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【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等）
1．（2022·镇海区模拟）如图，是的外接圆，点在上，连结，，，过点作的平行线交于点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，，求；
（3）如图3，为的内心，若在线段上，，，当最大时，求出的半径.
【答案】（1）证明：点在圆上，
，，
又，
，
；
（2）解：由（1）可得，
，
，
∴，
过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
∴，，
∴，
，
∴，
；
（3）解：由（2）得： ，
，
如图，作交CD于点F，
∴，
设，，，则有，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：，
解得，，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：，
∴，
，
连接，
为的内心，
，，
，
，
，
当时，最大，
∴，
连接，交BC于点M，
∴OD⊥BC，，
∴，
设的半径为，则有，
∴
解得：，
∴圆的半径为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得，，由平行线的性质可得∠ADB=∠DEC，根据两组角相等的两个三角形相似即证；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，由同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠BAD=∠CAD=∠CBD=30°，利用等角对等边可得DC=BD=4，根据等腰三角形及直角三角形的性质可得 ，， 利用勾股定理求出BH=2，即得BC=4， 由（1）可得，可得，据此即可求出DE的长；
（3）如图，作交CD于点F， 可得，设，，，则有，在Rt△BDF、Rt△BCF中，由勾股定理可求出， ，即得，由三角形的内心可求出，从而求出IE=ID-DE=，根据二次函数的性质可得当时，最大，即得BC=5， 连接，交BC于点M， 由垂径定理可得OD⊥BC，，从而求出，设的半径为，则有，根据勾股定理可得，解之即可.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，点D是等边三角形ABC外接圆的上一点（与点B，C不重合），BE∥DC交AD于点E，BC与AD相交于P．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）如果BD＝2，CD＝1，求△ABC的边长．
（3）求证：.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA＝∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°、∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵CD∥BE，
∴∠CDA＝∠DEB＝60°，
∴∠ADB＝∠DEB＝60°，
∴△BDE是等边三角形
（2）解：如图，过点B作MB⊥CD，交CD延长线于点M，
∵∠CDB＝∠ADC+∠ADB＝120°，
∴∠BDM＝60°，
∵在Rt△BDM中，BD＝2，
∴DM＝1、BM=
则CM＝CD+DM＝2，
∴BC＝
（3）证明：∵CD∥BE，
∴△CDP∽△BEP
由（1）知BD＝BE，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得出BD、DE的长度，然后根据余弦定理求解即可；
（3）先证得△CDP∽△BEP，然后相似三角形的性质结合题中所给条件即可证明。
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，tanC＝，求EF的长．
【答案】（1）解：DE与⊙O相切，理由：连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵tanC＝，
∴设AD＝x，CD＝2x，
∴AC＝x＝6，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠C，
∵AF∥OD，
∴△EAF∽△EOD，
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据题目条件，△ABC是等腰三角形，且AC是圆⊙O的直径。根据圆周角定理可得∠ADC=90°，因此DE作为AB的垂线，也垂直于直径AC，进而证明DE与⊙O相切；
（2）已知tan∠C=，可以利用三角函数关系找到相关线段的比例，结合⊙O的半径R=3，通过相似三角形的性质找到EF的长度。
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
【知识点】平行线的性质；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）要判断CD与圆 ⊙B 的位置关系，关键在于找到一个或一组条件，能够说明CD与圆的接触点（即切点或交点）的存在。根据题目条件，可以通过构造辅助线和利用三角形全等定理来证明这一结论；
（2）根据题目条件可以判断△BCD是等边三角形，根据其性质结合BF⊥CD，AB=2，可得到∠ABD=∠CBD=30°，BF=AB=2。然后利用直角三角形的性质计算AD和DF的长度，从而计算出三角形ABD的面积，再计算出扇形ABE的面积，最后用三角形的面积减去扇形的面积可求得阴影部分的面积。
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OA、OB．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）求证：BC＝BP；
（3）若OA＝3，OB＝4，求AD BC的值．
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAE＝∠DAE，∠OBE＝∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAE+∠CBE＝180°，
∴∠OAE+∠OBE＝×（∠DAE+∠CBE）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴OA⊥OB；
（2）证明：∵BC、BE是⊙O的切线，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CD是直径，
∴∠CED＝∠CEP＝90°，
∴∠ECB+∠P＝90°，∠CEB+∠PEB＝90°，
∴∠P＝∠PEB，
∴BE＝PB，
∴BC＝BP；
（3）解：由（1）知，∠AOB＝90°，
∵OA＝3，OB＝4，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO＝∠BEO＝90°，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△AOE∽△ABO，
，
，
，
，
同理
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）为了证明OA⊥OB，首先连接OE。根据切线长定理和角平分线性质可得AD∥BC，进而得到∠DAE+∠CBE＝180°，利用角的转化可得∠AOB＝90°进而可得出结论；
（2）为了证明BC=BP，我们首先连接CE。根据圆周角定理可得∠CED = 90°。再利用角的转化可得∠P=∠PEB，进而得到BE = BP，结合BC=BE即可得出；
（3）通过连接OE，利用勾股定理、相似三角形的性质和切线长定理，计算出AD减去BC的值。
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，圆O的内接四边形ABCD中，AD是⊙O的直径，BC＝CD．
（1）如图1，求证：∠ABC＝90°+∠BAC；
（2）如图2，OH⊥BC，垂足是H，求证：AC＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，作CE⊥AD交⊙于点E，垂足是F，连接EO并延长交AB于点M，若OH＝4，OF AM＝10，求BM的长．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵BC＝CD，
∴
∴∠CBD＝∠BAC，
∴∠ABC＝90°+∠BAC；
（2）证明：连接OC，作OG⊥CD，垂足是G，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OHC＝∠OGC＝90°
CH＝BC，CG＝CD，CG＝DG，
∵BC＝CD，
∴CH＝CG，
∵OC＝OC，
∴△OCH≌△OCG（SSS），
∴OG＝OH，
∵OA＝OD，
∴OG＝AC，
∴AC＝2OH；
（3）解：设∠CAD＝α，BC＝CD，
∴
∴∠CAD＝∠BAC＝α，
∵
∴∠COD＝2∠CAD＝2α，
∵CE⊥AD，AD是⊙O的直径，
∴
∴∠COD＝∠DOE＝2α
∵∠AOM＝∠DOE＝2α，
∴∠MAO＝∠MOA，
∴AM＝OM，
过M点作MN⊥AO于N，
∴AN＝ON＝OA，
∴cos∠MAN＝cos∠COF，
，
∴AN CO＝MF OF，
∵OF AM＝10，
故AN CO＝10，设AN＝x
OC＝2x，
∴2x2＝10，解得x＝﹣（舍去）或，
∴AD＝4AN＝4，
∵OH＝4，
∴AC＝2OH＝8，
，
，
则，
则，
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
则.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的性质-对应边；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质和角的和差关系证明；
（2）利用垂径定理和勾股定理求解；
（3）利用垂径定理、圆的性质、直角三角形的性质和相似三角形的性质求解。
7．（2020·闵行模拟）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
【答案】（1）解：如图①，联结OQ． ∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．
∴ ，∠EBC= ∠ABC=60°．
∵点Q是 的中点， ∴∴ ， 即 ． ∴∠BOQ=∠EOQ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，
∴∠BOQ=∠EOQ=90°．
又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°， ∴∠CBG=60° 45°=15°．
（2）解：如图②，在BE上截取EM=HE，联结HM． ∵正六边形ABCDEF，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，
∴∠FEB= ∠FED=60°．
∵EM=HE，EH=y，
∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，
∴∠C=∠HMB=120°．
∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC ∠GBE=∠EBC ∠GBE， 即∠HBE=∠GBC． ∴△BCG∽△BMH，∴ ．
又∵CG= x，BE=8，BC=4，∴ ，
∴y与x的函数关系式为 （ ）
（3）解：如图③，当点G在边CD上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，
① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，且符合题意．
∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出正六边形的性质求出∠ABC=120°，再求出∠EBC和∠OBQ的度数，则利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ计算结果；
（2）在BE上截取EM=HE，联、连结HM，证出△BCG∽△BMH，可得，把x，y的值代入即可得出y与x的函数关系式；
（3）分两种情况解答：当点G在边CD上时和当点G在CD的延长线上时，在每种情况下，又根据∠EDG=∠AFH=60°，两角夹边成比例分两种情况列出比例式求解。
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边
形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；
②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；
③请直接写出AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APQ＝60°，
∵PQ＝AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝60°＝∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，
∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，
∴四边形AQBC是等对角四边形；
（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，
理由：连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD；
②∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴BD＝10，
∴BC＝CD＝；
③7
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（3）③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，
∴2AC2＝196，
∴AC＝7，
故AC的长为7
【分析】（1）根据题目所给新定义及圆周角性质、圆内接四边形、等边三角形的性质和四边形内角和进行证明即可；
（2）①连接BD，根据题意，结合圆周角的性质分析，即可得到答案；
②结合①，通过勾股定理进行计算，即可得到答案；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，结合①，通过圆内接四边形、勾股定理、旋转性质进行分析，即可得到答案．
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【答案】（1）解：①连接OB、OC，
则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，
△ABC面积的最大值
（2）证明：如图2，连接OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，
∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2＝0．
备注：此题还可采用以下解法：
连接OB，延长DO交AB于点K，
设∠OED＝α，则∠AOK＝2α，
∴∠BKD＝90°﹣mα，
则∠BAO＝90°﹣∠BOA＝2mα+4α＝2∠C＝2nα，
∴m﹣n+2＝0．
【知识点】三角形的面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接OB，OC，OD，根据圆周角定理和直角三角形的性质，可以推导出OD的长度是OA的一半；
②求解：设AF⊥BC，垂足为F，连接AD。由锐角三角形的性质和三角形面积公式，可以求出△ABC面积的最大值；
（2）证明：设∠OED=∠ODE=x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，根据角的关系，可以推导出m·n+2=0。
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
AB=，
∵
∴
即
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
在Rt△FED中，
∴△FGD的周长为
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
在Rt中，，
当时，的最小值为3，
的最小值为．
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理可得∠BAD等于90°，然后根据题目给出的条件（AE等于CD）得出∠ABG=∠DBC=α，最后根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）要证明EF=DG，可以证明两个三角形全等，考虑到已知条件CE=BG和∠BEC=∠BDC，我们可以利用全等三角形的判定方法来证明△CFE≌△BDG，从而即可证明；
（3）①，我们已知AD=2和tan∠ADB=，可以利用这些条件来求解△FGD的周长。利用解直角三角形和三角形周长的定义来求解；②，要求出线段G的最小值，考虑到CG与三角形的边长有关，我们可以利用相似三角形的性质和最值问题的解法来求解。
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．
【答案】（1）解：如图1，
证明：连接OA，OC，
∴OB＝OC，
又AB＝AC，
OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OAB，
∴∠BAC＝2∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠BAC＝2∠ABD
（2）证明：如图2，
证明：连接AG，OG，延长AO交BG于M，交BC于P，交⊙O于N，
由（1）知，
∠BAO＝∠CAO，
∴
∵AB＝AC，
∴AP⊥BC，
∵BH⊥AC，
∠AMH＝∠BMP，
∴∠CBG＝∠CAO，
∵
∴∠CAG＝∠CBG，
∴∠CAG＝∠CAO，
∴AM＝AG，
∴GM＝2GH，∠BON＝∠COG，
∵OB＝OG，
∴∠OBG＝∠OGB，
∴△BOM≌△GOF（ASA），
∴BM＝GF，
∴BM+MF＝GF+MF，
即BF＝MG＝2GH；
（3）解：如图3，
解：设∠ABD＝α，
由（1）（2）知，
∠BAC＝2∠ABD＝2α，∠CAG＝，
连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，
∴AD＝DK＝2，
∴∠DKA＝∠DAK＝2α，
∵∠BDK＝∠AKD﹣∠ABD＝2α﹣α＝α，
∴BK＝DK＝2，
∴AK＝AB﹣BK＝3，
，
在Rt△ABH中，
AH＝AB cos2α＝5×
在Rt△AHG中，
GH＝AH tanα
∴BF＝2GH＝
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）要证∠BAC=2∠ABD，即证∠BAC=∠ABD，连接OA，只要证得AO平分∠BAC即可，利用垂径定理以及等腰三角形的性质即可证明；
（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理，得出△MCG和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC-FG-CG，MH=HG，进而由BF-BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；
（3）设∠ABD＝α，连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，所以AD＝DK＝2，∠DKA＝∠DAK＝2α，然后求出AT和DT，从而求得，，进而解Rt△ABH和Rt△AHG即可求解。
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；
（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．
【答案】（1）证明：连接OE．如图1所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC⊥OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，
∴EH＝EC，∠BHE＝90°，
在Rt△BHE和Rt△BCE中，，
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），
∴BH＝BC＝9，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，
∴BE＝
∵∠EBH＝∠FBE，
∴△BEH∽△BFE，
∴，即，
解得：BF＝10，
∴⊙O的半径长＝BF＝5；
（3）解：连接OE，如图2所示：
由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，
∵EH⊥AB
在Rt中，，
在Rt中，，
，
，
，
的面积，
【知识点】切线的判定；圆的综合题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义，可得∠CBE=∠OBE；由OB=OE可得
∠OBE=∠OEB，等量代换得∠OEB=∠CBE，然后根据内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC，进而根据平行线的性质得出∠AEO=90°，即可得出结论；
（2）根据角平分线的性质得出EH=EC，∠BHE=90，证明Rt△BHE≌Rt△BCE (HL)，得出BH=BC=9，证出BF是圆O的直径，然后根据勾股定理得出BE的长度，证明△BEH~△BFE根据相似三角形的性质得到比例，求出BF=10，即可得出答案；
（3）连接OE，由（2）得出OE=OF=5，EC=EH=3，由勾股定理得出的OH长度，
在Rt△OHE中Rt△EOA中，根据余弦定理求出OA、OE的长度，再根据勾股定理求出AC、AB的长度，最后利用三角形面积即可求解。
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AF＝1，tan∠N＝，求⊙O的半径r的长；
（3）在（2）的条件下，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∵∠DBC+∠CDB＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵∠FNH＝∠ABC，OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝∠FNH，
在Rt△AOD中，设OD＝3k，AD＝4k，则AO＝5k，
∵AO＝OD+AF＝3k+1，
∴3k+1＝5k，
解得：k＝，
∴r＝3k＝；
（3）解：连接BN，
由题意可得：BF＝2r＝3，
∵∠FNH+∠BNH＝∠BNH+∠NBH＝90°，
∴∠FNH＝∠NBH，
∴设BH＝3a，则HN＝4a，故FH＝a，
则a+3a＝3，
解得：，故，
∵DO∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴
解得：，
∵∠C＝∠FDB＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴△BCD∽△BDF，
则
故
∵∠EHB＝∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴△BHE∽△BCD，
则
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外接圆与外心；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）为了证明AC是⊙O的切线，我们可以通过证明AC与OD垂直来实现。根据BD是角平分线、OD=OA等性质即可证明；
（2）在求解⊙O的半径r时，我们首先利用到OD∥BC这一性质，通过相似三角形的关系求出OD的长度，再结合勾股定理即可求出⊙O的半径r；
（3）为了求解BE的长度，根据相似三角形的性质，结合已知的BE与BH的关系，通过计算得出BE的长度。
14．（2017·江西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
【答案】（1）证明：连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线
（2）解：∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC=MH= ，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC= ，
∴ = ，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2
（3）解：连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO= ，
∵ AC OC= AO CI，
∴CI= ，
∴由垂径定理可求得：CN= ，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，
∴ ﹣（2+x）2=4﹣x2，
∴x= ，
∴OE= ，
由勾股定理可求得：EN= ，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN= ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC= ，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
15．（2023·麻章模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F＝，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由．
【答案】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F
∵CD＝24，OA⊥CD，
∴CE＝CD＝12，
∵tan∠F＝，
∴tan∠ACF＝＝，即=，
解得AE＝9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即122+（r﹣9）2＝r2，
解得：r＝12.5；
（3）解：是定值；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F，
∴∠DBG＝∠F，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴＝＝＝＝＝．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB＝∠OBA，再根据角之间的关系可得∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠ACF＝∠F，根据垂径定理可得CE＝CD＝12，再根据正切定义可得AE＝9，连接OC，设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接BD，根据角之间的关系可得∠DBG＝∠F，再根据相似三角形判定定理可得△BDG∽△FBG，则，即GB2＝DG GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等）
1．（2022·镇海区模拟）如图，是的外接圆，点在上，连结，，，过点作的平行线交于点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，，求；
（3）如图3，为的内心，若在线段上，，，当最大时，求出的半径.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，点D是等边三角形ABC外接圆的上一点（与点B，C不重合），BE∥DC交AD于点E，BC与AD相交于P．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）如果BD＝2，CD＝1，求△ABC的边长．
（3）求证：.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，tanC＝，求EF的长．
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OA、OB．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）求证：BC＝BP；
（3）若OA＝3，OB＝4，求AD BC的值．
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，圆O的内接四边形ABCD中，AD是⊙O的直径，BC＝CD．
（1）如图1，求证：∠ABC＝90°+∠BAC；
（2）如图2，OH⊥BC，垂足是H，求证：AC＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，作CE⊥AD交⊙于点E，垂足是F，连接EO并延长交AB于点M，若OH＝4，OF AM＝10，求BM的长．
7．（2020·闵行模拟）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边
形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；
②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；
③请直接写出AC的长．
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；
（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AF＝1，tan∠N＝，求⊙O的半径r的长；
（3）在（2）的条件下，求BE的长．
14．（2017·江西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
15．（2023·麻章模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F＝，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：点在圆上，
，，
又，
，
；
（2）解：由（1）可得，
，
，
∴，
过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
∴，，
∴，
，
∴，
；
（3）解：由（2）得： ，
，
如图，作交CD于点F，
∴，
设，，，则有，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：，
解得，，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：，
∴，
，
连接，
为的内心，
，，
，
，
，
当时，最大，
∴，
连接，交BC于点M，
∴OD⊥BC，，
∴，
设的半径为，则有，
∴
解得：，
∴圆的半径为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得，，由平行线的性质可得∠ADB=∠DEC，根据两组角相等的两个三角形相似即证；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，由同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠BAD=∠CAD=∠CBD=30°，利用等角对等边可得DC=BD=4，根据等腰三角形及直角三角形的性质可得 ，， 利用勾股定理求出BH=2，即得BC=4， 由（1）可得，可得，据此即可求出DE的长；
（3）如图，作交CD于点F， 可得，设，，，则有，在Rt△BDF、Rt△BCF中，由勾股定理可求出， ，即得，由三角形的内心可求出，从而求出IE=ID-DE=，根据二次函数的性质可得当时，最大，即得BC=5， 连接，交BC于点M， 由垂径定理可得OD⊥BC，，从而求出，设的半径为，则有，根据勾股定理可得，解之即可.
2．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA＝∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°、∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵CD∥BE，
∴∠CDA＝∠DEB＝60°，
∴∠ADB＝∠DEB＝60°，
∴△BDE是等边三角形
（2）解：如图，过点B作MB⊥CD，交CD延长线于点M，
∵∠CDB＝∠ADC+∠ADB＝120°，
∴∠BDM＝60°，
∵在Rt△BDM中，BD＝2，
∴DM＝1、BM=
则CM＝CD+DM＝2，
∴BC＝
（3）证明：∵CD∥BE，
∴△CDP∽△BEP
由（1）知BD＝BE，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得出BD、DE的长度，然后根据余弦定理求解即可；
（3）先证得△CDP∽△BEP，然后相似三角形的性质结合题中所给条件即可证明。
3．【答案】（1）解：DE与⊙O相切，理由：连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵tanC＝，
∴设AD＝x，CD＝2x，
∴AC＝x＝6，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠C，
∵AF∥OD，
∴△EAF∽△EOD，
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据题目条件，△ABC是等腰三角形，且AC是圆⊙O的直径。根据圆周角定理可得∠ADC=90°，因此DE作为AB的垂线，也垂直于直径AC，进而证明DE与⊙O相切；
（2）已知tan∠C=，可以利用三角函数关系找到相关线段的比例，结合⊙O的半径R=3，通过相似三角形的性质找到EF的长度。
4．【答案】（1）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
【知识点】平行线的性质；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）要判断CD与圆 ⊙B 的位置关系，关键在于找到一个或一组条件，能够说明CD与圆的接触点（即切点或交点）的存在。根据题目条件，可以通过构造辅助线和利用三角形全等定理来证明这一结论；
（2）根据题目条件可以判断△BCD是等边三角形，根据其性质结合BF⊥CD，AB=2，可得到∠ABD=∠CBD=30°，BF=AB=2。然后利用直角三角形的性质计算AD和DF的长度，从而计算出三角形ABD的面积，再计算出扇形ABE的面积，最后用三角形的面积减去扇形的面积可求得阴影部分的面积。
5．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAE＝∠DAE，∠OBE＝∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAE+∠CBE＝180°，
∴∠OAE+∠OBE＝×（∠DAE+∠CBE）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴OA⊥OB；
（2）证明：∵BC、BE是⊙O的切线，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CD是直径，
∴∠CED＝∠CEP＝90°，
∴∠ECB+∠P＝90°，∠CEB+∠PEB＝90°，
∴∠P＝∠PEB，
∴BE＝PB，
∴BC＝BP；
（3）解：由（1）知，∠AOB＝90°，
∵OA＝3，OB＝4，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO＝∠BEO＝90°，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△AOE∽△ABO，
，
，
，
，
同理
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）为了证明OA⊥OB，首先连接OE。根据切线长定理和角平分线性质可得AD∥BC，进而得到∠DAE+∠CBE＝180°，利用角的转化可得∠AOB＝90°进而可得出结论；
（2）为了证明BC=BP，我们首先连接CE。根据圆周角定理可得∠CED = 90°。再利用角的转化可得∠P=∠PEB，进而得到BE = BP，结合BC=BE即可得出；
（3）通过连接OE，利用勾股定理、相似三角形的性质和切线长定理，计算出AD减去BC的值。
6．【答案】（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵BC＝CD，
∴
∴∠CBD＝∠BAC，
∴∠ABC＝90°+∠BAC；
（2）证明：连接OC，作OG⊥CD，垂足是G，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OHC＝∠OGC＝90°
CH＝BC，CG＝CD，CG＝DG，
∵BC＝CD，
∴CH＝CG，
∵OC＝OC，
∴△OCH≌△OCG（SSS），
∴OG＝OH，
∵OA＝OD，
∴OG＝AC，
∴AC＝2OH；
（3）解：设∠CAD＝α，BC＝CD，
∴
∴∠CAD＝∠BAC＝α，
∵
∴∠COD＝2∠CAD＝2α，
∵CE⊥AD，AD是⊙O的直径，
∴
∴∠COD＝∠DOE＝2α
∵∠AOM＝∠DOE＝2α，
∴∠MAO＝∠MOA，
∴AM＝OM，
过M点作MN⊥AO于N，
∴AN＝ON＝OA，
∴cos∠MAN＝cos∠COF，
，
∴AN CO＝MF OF，
∵OF AM＝10，
故AN CO＝10，设AN＝x
OC＝2x，
∴2x2＝10，解得x＝﹣（舍去）或，
∴AD＝4AN＝4，
∵OH＝4，
∴AC＝2OH＝8，
，
，
则，
则，
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
则.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的性质-对应边；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质和角的和差关系证明；
（2）利用垂径定理和勾股定理求解；
（3）利用垂径定理、圆的性质、直角三角形的性质和相似三角形的性质求解。
7．【答案】（1）解：如图①，联结OQ． ∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．
∴ ，∠EBC= ∠ABC=60°．
∵点Q是 的中点， ∴∴ ， 即 ． ∴∠BOQ=∠EOQ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，
∴∠BOQ=∠EOQ=90°．
又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°， ∴∠CBG=60° 45°=15°．
（2）解：如图②，在BE上截取EM=HE，联结HM． ∵正六边形ABCDEF，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，
∴∠FEB= ∠FED=60°．
∵EM=HE，EH=y，
∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，
∴∠C=∠HMB=120°．
∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC ∠GBE=∠EBC ∠GBE， 即∠HBE=∠GBC． ∴△BCG∽△BMH，∴ ．
又∵CG= x，BE=8，BC=4，∴ ，
∴y与x的函数关系式为 （ ）
（3）解：如图③，当点G在边CD上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，
① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，且符合题意．
∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出正六边形的性质求出∠ABC=120°，再求出∠EBC和∠OBQ的度数，则利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ计算结果；
（2）在BE上截取EM=HE，联、连结HM，证出△BCG∽△BMH，可得，把x，y的值代入即可得出y与x的函数关系式；
（3）分两种情况解答：当点G在边CD上时和当点G在CD的延长线上时，在每种情况下，又根据∠EDG=∠AFH=60°，两角夹边成比例分两种情况列出比例式求解。
8．【答案】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APQ＝60°，
∵PQ＝AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝60°＝∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，
∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，
∴四边形AQBC是等对角四边形；
（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，
理由：连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD；
②∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴BD＝10，
∴BC＝CD＝；
③7
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（3）③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，
∴2AC2＝196，
∴AC＝7，
故AC的长为7
【分析】（1）根据题目所给新定义及圆周角性质、圆内接四边形、等边三角形的性质和四边形内角和进行证明即可；
（2）①连接BD，根据题意，结合圆周角的性质分析，即可得到答案；
②结合①，通过勾股定理进行计算，即可得到答案；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，结合①，通过圆内接四边形、勾股定理、旋转性质进行分析，即可得到答案．
9．【答案】（1）解：①连接OB、OC，
则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，
△ABC面积的最大值
（2）证明：如图2，连接OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，
∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2＝0．
备注：此题还可采用以下解法：
连接OB，延长DO交AB于点K，
设∠OED＝α，则∠AOK＝2α，
∴∠BKD＝90°﹣mα，
则∠BAO＝90°﹣∠BOA＝2mα+4α＝2∠C＝2nα，
∴m﹣n+2＝0．
【知识点】三角形的面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接OB，OC，OD，根据圆周角定理和直角三角形的性质，可以推导出OD的长度是OA的一半；
②求解：设AF⊥BC，垂足为F，连接AD。由锐角三角形的性质和三角形面积公式，可以求出△ABC面积的最大值；
（2）证明：设∠OED=∠ODE=x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，根据角的关系，可以推导出m·n+2=0。
10．【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
AB=，
∵
∴
即
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
在Rt△FED中，
∴△FGD的周长为
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
在Rt中，，
当时，的最小值为3，
的最小值为．
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理可得∠BAD等于90°，然后根据题目给出的条件（AE等于CD）得出∠ABG=∠DBC=α，最后根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）要证明EF=DG，可以证明两个三角形全等，考虑到已知条件CE=BG和∠BEC=∠BDC，我们可以利用全等三角形的判定方法来证明△CFE≌△BDG，从而即可证明；
（3）①，我们已知AD=2和tan∠ADB=，可以利用这些条件来求解△FGD的周长。利用解直角三角形和三角形周长的定义来求解；②，要求出线段G的最小值，考虑到CG与三角形的边长有关，我们可以利用相似三角形的性质和最值问题的解法来求解。
11．【答案】（1）解：如图1，
证明：连接OA，OC，
∴OB＝OC，
又AB＝AC，
OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OAB，
∴∠BAC＝2∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠BAC＝2∠ABD
（2）证明：如图2，
证明：连接AG，OG，延长AO交BG于M，交BC于P，交⊙O于N，
由（1）知，
∠BAO＝∠CAO，
∴
∵AB＝AC，
∴AP⊥BC，
∵BH⊥AC，
∠AMH＝∠BMP，
∴∠CBG＝∠CAO，
∵
∴∠CAG＝∠CBG，
∴∠CAG＝∠CAO，
∴AM＝AG，
∴GM＝2GH，∠BON＝∠COG，
∵OB＝OG，
∴∠OBG＝∠OGB，
∴△BOM≌△GOF（ASA），
∴BM＝GF，
∴BM+MF＝GF+MF，
即BF＝MG＝2GH；
（3）解：如图3，
解：设∠ABD＝α，
由（1）（2）知，
∠BAC＝2∠ABD＝2α，∠CAG＝，
连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，
∴AD＝DK＝2，
∴∠DKA＝∠DAK＝2α，
∵∠BDK＝∠AKD﹣∠ABD＝2α﹣α＝α，
∴BK＝DK＝2，
∴AK＝AB﹣BK＝3，
，
在Rt△ABH中，
AH＝AB cos2α＝5×
在Rt△AHG中，
GH＝AH tanα
∴BF＝2GH＝
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）要证∠BAC=2∠ABD，即证∠BAC=∠ABD，连接OA，只要证得AO平分∠BAC即可，利用垂径定理以及等腰三角形的性质即可证明；
（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理，得出△MCG和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC-FG-CG，MH=HG，进而由BF-BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；
（3）设∠ABD＝α，连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，所以AD＝DK＝2，∠DKA＝∠DAK＝2α，然后求出AT和DT，从而求得，，进而解Rt△ABH和Rt△AHG即可求解。
12．【答案】（1）证明：连接OE．如图1所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC⊥OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，
∴EH＝EC，∠BHE＝90°，
在Rt△BHE和Rt△BCE中，，
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），
∴BH＝BC＝9，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，
∴BE＝
∵∠EBH＝∠FBE，
∴△BEH∽△BFE，
∴，即，
解得：BF＝10，
∴⊙O的半径长＝BF＝5；
（3）解：连接OE，如图2所示：
由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，
∵EH⊥AB
在Rt中，，
在Rt中，，
，
，
，
的面积，
【知识点】切线的判定；圆的综合题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义，可得∠CBE=∠OBE；由OB=OE可得
∠OBE=∠OEB，等量代换得∠OEB=∠CBE，然后根据内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC，进而根据平行线的性质得出∠AEO=90°，即可得出结论；
（2）根据角平分线的性质得出EH=EC，∠BHE=90，证明Rt△BHE≌Rt△BCE (HL)，得出BH=BC=9，证出BF是圆O的直径，然后根据勾股定理得出BE的长度，证明△BEH~△BFE根据相似三角形的性质得到比例，求出BF=10，即可得出答案；
（3）连接OE，由（2）得出OE=OF=5，EC=EH=3，由勾股定理得出的OH长度，
在Rt△OHE中Rt△EOA中，根据余弦定理求出OA、OE的长度，再根据勾股定理求出AC、AB的长度，最后利用三角形面积即可求解。
13．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∵∠DBC+∠CDB＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵∠FNH＝∠ABC，OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝∠FNH，
在Rt△AOD中，设OD＝3k，AD＝4k，则AO＝5k，
∵AO＝OD+AF＝3k+1，
∴3k+1＝5k，
解得：k＝，
∴r＝3k＝；
（3）解：连接BN，
由题意可得：BF＝2r＝3，
∵∠FNH+∠BNH＝∠BNH+∠NBH＝90°，
∴∠FNH＝∠NBH，
∴设BH＝3a，则HN＝4a，故FH＝a，
则a+3a＝3，
解得：，故，
∵DO∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴
解得：，
∵∠C＝∠FDB＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴△BCD∽△BDF，
则
故
∵∠EHB＝∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴△BHE∽△BCD，
则
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外接圆与外心；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）为了证明AC是⊙O的切线，我们可以通过证明AC与OD垂直来实现。根据BD是角平分线、OD=OA等性质即可证明；
（2）在求解⊙O的半径r时，我们首先利用到OD∥BC这一性质，通过相似三角形的关系求出OD的长度，再结合勾股定理即可求出⊙O的半径r；
（3）为了求解BE的长度，根据相似三角形的性质，结合已知的BE与BH的关系，通过计算得出BE的长度。
14．【答案】（1）证明：连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线
（2）解：∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC=MH= ，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC= ，
∴ = ，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2
（3）解：连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO= ，
∵ AC OC= AO CI，
∴CI= ，
∴由垂径定理可求得：CN= ，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，
∴ ﹣（2+x）2=4﹣x2，
∴x= ，
∴OE= ，
由勾股定理可求得：EN= ，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN= ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC= ，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
15．【答案】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F
∵CD＝24，OA⊥CD，
∴CE＝CD＝12，
∵tan∠F＝，
∴tan∠ACF＝＝，即=，
解得AE＝9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即122+（r﹣9）2＝r2，
解得：r＝12.5；
（3）解：是定值；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F，
∴∠DBG＝∠F，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴＝＝＝＝＝．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB＝∠OBA，再根据角之间的关系可得∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠ACF＝∠F，根据垂径定理可得CE＝CD＝12，再根据正切定义可得AE＝9，连接OC，设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接BD，根据角之间的关系可得∠DBG＝∠F，再根据相似三角形判定定理可得△BDG∽△FBG，则，即GB2＝DG GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
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