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(共19张PPT)
8.5.1 二项式定理的概念
第 单元 排列组合
八
二项式定理的概念
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
二项式定理的概念
情景引入
其中提及：
公元1世纪
《九章算术》
二项式定理所研究的内容
新知探究
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
有哪些项？系数会是多少？
(a＋b) ＝a＋b
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)n＝
新知探究
通过观察，我们可以发现:
(1)从展开式的项数看，每个展开式的项数都比(a +b)n中的指数n多1.
(2)从a与b在各项中的次数来看，a在第一项中的次数最高，恰好等于(a +b)n中的指数n，从第二项开始，a在每一项中的次数都比前一项少1，直到最后一项，a的次数为0; b的次数正好相反，它在第一项中的次数为0，从第二项开始，b在每一项中的次数都比前一项多1，直到最后一项，b的次数恰好等于(a +b)n中的指数n.也就是说，展开式中各项的次数和都等于(a +b)n中的指数n.
(3) 从展开式各项的系数看，我们不难发现它的对称性，即与两端“距离相等”的二项式系数相等.
新知探究
新知探究
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
展开式应有下面形式的各项：
a4， a3b， a2b2， ab3， b4
发现展开式各项系数的规律如下:
①在4个括号中，都不取b,共有1种，即C40，所以a4的系数是C40;
②在4个括号中，恰有1个取b，共有C41种，所以a3b的系数是C41;
新知探究
④在4个括号中，恰有3个取b，共有C43种，所以ab3的系数是C43;
⑤在4个括号中，4个都取b，共有C44种，所以b4的系数是C44.
因此，有
③在4个括号中，恰有2个取b，共有C42种，所以a2b2的系数是C42;
新知探究
二项式定理：
④二项展开式的通项:
③二项式系数:
①项数：
②次数：
共有n＋1项
字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
新知探究
想一想
1. 在二项式定理中，设a=1，b=x，会得到什么结果？
2. 将(a -b)n展开，它与(a +b)n的二项展开式有什么不同？
遇到n是比较小的正整数时，二项式系数可直接利用下表计算:
新知探究
上述数表是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为杨辉三角.
新知探究
（1）每行两端的数都是1；
（2）每行与两端“等距离”的两数相等；
（3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等.
典型例题
例1
写出 的展开式.
典型例题
例2
写出 的展开式.
典型例题
例3
求 展开式中的第6项及第6项的二项式系数.
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节8.5
书写
教材P297练习
思考
二项式系数的性质
作
业
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