资源简介

【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1）
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））已知一个二次函数图象经过，四点，若，则的最值情况是（　　）
A．最小，最大 B．最小，最大
C．最小，最大 D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线的开口向上，且对称轴与轴的交点在与之间，
点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
最小，最大．
故答案为：B
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，，点是内的定点且，若点，分别是射线OA，~OB上异于点的动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则，
此时周长最小，
作于，则，
故答案为：D
【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，则，再根据边之间的关系可得，作于，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，则，即可求出答案.
3．（2018·十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，
∴BC= =9，
S△ABC= AB AC= BC AF，
∴3× =9AF，
AF=2 ，
∴AA'=2AF=4 ，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴A'E= ，
即AD+DE的最小值是 ；
故答案为： ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中根据勾股定理首先算出BC的长，利用三角形的面积法算出AF的长，进而得出 AA'的长，然后判断出△AEA'∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出A'E的长，即AD+DE的最小值。
4．（2022九上·孝南期末）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接．
∵是⊙的切线，
∴；
∴，
∴当时，线段OP最短，
∴PQ的长最短，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线性质可得，当时，线段OP最短，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得OP，再根据勾股定理即可求出答案.
5．（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点 ， 连接AA 、AD，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°， AB=2，
∴
∴Rt△CDE中， 即2DE=CD，
∵A与A'关于BC对称，
，
，
∴当 、D、E在同一直线上时，AD+ DE的最小值等于 的长，
此时， 中，
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】作点A关于BC的对称点A ， 连接AA 、AD，AA 交BC于点H，过D作DE⊥AC于E，由轴对称的性质可得∠AHB=90°，AD=A D，于是可得AD+DE=A D+ DE，当A 、D、E在同一直线上时，AD+ DE的值最小且等于A E的长，根据AD+ DE的最小值为3即可求得2AD+CD的最小值为6.
6．（2020八上·赣榆期中）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　 　
【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，四边形ABCD中，，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点不与点重合），点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：如图，连接DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在RtΔABD中，
的最大值
故答案为：．
【分析】连接DN，根据边之间的关系可得，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，再根据勾股定理即可求出答案.
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，抛物线与轴交于点和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线的对称轴上一点，使得AE+CE最短，求点E的坐标；
（3）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC．当SΔPBC最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：抛物线过点和点，
，解得：，
抛物线解析式为：
（2）解：抛物线的对称轴为，
当时，，即，
由对称性可知，，
则，
由两点之间线段最短可知，点即为所求，
设直线BC的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线BC的解析式为，
当时，，
最短时，点的坐标为；
（3）解：如图：连接OP，
设点的坐标，
点，
，最大为4
故当最大时，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）求出抛物线对称轴x=3，再根据y轴上点的坐标特征可得，由对称性可知，，则，由两点之间线段最短可知，点即为所求，设直线BC的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为，再将x=3代入直线解析式即可求出答案.
（3）连接OP，设点的坐标，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））已知一个直角三角形纸片ACB，其中，点E，~F分别是AC，~AB边上的一动点，连接EF，将纸片的一角AEF沿EF折叠．
（1）若折叠后点落在AB边上的点处（如图1），且，求AE的长；
（2）若，折叠后点的对应点为点（如图2），连结BM．
①若点恰好在BC边上（如图3），求EF的长．
②求BM的最小值．
【答案】（1）解：如图1中，
ΔACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴ EF⊥AB，AEF Δ Δ DEF，
在Rt中，，
，即
（2）解：①如图3中，连接AM交EF于点O．
四边形AEMF是菱形，
设，则，
②由①可知，四边形AEMF是菱形，
∴∠ CAM= ∠ BAM，
∴点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，
当时，BM的值最小，此时
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得EF⊥AB，AEF Δ Δ DEF，则，即，根据勾股定理可得AB=5，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）①连接AM交EF于点O，根据菱形判定定理可得四边形AEMF是菱形，则，即，设，则，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得AM，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
②根据菱形性质可得∠ CAM= ∠ BAM，则点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，当时，BM的值最小，结合正弦定义即可求出答案.
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））在ΔABC中，AB= 6，BC= 5，AC= 4，点D、点E分别在AB边和BC边上，且AD=1，BE=1，请在AC边上确定一点M，使得ΔDEM的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，M点即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据题意作图即可求出答案.
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））设两个点A、B的坐标分别为，则线段AB的长度为：．举例如下：A、B两点的坐标是，，则A，~B两点之间的距离．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若，且，求的值；
（2）已知，点为，点为，点为，求的面积；
（3）求代数式的最小值．
【答案】（1）解：由题意知，，
或-2
（2）解：由题意知，，
∴ΔABC是直角三角形，
（3）解：如图，设，
则即为线段，当C，O，D三点共线时，最小，过作，交DB的延长线于，
四边形ABEC是矩形，
在Rt中，由勾股定理得，
的最小值为13．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据两点间距离解方程即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB，BC，AC，再根据勾股定理逆定理可得ΔABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则即为线段，当C，O，D三点共线时，最小，过作，交DB的延长线于，根据矩形性质可得，则，再根据勾股定理可得CD=13，即可求出答案.
12．（2021·高港模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG.
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2.
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值.
【答案】（1）证明：过点G作GM∥AD交AB于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠B=90゜，AB∥CD，AD=AB
∴∠EMG=∠BAD=∠B=90゜
∵AB∥CD，GM∥AD
∴四边形AMGD是平行四边形
∵∠BAD=90゜
∴四边形AMGD是矩形
∴MG=AD
∴MG=AB
∵AF⊥EG
∴∠AEH+∠EAH=90゜
∵∠EAH+∠AFB=90゜
∴∠AEH=∠AFB
在△GME和△ABF中
∴△GME≌△ABF(AAS)
∴AF=EG
（2）解：①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，如图
由（1）知，△GME≌△ABF
∴EM=BF=2
∵AB=6，BE=3
∴AE=AB－BE=3
∴AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
②过点F作FP∥EG，FP=EG，连接AP，如图
则四边形EFPG是平行四边形
∴GP=EF
∵AG+GP≥GP
∴当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小，最小值为线段AP的长
∵AF⊥EG，FP∥EG
∴FP⊥AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得
∵AF=EG，EG=FP
∴FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
所以AG+EF的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点G作GM∥AD交AB于点M，根据正方形的性质可得∠BAD=∠B=90°，AB∥CD，AD=AB，推出四边形AMGD是矩形，得到MG=AD，根据同角的余角相等可得∠AEH=∠AFB，证明△GME≌△ABF，据此可得结论；
（2）①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，根据全等三角形的性质可得EM=BF=2，易得AE=AB-BE=3，AM=AE-EM=1，然后利用勾股定理就可求出AG；
②过点F作FP∥EG，FP=EG， 则四边形EFPG是平行四边形，得到GP=EF，根据两点之间，线段最短的性质可得：当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小，最小值为线段AP的长，利用勾股定理求出AF、AP，据此计算.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1）
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））已知一个二次函数图象经过，四点，若，则的最值情况是（　　）
A．最小，最大 B．最小，最大
C．最小，最大 D．无法确定
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，，点是内的定点且，若点，分别是射线OA，~OB上异于点的动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
3．（2018·十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为　 　．
4．（2022九上·孝南期末）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为　 　．
5．（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　 　.
6．（2020八上·赣榆期中）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　 　
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，四边形ABCD中，，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点不与点重合），点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））如图，抛物线与轴交于点和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线的对称轴上一点，使得AE+CE最短，求点E的坐标；
（3）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC．当SΔPBC最大时，求点P的坐标．
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））已知一个直角三角形纸片ACB，其中，点E，~F分别是AC，~AB边上的一动点，连接EF，将纸片的一角AEF沿EF折叠．
（1）若折叠后点落在AB边上的点处（如图1），且，求AE的长；
（2）若，折叠后点的对应点为点（如图2），连结BM．
①若点恰好在BC边上（如图3），求EF的长．
②求BM的最小值．
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））在ΔABC中，AB= 6，BC= 5，AC= 4，点D、点E分别在AB边和BC边上，且AD=1，BE=1，请在AC边上确定一点M，使得ΔDEM的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题23几何图形最值求法（易1））设两个点A、B的坐标分别为，则线段AB的长度为：．举例如下：A、B两点的坐标是，，则A，~B两点之间的距离．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若，且，求的值；
（2）已知，点为，点为，点为，求的面积；
（3）求代数式的最小值．
12．（2021·高港模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG.
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2.
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线的开口向上，且对称轴与轴的交点在与之间，
点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
最小，最大．
故答案为：B
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则，
此时周长最小，
作于，则，
故答案为：D
【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，则，再根据边之间的关系可得，作于，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，则，即可求出答案.
3．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，
∴BC= =9，
S△ABC= AB AC= BC AF，
∴3× =9AF，
AF=2 ，
∴AA'=2AF=4 ，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴A'E= ，
即AD+DE的最小值是 ；
故答案为： ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中根据勾股定理首先算出BC的长，利用三角形的面积法算出AF的长，进而得出 AA'的长，然后判断出△AEA'∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出A'E的长，即AD+DE的最小值。
4．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接．
∵是⊙的切线，
∴；
∴，
∴当时，线段OP最短，
∴PQ的长最短，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线性质可得，当时，线段OP最短，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得OP，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点 ， 连接AA 、AD，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°， AB=2，
∴
∴Rt△CDE中， 即2DE=CD，
∵A与A'关于BC对称，
，
，
∴当 、D、E在同一直线上时，AD+ DE的最小值等于 的长，
此时， 中，
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】作点A关于BC的对称点A ， 连接AA 、AD，AA 交BC于点H，过D作DE⊥AC于E，由轴对称的性质可得∠AHB=90°，AD=A D，于是可得AD+DE=A D+ DE，当A 、D、E在同一直线上时，AD+ DE的值最小且等于A E的长，根据AD+ DE的最小值为3即可求得2AD+CD的最小值为6.
6．【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：如图，连接DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在RtΔABD中，
的最大值
故答案为：．
【分析】连接DN，根据边之间的关系可得，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】（1）解：抛物线过点和点，
，解得：，
抛物线解析式为：
（2）解：抛物线的对称轴为，
当时，，即，
由对称性可知，，
则，
由两点之间线段最短可知，点即为所求，
设直线BC的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线BC的解析式为，
当时，，
最短时，点的坐标为；
（3）解：如图：连接OP，
设点的坐标，
点，
，最大为4
故当最大时，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）求出抛物线对称轴x=3，再根据y轴上点的坐标特征可得，由对称性可知，，则，由两点之间线段最短可知，点即为所求，设直线BC的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为，再将x=3代入直线解析式即可求出答案.
（3）连接OP，设点的坐标，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
9．【答案】（1）解：如图1中，
ΔACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴ EF⊥AB，AEF Δ Δ DEF，
在Rt中，，
，即
（2）解：①如图3中，连接AM交EF于点O．
四边形AEMF是菱形，
设，则，
②由①可知，四边形AEMF是菱形，
∴∠ CAM= ∠ BAM，
∴点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，
当时，BM的值最小，此时
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得EF⊥AB，AEF Δ Δ DEF，则，即，根据勾股定理可得AB=5，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）①连接AM交EF于点O，根据菱形判定定理可得四边形AEMF是菱形，则，即，设，则，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得AM，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
②根据菱形性质可得∠ CAM= ∠ BAM，则点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，当时，BM的值最小，结合正弦定义即可求出答案.
10．【答案】解：如图，M点即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据题意作图即可求出答案.
11．【答案】（1）解：由题意知，，
或-2
（2）解：由题意知，，
∴ΔABC是直角三角形，
（3）解：如图，设，
则即为线段，当C，O，D三点共线时，最小，过作，交DB的延长线于，
四边形ABEC是矩形，
在Rt中，由勾股定理得，
的最小值为13．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据两点间距离解方程即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB，BC，AC，再根据勾股定理逆定理可得ΔABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则即为线段，当C，O，D三点共线时，最小，过作，交DB的延长线于，根据矩形性质可得，则，再根据勾股定理可得CD=13，即可求出答案.
12．【答案】（1）证明：过点G作GM∥AD交AB于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠B=90゜，AB∥CD，AD=AB
∴∠EMG=∠BAD=∠B=90゜
∵AB∥CD，GM∥AD
∴四边形AMGD是平行四边形
∵∠BAD=90゜
∴四边形AMGD是矩形
∴MG=AD
∴MG=AB
∵AF⊥EG
∴∠AEH+∠EAH=90゜
∵∠EAH+∠AFB=90゜
∴∠AEH=∠AFB
在△GME和△ABF中
∴△GME≌△ABF(AAS)
∴AF=EG
（2）解：①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，如图
由（1）知，△GME≌△ABF
∴EM=BF=2
∵AB=6，BE=3
∴AE=AB－BE=3
∴AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
②过点F作FP∥EG，FP=EG，连接AP，如图
则四边形EFPG是平行四边形
∴GP=EF
∵AG+GP≥GP
∴当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小，最小值为线段AP的长
∵AF⊥EG，FP∥EG
∴FP⊥AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得
∵AF=EG，EG=FP
∴FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
所以AG+EF的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点G作GM∥AD交AB于点M，根据正方形的性质可得∠BAD=∠B=90°，AB∥CD，AD=AB，推出四边形AMGD是矩形，得到MG=AD，根据同角的余角相等可得∠AEH=∠AFB，证明△GME≌△ABF，据此可得结论；
（2）①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，根据全等三角形的性质可得EM=BF=2，易得AE=AB-BE=3，AM=AE-EM=1，然后利用勾股定理就可求出AG；
②过点F作FP∥EG，FP=EG， 则四边形EFPG是平行四边形，得到GP=EF，根据两点之间，线段最短的性质可得：当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小，最小值为线段AP的长，利用勾股定理求出AF、AP，据此计算.
1 / 1

展开更多......

收起↑