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(共28张PPT)
9.3 正态分布
第 单元 随机变量及其分布
九
正态分布
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
正态分布
情景引入
从某校高一年级的新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高(单位:cm)样本，见下表：
引例
情景引入
情景引入
我们很容易计算出他们的平均身高，显然，每一名学生的身高与平均身高之间的偏差值可以取遍包含数字0在内的某一区间内所有的值.
我们是否可以对这100名学生的身高数据进行加工整理，得到他们身高的频率分布表，频率分布直方图，频率分布折线图呢？
上述数据的分布有怎样的特点？
为了研究这些学生身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图.
新知探究
第一步，先对以上所有的学生身高数据进行分组.
通过观察，发现以上数据均位于151~180之间，为了使所有数据均包含在各组中，我们取150.5~180.5的范围以组距d=3平均分成10个区间，分别为150.5~153.5、153.5~156.5，156.5~159.5、159.5~162.5、162.5~165.5、165.5~168.5、168.5~171.5、171.5~174.5、174.5~177.5、177.5~180.5.
新知探究
第二步，列出频数（或频率）分布表.
新知探究
第三步，作频率分布直方图.根据频率分布表，作平面直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示频率/组距，如图
新知探究
在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边的中点，并将其顺次连接起来，就得到频率分布折线图（简称频率折线图）
新知探究
如果样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线，我们称这条光滑的曲线为总体的密度曲线，如图所示.
新知探究
正态分布曲线在现实生活中有着广泛的应用.在自然界和社会生产实践中，大量的随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如，各种长度测量的误差，某地区同龄人的身高或体重，一定条件下生长的水稻的株高和穗长，正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的长度、马达和灯泡的寿命)，等等，一般都服从正态分布.
有很多总体分布的概率密度曲线呈“中间高，两边底”的单峰形状，我们称这种形状的曲线为正态分布曲线.
新知探究
随机变量ξ服从正态分布，记作ξ~N(μ,σ)，这条曲线的函数表达式为
其中μ,σ为参数，分别表示总体的均值与标准差，这条曲线叫作正态曲线.
新知探究
下图给出了当μ=0，σ分别为0.5，1, 2时的三种正态曲线.其中，当μ=0, σ=1时，称为标准正态分布，它的图像称为标准正态曲线，其函数表达式为
新知探究
新知探究
正态曲线具有如下性质:
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的，且关于直线x=μ对称.
(4) x<μ时，曲线上升；x>μ时，曲线下降.当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线.
(3)曲线在x=μ时处于最高点，并达到峰值 .
新知探究
(5)当σ一定时，曲线的对称位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移;当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”.
(6)正态曲线与x轴之间的面积恒等于1.
新知探究
由于标准正态分布N(0, 1)在正态分布中占有重要的地位，因此，专门制作“标准正态分布表”.在这个表中，相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，即
Φ(x0)= P(ξ其中，P(ξ如果x0<0，则根据标准正态曲线关于y轴对称，有
Φ(x0)= 1-Φ(-x0).
典型例题
例1
设ξ~N(0,1)，求：
(1) P(ξ<2.8);
(2) P(0.5<ξ<2.5).
解：(1) P(ξ<2.8)=Φ(2.8),
查标准正态分布表，得
Φ(2.8)=0.9974，
∴ P(ξ<2.8)=0.9974.
(2) P(0.5<ξ<2.5)=Φ(2.5)-Φ(0.5),
查标准正态分布表，得
Φ(2.5)=0.9938，Φ(0.5)=0.6915,
∴ P(0.5<ξ<2.5)=0.9938-0.6915=0.3023.
典型例题
典型例题
例2
设ξ~N(0,1)，求：
(1) P(ξ<-1);
(2) P(ξ>2).
解：(1)P(ξ<-1)=Φ(-1)=1-Φ(1),
查标准正态分布表，得
Φ(1)=0.8413，
∴ P(ξ<-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587.
(2) P(ξ>2)=1-P(ξ<2)=1-Φ(2),
查标准正态分布表，得
Φ(2)=0.9772,
∴ P(ξ>2)=1-0.9772=0.0228.
典型例题
对于非标准正态分布的随机变量，即ξ~N(μ,σ)，没有可利用的正态分布表，我们只能通过换元 ，将它化成标准正态分布η~N(0,1)后，再进行计算.于是，有
新知探究
典型例题
例3
设ξ~N(200,102)，求：
(1) P(ξ≤180);
(2) P(180<ξ≤210).
解：(1)∵μ=200,σ=10,
(2) ∵μ=200,σ=10,
典型例题
典型例题
例4
已知某种电缆的直径服从N(0.8, 0.0004) (单位: cm)，求电缆的直径超过0.81cm的概率.
解:设电缆的直径为ξ，则ξ~N(0.8, 0.0004)，μ=0.8,σ=0.02.即
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节10.1
书写
教材P327练习
思考
正态分布的应用
作
业
Thanks

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