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初四数学测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列四个选项中，最小的数是（　　）
A．﹣3 B．|﹣2| C．0 D．﹣2
2．下列大学标志（不考虑其中的字母、数字和汉字）是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示的移动台阶，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．5a﹣3a＝2
5．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab+a﹣b，如1*3＝1×3+1﹣3＝1，则（﹣2*5）*6等于（　　）
A．120 B．125 C．﹣120 D．﹣125
6．某校八年级在建党100周年合唱比赛中，9位评委分别给出八年级一班的原始评分，评定该班成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
7．五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的m为10%
C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D．样本中选择公共交通出行的有2400人
8．如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
9．下列给出5个命题：
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②六边形的内角和等于720°
③相等的圆心角所对的弧相等
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．
其中正确命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）顶点坐标是（1，t），与y轴交点的纵坐标在﹣1和﹣2之间（不含端点）．在以下结论中：
①a﹣b+c＝0； ②2a﹣b＝0；
③4a+2b+c＜0； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t+1＝0有两个不相等的实数根；
⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共10小题）
13．DeepSeek全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，截至2025年3月，DeepSeek的月访问量和APP下载总量已经达到10.19亿次．其中10.19亿用科学记数法表示为　 　 ．
14．将弧长为2πcm、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　 　 ．
15．分解因式：3a3﹣12a＝　 　 ．
16．在函数中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
17．已知m+n＝﹣3，则分式÷（﹣2n）的值是　 　 ．
18．如果关于x的不等式组＝恰有2个整数解，则a的取值范围 　 　 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B（4，6），AB＝10，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为 　 　 ．
20．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　 　 cm．
（ 21题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边AD上一点（点M不与点A，D重合），连接CM，将△CDM沿CM翻折得到△CNM，连接AN，DN．当△AND为等腰三角形时，DM的长为 　 　 ．
22．我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＝　 　 ．
三．解答题（共6小题）
23.(7分)已知：在Rt△ABC 中，∠C=90° .
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D, 过点D 作AB的垂线交AB于点E; (保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
(2)若△ADE的周长为10,BC=4, 求△ABC的周长.
A
B C
24．（8分）广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长（图中线段EF的长），已知直线EF垂直于地面，垂足为点C，在地面A处测得点E的仰角为31°，在B处测得点E的仰角为61°、点F的仰角为45°，AB＝48米，且A、B、C三点在一条直线上，请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60，sin61°＝0.87，cos61°＝0.48，tan61°＝1.80）
25．（9分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
26．（9分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．
27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
28．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
初四数学试卷答案
一．选择题（36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A． B D B D A D C A D B B
二、填空（30分）
13 、 1.019×109 14、2cm 15．　3a（a+2）（a﹣2）　 ．16．　x＞﹣3且x≠2　 ．
17． 18．8≤a＜9． 19．﹣． 20． 10 21． 或． 22． ．
三．解答题（共54分）
23． 【 参考答案 】
解：(1)如图，BD,DE即为所求.其中BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB.………(4分)
(2)∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,∠C=90°,
..DE=DC. … … …… … …
.BD=BD
(
(
第
23
题图
)
) ∴Rt△BDE≌Rt△BDC(HL).
∴BE=BC=4. … … ( 1 分 ) ∵△ADE的周长为10,
∴AE+ED+AD=10
∴AE+AD+DC=10.
∴AE+BE+AD+DC+BC=4+10+4=18 . … (1分)
24． 【解答】解：在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，
∴BC＝FC，
在Rt△CBE中，设BC＝FC＝x，
∵∠CBE＝61°，
∴CE＝BCtan∠CBE＝1.8x，
在Rt△CAE中，，
∵∠CAE＝31°，AB＝48，
∴，
∴x＝24，
∴EF＝CE﹣FC＝0.8x＝19.2（米），
答：旗杆EF的长为19.2米．
25．解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，
∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000x）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，
∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750，
∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100，
解得x1＝1700，x2＝1300；
②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售，
设此时函数解析式为y＝kx，
由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝21875，
∴B（1750，21875），
把B的坐标代入解析式得：21875＝1750k，
解得k＝12.5，
∴当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y＝12.5x，
当y＝22100时，则22100＝12.5x，
解得x＝1768
综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
26． 【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
27． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴＝，
∴AC PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC PC＝BC2，
∵BC2＝3FP DC，
∴AC PC＝3FP DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴＝，
∴AC PC＝BP DC，
∴BP DC＝3FP DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵＝＝，
∴＝＝＝．
28． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），
∴
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+4，则0＝4k+4，
解得k＝﹣1．
直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），
GH＝EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），
∴GF＝EH＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．
解得x＝5（舍去）或x＝3．
∴EH＝4，
（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4．
∴A（﹣2，0）．
设直线AC的解析式为y＝px+q，将A（﹣2，0），C（0，4）代入，
解得p＝2，q＝4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵四边形OENM是正方形，
∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．
∴△OMP≌Δ EOQ（AAS）．
∴PM＝OQ，PO＝EQ．
设E（m，﹣m2+m+4），
当点E在y轴左侧，x轴下方时，
则PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQ＝m2﹣m﹣4．
∴M（﹣m2+m+4，﹣m），
∵点M在直线AC上，
∴﹣m＝2（﹣+m+4）+4．
解得m＝或m＝（舍去），
当m＝时，M（，），E（，），
点O向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点N，
当点E在y轴左侧，x轴上方时，如图，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，
则PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQ＝﹣m2+m+4．
∴M（m2﹣m﹣4，m），∵点M在直线AC上，
∴m＝2（m2﹣m﹣4）+4，
解得：m1＝4（舍去），m2＝﹣1，
∴E（﹣1，），M（﹣，﹣1），
同理可得：N（﹣，）；
当点E在y轴右侧，x轴下方时，作EG⊥x轴，MH⊥x轴，如图：
设M（m，2m+4），则点E（﹣2m﹣4，m），则点N（﹣m﹣4，3m+4），
∴﹣（﹣2m﹣4）2﹣2m﹣4+4＝m，
解得m＝＝或（舍去），
∴点N的坐标为（，）；
当点E在y轴右侧，x轴上方时，作EG⊥x轴，MH⊥x轴，如图：
则OG＝MH＝m，EG＝OH＝﹣m2+m+4，
∴M（m2﹣m﹣4，m），
∵点M在直线AC上，∴m＝2（m2﹣m﹣4）+4，
解得：m1＝4，m2＝﹣1（舍去），
∴E（4，0），M（0，4），
∴点N的坐标为（4，4）；
综上，点N的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（4，4）．

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