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涟水县第一中学2024～2025学年第二学期高二年级5月月考数学
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）
1.已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A． B． C． D．
4.若，，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知随机变量服从二项分布.若，则（ ）
A．72 B．36 C．24 D．18
8.若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.）
9.下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．命题“，”的否定是真命题
D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
10.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
B．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法
11.已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．增加两个样本点后的平均数为1.2
D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）
12.已知随机变量，若，则
13．函数的定义域是
14.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为
四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分）
15．（13分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.（15分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
17．（15分）已知二次函数．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若，且，求的最小值．
18．(17分)已知的展开式中共有7项.
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求的展开式中含的项的系数.
19．（17分）如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且.
(1)证明：.
(2)求的长的最小值.
(3)当的长取得最小值时，求二面角的正弦值.
【答案】B
【答案】A
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】BC
【答案】AD
【答案】ACD
【答案】0.15/
【答案】
【答案】
15. 解：（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：.……………………………………………3分
乙机床生产的产品中一级品的频率为： ……………………………………………6分
（2）由题意： .……………………………………………9分
因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
16. 解：（1）依题意，的可能值有 .………………………………………2分
则，，.………………………………………5分
则的分布列为：
……………………………………9分
（2）由（1）中的分布列，可得 ………………………………………12分
.………………………………………15分
另解：因
则
17. 解：（1）不等式的解集为，则，且的两根为和，
则，所以 ………………………………………7分
（2）由，可得，即
又，所以
当且仅当时，即时等号成立.………………………………………15分
18. 解：（1）由，解得 ………………………………………5分
（2）由（1）知展开式的通项为，
所以二项式系数最大的项为………………………………………10分
（3）由（2）分析可知令，得，即；
令，可得.
综上：展开式中的系数为 ………………………………………17分
19. 解：（1）取分别为线段的中点，连接，
在三棱柱中，平面是等边三角形，
所以，
又且是平面内两条相交直线
所以平面平面，
可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．，设.可得
因为，
所以 ………………………………………5分
（2）由（1）可知
令，根据二次函数的最小值可知，
当时，取最小值为，
所以的长的最小值为 ………………………………………10分
（3）当的长取得最小值时，即，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则 ………………………………………12分
设平面的法向量为，则
，令，则 ………………………………………14分
设二面角的平面角为，所以
所以，二面角的正弦值 .………………………17分

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