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辅助线作法
类型 ① 连接
考法 1 连接形成半径
1. [2024 盘锦双台子区期末]如图,AB为⊙O 的直径,点 C,D,E在⊙O 上,且 ∠E=70°,则∠ABC 的度数为 ( )
A. 30° B. 40°
C. 35° D. 50°
考法2 连接形成对角线
2. 如图,在矩形 ABCD 中,M 是 BC 上的动点,E,F分别是AM,MC的中点,则 EF的长随着M点的运动 ( )
A.变短 B.变长
C.不变 D.先变短再变长
考法3 连接构造“三线合一”
3. 如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为 E,则DE等于 ( )
考法4 连接形成弦
4. 如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于点A,B,AC是⊙O 的直径,若AC=10,∠BAC=30°,则△PAB 的周长为 ( )
A. 8
C. 20
考法5 连接形成中位线
5. 多解法如图,在△ABC 中,BD,CE 分别为边AC,AB 的中线,BD⊥CE,若 BD=3,CE=5,则△ABC的面积为 ( )
A. 20 B. 16
C. 15 D. 10
考法6 连接构造斜边中线
6.如图，将两个含30°角的直角三角板拼接在一起，点E 为AD的中点，连接BE交AC于点 F，则 的值为 ( )
A. B.
类型 作垂直
考法1 利用垂直平分线性质
7.如图，一圆弧经过方格的格点 B，A，C，方格中每个小正方形的边长均为1，若在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(0，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( )
A. (-1,2) B. (1,-1)
C. (-1,1) D. (2,1)
考法2 利用直角三角形性质
8. [2024 沈阳沈河区期末]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P 为直线 AB上一动点，连接PC，则线段 PC 的最小值是 ( )
A. B. C. D.
考法3 利用全等或相似三角形性质
9. [2024 抚顺期末]如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D为BC延长线上一点,CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE,若BC=8,则△BCE的面积为 ( )
A. 16 B. 24 C. 32 D. 8
考法4 利用角平分线性质
10. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接AP 并延长，交 BC 于点D,若△ADC 的面积为2,则△ABC 的面积为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
类型 作平行
考法 1 遇拐点作平行
11.[2024锦州月考]车库的电动门栏杆如图所示，BA 垂直地面AE于点A，CD平行地面AE,则∠ABC+∠BCD 的大小是( )
A. 150° B. 180°
C. 270° D. 360°
考法2 利用相似或全等三角形性质
12. 多解法如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是 ( )
A. B.
13. 多解法如图,在△ABD 中,∠A=60°. 点 B为线段DE的中点,EF⊥AD 于点 F,交AB于点 C,若AC=BC=3,则AD= .
考法3 构造特殊四边形
如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 则∠B= °.
考法4 作平行构等腰
类型 延长或截取
15. 如图,AB∥CD,点 E 为直线AB,CD 外一点,连接CE.若AE⊥AB,∠C=65°,则∠E = .
16. [2024 盘锦大洼区期末]如图，在等边△ABC中,AB=4,点 D 是边 BC 上的点(不与点 B,C 重合),CF 是△ABC 的外角∠ACG 的平分线,连接 AD,DF. 若∠ADF=60°,求证:AD=DF.
类型 作对称或旋转
17. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AB=BC,若AD=7,CD=5,则BD= ( )
5 B. 7
变式如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AC=2,则四边形ABCD的面积为 ( )
A. 1 B. C. D. 4
18. 多解法如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC 边上有两点 P,Q,若∠PAQ=45°,BP=2,CQ=1,则PQ的长为
( )
A. 3 B. C.
19. 如图,P 是矩形ABCD 内部的动点,AB=4,BC=8,△PBC 的面积等于12,则点 P到B，C 两点距离之和 PB+PC的最小值为 ( )
8 B. 9 C. 10 D. 11
1. B 2 . C 3. D 4. D
5. D 【解析】解法1:如解图①,连接DE,∵ BD⊥CE, ∵CE,BD 分别是△ABC 的中线,∴点D,E分别是AC,AB 的中点,∴DE 是△ABC的中位线,∴DE∥BC,.DE= BC,∴△ADE∽△ACB,
解法2：如解图②，设BD，CE的交点为O，由题意可知O为△ABC的重心,∴ ∵BD是AC边上的中线，
6. C 7. C 8. B 9. A 10. C 11. C
12. C 【解析】解法1:在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3, C的周长=3+4+5=12,∵BD平分△ABC的周长,∴AB+AD=BC+CD=6,∴AD=3,CD=2,如解图,过点 D 作DE⊥BC 于点E,则
解法2思路点拨：也可用作平行构造相似
13. 【解析】解法1:如解图,过点 B 作 BG∥AD交 EF于点G,∵∠A=60°,EF⊥AD,AC=3,∴AF= AC= ∵BG∥AD,∴∠A=∠CBG,∠AFC=∠BGC,又∵AC=BC,∴△ACF≌△BCG(AAS),∴ 点B为
线段DE 的中点,∴ EB=BD,∵ BG∥AD,∴ △BEG∽
解法2思路点拨：通过延长CF 或CB解决.
14. 60 15. 25° 16. 证明略.
17. D 【解析】如解图,连接AC,∵∠ABC=60°,AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴BC=AC,将△BCD绕点 C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE，由旋转的性质可得 BD=AE,CD=CE,∠DCE=60°,∴△CDE为等边三角形,∴DE=CD=5,∠CDE=60°,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,在Rt△ADE中,AD=7,DE=5,由勾股定理得AE=
变式 C 【解析】如解图，将△ACD 绕点A 顺时针旋转60°,得到△ABE.∵四边形内角和360°,∴∠D+∠ABC=180°.∴∠ABE+∠ABC=180°,∴E、B、C 三点共线.根据旋转性质可知∠EAC=60°,AE=AC,∴△AEC 是等边三角形.∴四边形ABCD 的面积等于△AEC 的面积,∴ 等边△AEC的面积 四边形ABCD 的面积
18. B 【解析】解法1:如解图①,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴将△AQC 绕点 A 逆时针旋转90°得到△ADB,连接DP,∴ ∠ABD =∠C,AD=AQ,BD=CQ,∠DAQ=90°,∠BAD=∠CAQ,∴∠C=∠ABC=∠ABD=45°,∴∠DBP ∴∠BAP+∠CAQ =∠BAP+∠BAD =45°,∴ ∠PAQ =∠PAD,∵AP=AP,∴△APQ≌△APD(SAS),∴PQ=PD,∴ PQ =DB +BP ,∵ BP=2,DB=CQ = 1,∴ PQ =
解法2:如解图②,将△ABP 和△AQC 分别沿AP,AQ翻折,∵∠BAC=90°,∠PAQ=45°,∴翻折后AB 与AC重合在AD上,∠PDQ=90°,∵ BP=2,CQ=1,∴ PD=2,DQ=1,∵ 在 Rt△PDQ 中,
19. C 【解析】设△PBC 中 BC 边上的高是 动点 P 在与BC平行且到BC的距离是3的直线l上，作点B关于直线l的对称点 B',连接B'C 交直线l于点 P',连接P'B,则PB+PC .当P,B',C三点共线时,PB+PC有最小值，最小值为B'C的长，∵点 B 与点 B'关于直线l对称， ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC= =10.

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