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人教版六年级数学小升初专项复习 专题二十 鸡兔同笼问题
专题十九 容斥原理 类型一 经典的鸡兔同笼
类型一 二者容斥 1.全班 46 人去划船，每条大船限乘 5人，每条小船限乘 3人。要求每条船都坐满，全
1.春季运动会即将到来，六年级一班每一个学生都至少报名参加了一个项目，如果参加 班一共乘了 12 条船，其中大船的数量是（ ）条。
跳绳的有 40 人，参加跳远的有 31 人，两个项目都参加的有 21 人，则只参加一个项 A.3 B.5 C.7 D.9
目的有（ ）人。知视识频及讲方解法 2.鸡兔同笼，数头共 10 只，数脚共 24 只，鸡有 只。
考 点 A.26 B.27 C.28 D.29
3.某玩具店买了飞机汽车模型一共 30 个，其中每个飞机模型 3个轮子，汽车模型 4个
2.100 名学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有电脑没有手机的学生共有 3 人， 轮子，这些玩具模型一共 110 个轮子，则飞机模型有 个。
则这 100 个学生中有手机但没有电脑的学生 人。 4.幸福路小学六年级同学利用暑假进行拓展活动，不下雨每日行 17.5 千米，下雨天每
3.某班 40 位同学在一次数学测试中，答对第一题的有 23 人，答对第二题的有 27 人， 日行 11 千米，13 天共行 201.5 千米。这期间下雨的天数有 天。
两题都答对的有 17 人，有 个同学两题都不对。 5.12 张乒乓球桌共有 40 人在比赛，其中正在进行单打比赛的乒乓球桌有 张，双
考 场 4.一个班 48 人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种 打比赛的乒乓球桌有 张。
是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了，已知做完语文 6.一辆公共汽车共载客 42 人，其中一部分人在中途下车，每张票价 6元，另一部分人
作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人。这些人中语文、数学作业都完成的有 到终点下车，每张票价 9元，售票员共收票款 318 元，中途下车的有 人。
人。 7.1 分、2分、5分三种硬币共 26 枚，2 分全部换成 5 分硬币，1 分全部换成 5 分硬币
3 4 13 后，硬币总数变为 11 枚，原有 5分硬币多少枚
5.一批旅客中，有 的人懂法语， 的人懂英语，两种语言都懂的人占 ,另有 8 人两种
考 号 4 5 20
语言都不懂。这批旅客共有多少人
类型二 变形的鸡兔同笼
6.为进一步推进素质教育，落实“双减政策”。学校利用延时服务兴趣小组开展棋类教 8.李明做了一份数学试卷，共 25 题。规定答对一题得 2分.答错一题扣 1分，未答的题
姓名 学活动，以提高学生的思维能力，开发智力。六年级一班有 50 名学生，通过活动发 不得分。李明共得了 34 分，且知他未答的题目是奇数个，则他答错 道题。
现只有 1人既不会下象棋也不会下围棋。有 20 人象棋和围棋都会下，且会下象棋的 9.学校买 4张办公桌和 9把椅子一共用去 252 元。已知 1把椅子的价钱正好是 1张办公
学生比会下围棋的学生多 5人，问六年级一班会下围棋的有多少人 1桌的 。你能求出 1把椅子和 1张办公桌分别是多少元吗
3
类型二 三者容斥
座位号 7.64 人订 A,B,C 三种杂志。订 A种的有 28 人，订 B种的有 41 人，订 C种的有 20 人。
订 A,B 两种的有 10 人，订 B,C 两种的有 12 人，订 A,C 两种的有 12 人，则三种都订
的有 人。 10.从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，
8.在 1～500 中，不能被 2整除，不能被 3整除，又不能被 7整除的数有 个。 一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了 38 根扁担和 58 个桶，那么庙里有多少
9.希望小学音乐兴趣小组有 38 人，有 20 人会手风琴，16 人会钢琴，24 人会电子琴， 个小和尚
其中既会手风琴又会钢琴的 8人，既会电子琴又会钢琴的有 10 人，既会手风琴又会
电子琴的有 8人，则这三种琴都不会的至多有 人。
10.田径运动会中，参加 100 米短跑的共 156 人，比参加 200 米短跑的人少 40 人，比参
加 50 米短跑的人多 26 人，同时参加 100 米和 50 米短跑的有 74 人。同时参加 200 11.某快递公司为客户托运 200 箱玻璃，按合同规定每箱运费 30 元，若损坏一箱不给运
米和 100 米的有 80 人，是同时参加 50 米和 200 米人数的 2倍，同时参加 50 米、100 费并赔偿 200 元，运到后结算时共得运费 4160 元，共损坏了多少箱
米、200 米短跑的有 30 人，那么这次运动会中参加 50 米、100 米、200 米短跑的共
有多少人
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专题二一 植树问题 类型二 封闭路线植树问题
类型一 不封闭路线植树问题 9.用两段绳子打 1 个结（如图）,用像这样的 10 段绳子连起来
1.如图，某公园有两段路，AB=175 米，BC=125 米，在这两段路上 围成一个圆圈，一共要打（ ）结。
安装路灯，要求 A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间 A.9 个 B.10 个 C.11 个
的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯 个。 10.园林工人要在周长为 300 米的圆形花坛边等距离的栽上风景树，他们首先沿着花坛
2.元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从 的边每隔 3米挖一个坑，当挖完 40 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5米栽一棵树，
头到尾一共挂了 21 只，每隔 30 分米挂一只红灯，相邻的 2只红灯之间挂了一只绿 这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑（ ）个。
灯，实验中学学校的大门宽 分米。 A.50 B.51 C.52 D.53
3.绿化队原计划在一段 120 米长的路上每隔 5米栽一棵树，并已经挖好树坑。后改为每 11.一个湖的周长是 900 米，在湖边每隔 3米种植柳树一株；再在两棵柳树中间等距离
隔 6米栽一棵树，则重新挖坑时可以少挖 个。 地种 2株槐树，则可种柳树 株，两株槐树之间的距离是 米。
4.A、B 两地之间每隔 36 米竖一根电线杆，包括两端的两根电线杆在内，共竖有 61 根 12.正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔 5米。甲、乙二人同时从一个角出发，
电线杆。现在要改为每隔 48 米竖一根电线杆，那么除了两端的两根电线杆外，A、B 向不同的方向走去（如图）,甲的速度是乙的 2 倍，乙在拐了第一个弯之后的第 5
两地之间还有 根电线杆可不必移动。 棵树与甲相遇。操场四周一共栽了 棵树。
5.某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两 13.如图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100 米、宽为 70 米。
端各栽一棵，并且每棵树的间隔相等。如果每隔 4米栽 1棵，则树苗缺 21 棵；如果 现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点
每隔 5米栽 1棵，则树苗正好用完，原有树苗多少棵 （顶点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树
6.某地新建一座大桥，在桥面两侧等距离安装照明灯，要求在 A、B、C 处及 AC 和 BC
的中点都要有一盏灯，这样至少需要安装多少盏灯
7.学校内的一条马路长 40 米，为迎接六一儿童节，同学们在马路的一侧每隔 4米插一
面彩旗，该侧马路原来一端有彩旗，另一端没有，则还要插 面彩旗。 类型三 变形问题
8.某地的彩虹大桥桥面两侧是双拱形结构，桥长为 540 米，它的侧视图如图所示，桥的 14.一只大钟敲三下要用 3秒，这只大钟敲 7下要用（ ）秒。
两侧的拱形之间有许多竖立的柱子，已知相邻的柱子之间相距 a为 30 米。
A.14 B.7 C.10 D.9
（1）试求每侧有多少根竖立的柱子
（2）若最短的柱子上竖着均匀挂着 4盏灯，相邻的柱子上依次增加 3盏灯，请计算 15.王亮要到一栋楼的第 15 层去，他从第 1层走到第 5层用了 100 秒，如果用同样的速
最长柱子上有多少盏灯 度走到 15 层，还要（ ）秒。
A.250 B.200 C.275 D.300
16.把一根长 2米的木材锯成 5段要用 24 分钟，如果要锯成 8段，要用 分钟。
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装 订 线 内 不 许 答 题人教版六年级《数学》小升初期末专题训练卷
（专题十九、二十、二一 容斥原理、鸡兔同笼问题、植树问题）
【参考答案】
最少要种树：510÷5-3=99（棵）。
答：最少要种99棵树。
类型三变形问题
14.D【解析】3÷(3-1)×(7-1)=3÷2×6=9（秒）。
15.A【解析】100÷(5-1)=25（秒），25×(15-5)=250
(秒)。
16.42【解析】锯一次需要24÷(5-1)=6（分钟），锯
成8段需要锯7次，需要6×(8-1)=42（分钟）。
专题19
容斥原理
类型一二者容斥
1.D【解析】因为每一个学生都至少报名参加了一个
项目，所以全班总人数为40+31-21=50（人），只参
加一个项目的人数为50-21=29（人）。
2.15【解析】既有手机又有电脑：76-3=73（人），有手
机没电脑：88-73=15（人）。
3.7【解析】至少答对一题的人数为23+27-17=
33(人)，两题都没有答对的人数为40-33=7（人）。
4.31【解析】根据题意，画示意图如解图：
完成语文作业的人数
SC
D
B
完成数学作业的人数
第4题解图
线段AB表示全班人数，线段AC表示完成语文作业
的人数，线段DB表示完成数学作业的人数，重叠部
分DC则表示语文、数学都完成的人数。根据题意，
完成语文作业的有37人，即AC=37。完成数学作
业的有42人，即DB=42。AC+DB=37+42=79,AB=
48,所以DC=79-48=31。所以数学、语文作业都完
成的有31人。
5解品-品s1-品=80（人。
答：这批游客共有80人。
6.解：如解图，设会下围棋的人数为x人，则会下象棋
的人数为(x+5)人，根据题意得x+x+5-20+1=50,
解得x=32。
会下象棋
会下围棋
x+5
20
第6题解图
答：六年级一班会下围棋的有32人。
类型二三者容斥
7.9【解析】设同时订阅三种杂志的人数为x,则有
(28+41+20)-(10+12+12)+x=64(订三种的人多减
了一次，补回)，解得x=9,则三种都订的有9人。人教版六年级《数学》小升初期末专题训练卷
（(专题十九、二十、二一一 容容斥斥原原理理、、鸡鸡兔同笼问题、植树问题）)
【【参考答案】
专题19 容斥原理
8.143【解析】被2整除的有500÷2=250(个),被3
类型一 二者容斥 整除的有500÷3=166(个) 2,被7整除的有500
1. D【解析】因为每一个学生都至少报名参加了一个 ÷7=71(个) ·3,2和3的最小公倍数是6,500÷6
项目，所以全班总人数为40+31-21=50(人),只参 =83(个) 2,3和7的最小公倍数是21,500÷21
=23(个) 17,2和7的最小公倍数是14,500÷14
加一个项目的人数为50-21=29(人)。
=35(个) 10,2,3,7的最小公倍数是42,500÷42
2.15【解析】既有手机又有电脑：76-3=73(人),有手 =11(个) 38,因此不能被2整除，不能被3整
机没电脑：88-73=15(人)。 除，不能被7整除的数有500-250-166-71+83+23+
3.7【解析】至少答对一题的人数为23+27-17= 35-11=143(个)。
33(人),两题都没有答对的人数为40-33=7(人)。 9.2【解析】要想三种琴都不会的最多，就要让会弹
琴的人数尽量的少。有20人会手风琴，24人会电
4.31【解析】根据题意，画示意图如解图： 子琴，而这两种都会的有8人，所以会这两种琴的人
完成语文作业的人数
C 共有：20+24-8=36(人);会钢琴的16人中有10人
A D B 会电子琴，8人会手风琴，(10+8)-16=2(人),所以
完成数学作业的人数 有2人三种琴都会，也就是说，会弹琴的人最少有
第4题解图 36人，则三种琴都不会的人至多有38-36=2(人)。
10.解；参加200米短跑的人数：156+40=196(人),参
线段AB表示全班人数，线段AC表示完成语文作业
加50米短跑的人数：156-26=130(人),同时参加
的人数，线段DB表示完成数学作业的人数，重叠部 50米和200米的人数：80÷2=40(人),参加50米、
分DC则表示语文、数学都完成的人数。根据题意， 100米、200米的共有：156+196+130-74-80-40+
完成语文作业的有37人，即AC=37。完成数学作 30=482-74-80-40+30=318(人)。
业的有42人，即DB=42。AC+DB=37+42=79,AB= 答：这次运动会中参加50米、100米、200米短跑的
48,所以DC=79-48=31。所以数学、语文作业都完 共有318人。
成的有31人。 专题20 鸡兔同笼问题
类型一 经典的鸡兔同笼
5.解：3+5 20=10,8÷(1-9)=80(人)。 1. B
2.8【解析】假设10只全是兔，那么共有脚10×4=40
答：这批游客共有80人。 (只),而实际有24只脚，相差40-24=16(只),而一只
6.解：如解图，设会下围棋的人数为x人，则会下象棋 兔与一只鸡相差4-2=2(只)脚，所以有鸡16÷2=8
的人数为(x+5)人，根据题意得x+x+5-20+1=50, (只)。
解得x=32。 3.10【解析】假设全是飞机模型，轮子有30×3=
90(个),汽车模型的个数是(110-90)÷(4-3)=
工 20(个),飞机模型的个数是30-20=10(个)。
会下象棋 会下围棋 图题技巧“鸡兔同笼”问题中，当假设全是免时，
x+5 20 x 鸡的只数=(总只数×1只兔的脚数-总脚数)÷鸡兔
脚数的差；当假设全是鸡时，兔的只数=(总脚数-
总只数×1只鸡的脚数)÷鸡兔脚数的差。
4.4 【解析】假设都不下雨，则13天行13×17.5=
第6题解图 227.5(千米),比201.5千米多26千米，不下雨比下
答：六年级一班会下围棋的有32人。 雨每天多行17.5-11=6.5(千米),所以这期间下雨
类型二 三者容斥 的天数有26÷6.5=4(天)。
5.4 8【解析】假设全是单打桌，则有12×2=24
7.9【解析】设同时订阅三种杂志的人数为x,则有 (人),比实际少(40-24)人，因为每张单打桌比每张
(28+41+20)-(10+12+12)+x=64(订三种的人多减 双打桌少(4-2)人，所以双打桌有(40-24)÷(4-2)
了一次，补回),解得x=9,则三种都订的有9人。 =8(张),单打桌有12-8=4(张)。
6.20【解析】假设42人都到终点下车，则售票员共收票
款应该是42×9=378(元),比实际多了378-318=60
(元),如果1个人中途下车，则要少收9-6=3(元),
所以中途下车的有60÷3=20(人)。
2160(米),每隔[36,48]=144(米)电线杆不用移
7.解：5枚1分的换成1枚5分的，枚数减少5-1=4(枚), 动，则A、B两地共有2160÷144+1=16(根)不用移
5枚2分的换成2枚5分的，枚数减少5-2=3(枚),
动，除去A、B两端之外还有16-2=14(根)不用
总的枚数减少了26-11=15(枚),4×3+1×3=15 移动。
(枚),所以1分硬币换了3次，2分硬币换了1次，
5.解：设原有树苗x棵，则路的长度为4×(x+21-1)米
1分硬币：5×3=15(枚),2分硬币：5×1=5(枚),5分
和5×(x-1)米，由题意得，4×(x+21-1)=5×(x-1),
硬币：26-15-5=6(枚)。
解得x=85。
答：原有5分硬币6枚。
答：原有树苗85棵。
类型二 变形的鸡兔同笼 6.解：AC之间一半的距离是512÷2=256(米),
8.2【解析】根据题意可知，小明错的题的数目一定 BC之间一半的距离是576÷2=288(米),
是偶数道，若答错2道题，则应答对18道才会得18 所以灯距最大是(256,288)=32(米),
×2-2=34(分),这样小明共答18道题，未答的题的 每侧的盏数：(512+576)÷32+1=34+1=35(盏),两
道数7是奇数。故他答错2道题。 侧一共需要安装；35×2=70(盏)。
9.解：假设全买椅子，根据“1把椅子的价钱正好是1 答：这样至少需要安装70盏灯。
张办公桌的13,可知1张办公桌的价钱相当于3把 7.10【解析】马路一端有彩旗时，还要插彩旗的面数
=间隔数，间隔数是40÷4=10(面),还要插10面
椅子的价钱，4张办公桌的价钱相当于3×4=12(把) 彩旗。
椅子的价钱，因此1把椅子的价钱是252÷(12+9)= 8.解；(1)540÷30=18,18-1=17(根)。
12(元),1张办公桌的价钱是12×3=36(元)。 答；每侧有17根竖立的柱子。
答：1把椅子的价钱是12元，一张办公桌的价钱是 (2)17÷2=8 1,所以最长的一根柱子应该是第9
36元。 根，因为相邻的柱子上依次增加3盏灯，所以第9根
10.解：假设全部扁担都抬水，挑水有：(58-38)÷(2- 柱子上的灯为3×8+4=28(盏)。
1)=20(人),抬水有：(38-20)×2=36(人),一共 答：最长柱子上有28盏灯。
有：20+36=56(人)。
类型二 封闭路线植树问题
答：庙里有56个小和尚。
9.B【解析】因为圆圈是封闭图形则有10段绳子就
11.解：假设运输时没有损坏，则应得到的运费是200×
30=6000(元),这与实际得到的运费就差了6000- 有10个结，因此一共要打10个结。
10. C【解析】先求出每隔5米栽的树的棵数，再求出已
4160=1840(元),这是因为损坏一箱，不仅得不到
挖40个坑中不需要改挖的坑数，最后求还需挖的坑
运费30,还要赔偿200元，即损坏一箱就要少得30
数。[3,5]=15,300÷5-40×3÷15=60-8=52(个)。
+200=230(元),列式如下：
(6000-4160)÷(30+200)=8(箱) 11.300,1【解析】9X00÷3=300(株),3÷(2+1)=1(米)。
答；共损坏了8箱。 解题技巧围湖植树时，植树棵数=间隔数；两端
专题21 植树问题 都不植树时，棵数=间隔数-1。
12.48【解析】由于甲速是乙速的2倍，所以乙在拐了
类型一 不封闭路线植树问题 第一弯时，甲正好拐了两个弯，接着乙走过了5棵
1. 13【解析】相邻两个路灯间距相同，(175,125)= 树，即走过了5-1=4(个)间隔，则甲走过了4×2=8
25,所以两灯间距为25米。175=25×7,125=25×5, (个)间隔，即正方形操场一边上的间隔数是4+8=
可以假设AB段路灯排列为有头有尾，AB段路灯为 12(个),则四周一共有12×4=48(个)间隔，根据
7+1=8(个),BC段路灯排列为无头有尾，共5个。 植树问题中，围成一个封闭的图形植树时，植树棵
所以至少需要路灯8+5=13(个)。 数=间隔数，所以操场四周一共栽了48棵树。
2. 300【解析】从头到尾一共挂了21只，也就是两端 13.【思路分析】由题意，相邻两棵树之间的距离都相
都挂，那么间隔数就是21-1=20(个),所以绿灯有 等，而且可以拐弯的地点(顶点或中点)都要种上
20÷2=10(只),又因为相邻的2只红灯之间挂了1 树，要求最少要种多少棵树，则相邻两棵树之间的
只绿灯，则红灯之间的间隔数也是10个，30×10= 距离应是35和50的最大公约数，先求得35和50
300(分米),所以实验中学学校的大门宽300分米。 的最大公约数，再求得总长度含有多少个最大公约
3.5【解析】不需要重新挖的坑是第一个和5,6的公 数，再去掉顶点和中点及中间交叉点上重复的就是
倍数，[5,6]=30,120÷30=4(个),一共有4+1 最少要种的棵数。
=5(个)。 解：因为50和35的最大公约数是5,
4.14【解析】由题可知A、B两地相距36×(61-1)= 所有道路的总长度：(100+70)×3=510(米),
最少要种树：510÷5-3=99(棵)。
答：最少要种99棵树。
类型三 变形问题
14.D【解析】3÷(3-1)×(7-1)=3÷2×6=9(秒)。
15.A【解析】100÷(5-1)=25(秒),25×(15-5)=250
(秒)。
16.42【解析】锯一次需要24÷(5-1)=6(分钟),锯
成8段需要锯7次，需要6×(8-1)=42(分钟)。

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