作 H'N⊥MP,交PM的延长线于点 N,则 H'N∥PF∥x 轴,∠PFM=∠EFG=30°,∴∠H'MN=30°.
由旋转得
在Rt△FPM中,∠PFM=30°,
∴此时点 H'的横坐标为
Ⅲ.当 FH'所在直线与DE垂直时，如解图④，
∴H，F，H'三点在一条直线上，则∠H'FD=30°,
过点 H'作 H'L⊥DF,交 FD 的延长线于点L，
在 Rt△FH'L中,∠H'FD=30°,由旋转得
∴此时点 H'的横坐标为
综上，当△G'FH'的边与线段DE垂直时，点 H'的横坐标
重难题解析，
为 或 或
12.解：(1)抛物线的函数表达式为
(2)如解图①,过点 C 作x轴的垂线交 AB 于点 M,则CM∥y轴,
∴△CDM∽△ODB,
设直线AB 的表达式为y= mx+n(m≠0),
把/A(-3,-1),B(0,2)代入表达式,得 解得
∴直线AB的表达式为y=x+2,
∵点C在抛物线 上，设 则M(t,t+2),
∵-3∴当 时，CM有最大值为
此时 的最大值为
将 代入 中，得
∴此时点C 的坐标为
(3)由中心对称可知，抛物线 F与 F'的公共点 E 为直线y=-1与抛物线F的右交点，
当 时,解得x=-3(舍)或x=1,
∴E(1,-1),
∵抛物线. 的顶点坐标为(-1,3),
∴抛物线 F'的顶点坐标为(3,-5),
∵直线AB的解析式为y=x+2,∴设G(x,x+2),
∵B(0,2),E(1,-1),H点的横坐标为3,
∴当BE为平行四边形的对角线时，如解图②，x+3=1,解得x=-2,∴G(-2,0);
当BG为平行四边形的对角线时，如解图③，x=3+1=4,∴G(4,6);
当BH为平行四边形的对角线时，如解图④，x+1=3,解得x=2,∴G(2,4);
综上所述:G点的坐标为(-2,0)或(4,6)或(2,4).

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