资源简介

【深圳市中考数学备考指南】专题22图形变换（易1）
1．如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
2．如图，四边形AOCB是矩形，点F是OA上的一点，将ΔBAF沿BF翻折，点A的对应点A'的坐标是（2，2），tan∠ABF=，作A'D//OC交BC于D，过点D的反比例函数交AB于，则的面积是　 　.
3．（2022九下·玉林模拟）如图，把矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于　 　．
4．定义：平面上一点到图形最短距离为d，如图，OP＝2，正方形
ABCD边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，则d的取值范围为　 　．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF的长为　 　
6．线段CD是由线段AB平移得到的，点A（4，7）的对应点为C（﹣1，4），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣9，﹣4） B．（﹣1，﹣2）
C．（2，9） D．（5，3）
7．如图，在矩形ABCD中，AD= 3，M是CD上的一点，将ΔADM沿直线AM对折得到ΔANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为(　　)
A．3 B． C． D．6
8．（2021九上·晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（　　）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
9．下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA'＝1，则A'D等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
11．已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图1所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图2所示，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
12．【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　 　；
（2）【思考说理】
如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C合，折痕为MN，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C
的直线折叠，使点B落在边AC上的点B处，折痕为CM.
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△APM，点A的对应点为点A'，AM与CP交于点F，求的取值范围.
13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将ΔABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将ΔCMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是(　　)
①Δ CMP ∽Δ BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当时，．
A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤
14．（2020八上·朝阳期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若 ， ，则EC的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°.
∴∠ADP+∠APD=90°.
∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中，
∵
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1.
（2）解：若△PFD∽△BFP，则
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴
∴当时，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据补角可得∠APD+∠QPE=90°，再根据正方形性质可得∠A=90°，再根据角之间的关系可得∠A=∠Q=90°，由全等三角形判定定理可得△ADP≌△QPE（AAS），则PQ=AD=1，即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAP∽△PBF，则，即，根据边之间的关系可得，即可求出答案.
2．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DA'交y轴于M，设AF=a，
，
∴AB=2a，
由翻折可得：AF=A'F=a，A'F：A'B=1：2
易证ΔFMA’∽ΔA'DB
∴BD=2A'M=4，
∴FM=4-a
∵∠FMD=90°
解得
故答案为：
【分析】延长DA'交y轴于M，设AF=a，根据正切定义可得AB=2a，由翻折可得：AF=A'F=a，A'F：A'B=1：2，由相似三角形判定定理可得ΔFMA’∽ΔA'DB，则，可得BD=2A'M=4，FM=4-a，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，即，代入反比例函数解析式可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
3．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据补角可得∠DED'，再根据折叠性质可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
4．【答案】
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图①，设AD的中点为E
∴点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，OE=1，OA最大，
∵OP=2为定值
∴当OP经过点E时，d取最大值，最大值为1
如图②，当OP经过点A时，d取最小值，最小值为
∴d的取值范围为
故答案为：
【分析】设AD的中点为E，由题意可得点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，OE=1，OA最大，，当OP经过点E时，d取最大值，最大值为1，当OP经过点A时，d取最小值，最小值为，即可求出答案.
5．【答案】6
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题得，DE=EF=DC-CE=AB-CE=8-3=5
在RtΔEFC中由勾股定理得CF=4，
设BF=x，则AD=x+4，
在RtΔABF中，由勾股定理有
，即
解得x=6，即BF=6
故答案为：6
【分析】根据边之间的关系可得DE=5，再根据勾股定理可得CF=4，设BF=x，则AD=x+4，再根据刚刚打开建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A（4，7）的对应点为C（﹣1，4），
∴平移规律为向左平移4﹣（﹣1）＝5个单位，
向下平移7﹣4＝3个单位，
∵点B（﹣4，﹣1）的对应点D，
∴点D的横坐标为﹣4﹣5＝﹣9，
纵坐标为﹣1﹣3＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣9，﹣4）．
故答案为：A
【分析】根据点的平移规律即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：B
【分析】解含30°角的直角三角形即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据相似图形的概念即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；图形的平移；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设A'B'交BC于E，A'C'交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A'EF＝9，且AD为BC边的中线，
，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'E∥AB，
∴△DA'E∽△DAB，
则，即，
解得或（舍）
故答案为：B
【分析】设A'B'交BC于E，A'C'交BC于F，根据三角形面积可得，再根据平移性质可得A'E∥AB，由相似三角形判定定理可得△DA'E∽△DAB，则，代值计算即可求出答案.
11．【答案】（1）解：连接AQ，CQ
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，
∴QA＝QF，
∴QC＝QF，
∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ＝180°，
∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，
∴∠AQF+∠ABF＝180°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．
（2）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，
∴∠BAF＝∠GET，
∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF＝GT＝x，
∵AD∥CB，DG∥BE
∵GT＝CG﹣CT，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）连接AQ，CQ，根据正方形性质可得BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，再根据全等三角形判定定理可得△ABQ≌△CBQ（SAS），则QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，再根据线段垂直平分线性质可得QA＝QF，由等边对等角可得∠QFC＝∠QCF，则∠QFC＝∠BAQ，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形，根据正方形性质可得四边形ABCD是正方形，则AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，再根据角之间的关系可得∠BAF＝∠GET，由全等三角形判定定理可得△ABF≌△ETG（ASA），则BF＝GT＝x，再根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，化简即可求出答案.
12．【答案】（1）AM=BM
（2）解：∵∠B=∠A=∠BCM，
∴△BCM∽△BAC，
∴BC：BA=BM：BC，
∴BM=3.6，AM=6.4，
∴AM：BM=16：9
（3）解：①由题意可知∠BCM=∠BAC，又∠B=∠B，
所以△BCM∽△BAC，
所以BC：BA=BM：BC=CM：AC，且MA=MC，
解得MB=4，MA=MC=5，AC=7.5.
②∠A’=∠A=∠ACM，
易得△A’PF∽△CMF，
所以PF：MF=A’P：CM，CM=5，
当P与B’重合时，CP=CB=6，
所以A’P=AP=7.5-6=1.5，此时PF：MF=A’P：CM=1.5：5=0.3；
当P与O重合时，PF：MF=7.5∶10=0.75，
所以0.3≤PF：MF≤0.75.
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=90°
∴∠A+∠B=90°
∵将△ABC折叠，使点B与点C重合
∴∠B=∠BCM
∴∠A+∠BCM=90°
∴∠A=∠ACM
∴AM=BM
【分析】（1）由题意可得∠ACB=∠ACM+∠BCM=90°，再根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据折叠性质可得∠B=∠BCM，则∠A+∠BCM=90°，即∠A=∠ACM，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAC，则BC：BA=BM：BC，代值计算可得BM=3.6，AM=6.4，即可求出答案.
（3）①根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAC，则BC：BA=BM：BC=CM：AC，且MA=MC，代值计算即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得△A’PF∽△CMF，则PF：MF=A’P：CM，CM=5，分情况讨论：当P与B’重合时，CP=CB=6，则A'P=1.5，代入计算即可求出答案；当P与O重合时，PF：MF=7.5∶10=0.75，即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
四边形ABCD是正方形，
．故①正确，
设，则，
时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当时，设，
在中，解得，
，故③错误，
作于，
最小时AM最小，
时，AG最小值，
的最小值，故④错误．
时，
时，
，在AB上取一点使得，设，
，故⑤正确．
故答案为：B
【分析】①正确，只要证明即可解决问题．
②正确，设，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
③错误，设，在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
④错误，作于，因为，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点使得，设，列出方程即可解决问题．
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∴∠B=∠BCD=90°，
由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．
在Rt△ABF中， ，
∴CF=BC-BF=10-8=2，
在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，
∴（6-x）2=x2+22，
∴x= ，
∴EC= ．
故答案为：B．
【分析】根据折叠可知AF=AD=10，利用勾股定理求出BF=8，设EC=x，则DE=EF=6-x，在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，代入计算即可。
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题22图形变换（易1）
1．如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°.
∴∠ADP+∠APD=90°.
∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中，
∵
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1.
（2）解：若△PFD∽△BFP，则
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴
∴当时，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据补角可得∠APD+∠QPE=90°，再根据正方形性质可得∠A=90°，再根据角之间的关系可得∠A=∠Q=90°，由全等三角形判定定理可得△ADP≌△QPE（AAS），则PQ=AD=1，即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAP∽△PBF，则，即，根据边之间的关系可得，即可求出答案.
2．如图，四边形AOCB是矩形，点F是OA上的一点，将ΔBAF沿BF翻折，点A的对应点A'的坐标是（2，2），tan∠ABF=，作A'D//OC交BC于D，过点D的反比例函数交AB于，则的面积是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DA'交y轴于M，设AF=a，
，
∴AB=2a，
由翻折可得：AF=A'F=a，A'F：A'B=1：2
易证ΔFMA’∽ΔA'DB
∴BD=2A'M=4，
∴FM=4-a
∵∠FMD=90°
解得
故答案为：
【分析】延长DA'交y轴于M，设AF=a，根据正切定义可得AB=2a，由翻折可得：AF=A'F=a，A'F：A'B=1：2，由相似三角形判定定理可得ΔFMA’∽ΔA'DB，则，可得BD=2A'M=4，FM=4-a，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，即，代入反比例函数解析式可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
3．（2022九下·玉林模拟）如图，把矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据补角可得∠DED'，再根据折叠性质可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
4．定义：平面上一点到图形最短距离为d，如图，OP＝2，正方形
ABCD边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，则d的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图①，设AD的中点为E
∴点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，OE=1，OA最大，
∵OP=2为定值
∴当OP经过点E时，d取最大值，最大值为1
如图②，当OP经过点A时，d取最小值，最小值为
∴d的取值范围为
故答案为：
【分析】设AD的中点为E，由题意可得点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，OE=1，OA最大，，当OP经过点E时，d取最大值，最大值为1，当OP经过点A时，d取最小值，最小值为，即可求出答案.
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF的长为　 　
【答案】6
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题得，DE=EF=DC-CE=AB-CE=8-3=5
在RtΔEFC中由勾股定理得CF=4，
设BF=x，则AD=x+4，
在RtΔABF中，由勾股定理有
，即
解得x=6，即BF=6
故答案为：6
【分析】根据边之间的关系可得DE=5，再根据勾股定理可得CF=4，设BF=x，则AD=x+4，再根据刚刚打开建立方程，解方程即可求出答案.
6．线段CD是由线段AB平移得到的，点A（4，7）的对应点为C（﹣1，4），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣9，﹣4） B．（﹣1，﹣2）
C．（2，9） D．（5，3）
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A（4，7）的对应点为C（﹣1，4），
∴平移规律为向左平移4﹣（﹣1）＝5个单位，
向下平移7﹣4＝3个单位，
∵点B（﹣4，﹣1）的对应点D，
∴点D的横坐标为﹣4﹣5＝﹣9，
纵坐标为﹣1﹣3＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣9，﹣4）．
故答案为：A
【分析】根据点的平移规律即可求出答案.
7．如图，在矩形ABCD中，AD= 3，M是CD上的一点，将ΔADM沿直线AM对折得到ΔANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为(　　)
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：B
【分析】解含30°角的直角三角形即可求出答案.
8．（2021九上·晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（　　）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据相似图形的概念即可得出答案。
9．下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA'＝1，则A'D等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；图形的平移；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设A'B'交BC于E，A'C'交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A'EF＝9，且AD为BC边的中线，
，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'E∥AB，
∴△DA'E∽△DAB，
则，即，
解得或（舍）
故答案为：B
【分析】设A'B'交BC于E，A'C'交BC于F，根据三角形面积可得，再根据平移性质可得A'E∥AB，由相似三角形判定定理可得△DA'E∽△DAB，则，代值计算即可求出答案.
11．已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图1所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图2所示，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
【答案】（1）解：连接AQ，CQ
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，
∴QA＝QF，
∴QC＝QF，
∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ＝180°，
∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，
∴∠AQF+∠ABF＝180°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．
（2）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，
∴∠BAF＝∠GET，
∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF＝GT＝x，
∵AD∥CB，DG∥BE
∵GT＝CG﹣CT，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）连接AQ，CQ，根据正方形性质可得BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，再根据全等三角形判定定理可得△ABQ≌△CBQ（SAS），则QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，再根据线段垂直平分线性质可得QA＝QF，由等边对等角可得∠QFC＝∠QCF，则∠QFC＝∠BAQ，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形，根据正方形性质可得四边形ABCD是正方形，则AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，再根据角之间的关系可得∠BAF＝∠GET，由全等三角形判定定理可得△ABF≌△ETG（ASA），则BF＝GT＝x，再根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，化简即可求出答案.
12．【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　 　；
（2）【思考说理】
如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C合，折痕为MN，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C
的直线折叠，使点B落在边AC上的点B处，折痕为CM.
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△APM，点A的对应点为点A'，AM与CP交于点F，求的取值范围.
【答案】（1）AM=BM
（2）解：∵∠B=∠A=∠BCM，
∴△BCM∽△BAC，
∴BC：BA=BM：BC，
∴BM=3.6，AM=6.4，
∴AM：BM=16：9
（3）解：①由题意可知∠BCM=∠BAC，又∠B=∠B，
所以△BCM∽△BAC，
所以BC：BA=BM：BC=CM：AC，且MA=MC，
解得MB=4，MA=MC=5，AC=7.5.
②∠A’=∠A=∠ACM，
易得△A’PF∽△CMF，
所以PF：MF=A’P：CM，CM=5，
当P与B’重合时，CP=CB=6，
所以A’P=AP=7.5-6=1.5，此时PF：MF=A’P：CM=1.5：5=0.3；
当P与O重合时，PF：MF=7.5∶10=0.75，
所以0.3≤PF：MF≤0.75.
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=90°
∴∠A+∠B=90°
∵将△ABC折叠，使点B与点C重合
∴∠B=∠BCM
∴∠A+∠BCM=90°
∴∠A=∠ACM
∴AM=BM
【分析】（1）由题意可得∠ACB=∠ACM+∠BCM=90°，再根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据折叠性质可得∠B=∠BCM，则∠A+∠BCM=90°，即∠A=∠ACM，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAC，则BC：BA=BM：BC，代值计算可得BM=3.6，AM=6.4，即可求出答案.
（3）①根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAC，则BC：BA=BM：BC=CM：AC，且MA=MC，代值计算即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得△A’PF∽△CMF，则PF：MF=A’P：CM，CM=5，分情况讨论：当P与B’重合时，CP=CB=6，则A'P=1.5，代入计算即可求出答案；当P与O重合时，PF：MF=7.5∶10=0.75，即可求出答案.
13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将ΔABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将ΔCMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是(　　)
①Δ CMP ∽Δ BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当时，．
A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
四边形ABCD是正方形，
．故①正确，
设，则，
时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当时，设，
在中，解得，
，故③错误，
作于，
最小时AM最小，
时，AG最小值，
的最小值，故④错误．
时，
时，
，在AB上取一点使得，设，
，故⑤正确．
故答案为：B
【分析】①正确，只要证明即可解决问题．
②正确，设，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
③错误，设，在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
④错误，作于，因为，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点使得，设，列出方程即可解决问题．
14．（2020八上·朝阳期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若 ， ，则EC的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∴∠B=∠BCD=90°，
由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．
在Rt△ABF中， ，
∴CF=BC-BF=10-8=2，
在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，
∴（6-x）2=x2+22，
∴x= ，
∴EC= ．
故答案为：B．
【分析】根据折叠可知AF=AD=10，利用勾股定理求出BF=8，设EC=x，则DE=EF=6-x，在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，代入计算即可。
1 / 1

展开更多......

收起↑