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襄阳五中2025届高三下学期适应考试五数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 已知cos=，则sin=（ ）
A. B. C. D.
4. 若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是( )
A. B. C. D.
5.已知实数x，y满足x>3，且，则x+y的最小值为（　 ）
A. 1+2 B. 8 C. 6 D. 1+2
6. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为等边三角形，则平面 与三棱锥 的外接球球面的交线长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式的各项系数之和为4096 B. 展开式中含项的系数为45
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第6项的系数最大
10. 一个袋中有大小、形状完全相同的个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则( )
A. B.为互斥事件 C. D.相互独立
11. 已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 1与2025的等比中项为___________.
13. 已知函数的图象关于点对称，则______．
14. 如图，斜率为的直线与椭圆：交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 （单位：千米）的图象，且图象的最高点为 （单位：千米）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定 .
(1)求A， 的值和线段MP的长；
(2)求MNP面积最大值.
16. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点， 平面AEC．
(1)求证：点E是棱PD的中点；
(2)若 平面ABCD， ，PC与平面ABCD所成角的正切值为 ，求二面角 的正切值．
17. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，且其焦距为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且在由点 与 构成的三角形中， ，求实数 的取值范围.
18. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，最后落入 袋或 袋中.一次游戏中小球落入 袋记1分，落入 袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得 分的概率为 .
(1) 求 ， ， .
(2) 求出 的通项公式.
19. 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求实数 的值.
(2)当 时，证明：当 时， .
(3)当 时，若存在 ，使得 成立，证明： .方法二： PA 平面 ABCD，AC，AD，CD 平面 ABCD，
襄阳五中 2025届高三下学期 5月适应性考试（五）数学答案 PA AB,PA AC,PA AD,PA CD，则 PCA就是 PC与平面 ABCD所成的角，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 又 四边形 ABCD为矩形， AB AD，
A C A D A B C B BCD AC BCD 分别以 AB，AD，AP为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz，
12. 45 13.6 14. 2 3
15．（1）解：依图象可知 A 2 3，………………………………………………………………….2分 设 AB t, n1 (x, y,1)是平面 AEC的一个法向量，二面角D AE C的大小为 ，
T 2 tan PCA PA 2 1 3，所以T 12， ，……………………………………………………………….4分 由 AC 2 3，可得 t 2 6 ，………………………………………………7分4 T 6 12 t
y 2 3 sin x 2

， 当 x 4时， y 2 3 sin 3， 则 AC (2 6,2 3,0), AE (0, 3,1)，
6 3 n AC x , y ,1 2 6,2 3,0
(4,3) 1 2 6x 2 3y 0,点M 的坐标为 ， MP 4 8 2 32 5 千米…………………………6分(没有单位扣 1分) 故
（2）在△MNP中MP 2 MN 2 NP 2 2MN NP cos MNP， n1 AE x , y ,1 0, 3,1 3y 1 0,
25 MN 2 NP 2 MN NP 3MN NP， 6 3 n
6 3
25 解得 x , y ，所以 1 , ,1MN NP ，………………………………………………9分 ，………………………………………………………………………………….8分 6 3
3 6 3
n

5 3 又 2 (1,0,0)是平面 AED的一个法向量，且 为锐角，………………………………………10分
当且仅当MN NP 取等号，……………………………………………………………….10分
3 6 , 3

,1 (1,0,0)
S 1 3 25 3 n1 n2
6 3 1
MNP MN NP sin MNP MN NP ， 故 cos ，…………………………………………………12分2 4 12 n1 n2 1 1 3
△MNP 25 3
1
的面积最大值为 平方千米.………………………………13分（没有单位扣 1分） 6 3
12 sin
则 sin 2 2 1 cos2 ，即 tan 2 2，
16. : 1 BD BD AC F EF 3
cos
解 （ ）连接 ， 与 交于，点 ，连接 ，
ABCD F BD 所以二面角D AE C的平面角的正切值为 ．……………………………………………15分四边形 为矩形， 为 的中点， 2 2
PB∥平面 AEC，平面 PBD经过 PB且与平面 AEC交于 EF，
PB∥EF，……………………4分 17．解:（1） 2渐近线方程为 y x, a2 2b2 .
又点 F是 BD的中点， 点 E是棱 PD的中点.……………………………………………………5分 2
（2）方法一： PA 平面 ABCD，AC，AD，CD 平面 ABCD， PA AC,PA AD,PA CD， 又 a
2 b2 c2 3, a 2,b 1，
则 PCA就是 PC与平面 ABCD所成的角， x2 C 2
tan PCA PA 2 1
双曲线 的方程为 y 1……………………………………………………………………4分
故
2
AC 2 2 3，解得CD 2 6．……………………………………7分(2 3) CD （2） 直线 l与双曲线C交于不同的两点 P,Q，
2
四边形 ABCD为矩形， AD CD， x y2 1 2 2 2
又 PA CD，PA与 AD是平面 PAD内的两相交直线，\ CD ^ 平面 PAD， 由 2 ，得 1 2k x 4ktx 2t 2 0，
如图，平面 PAD内作DG AE ⊥ ，垂足为 G，连接 GC，则CG AE， y kx t
CGD是二面角D AE C的平面角．………………………………………………………10分 Δ 16k 2t 2 4 1 2k 2 2t 2 2 0，且1 2k 2 0 ，
在直角三角形 PAD中， PA 2, AD 2 3，点 E是 PD的中点，
2 2 2
EAD ADE π DG AD sin π
t 1 2k ，且 k .…………………………………………………………………………6分
，且 3 2
6 6 4kt 2t 2 2
CD 平面 PAD，DG 平面 PAD， CD DG， 设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，则 x1 x2 ,x x 1 2k 2 1 2 1 2k 2 ，
tan CGD DC 2 6故 2 2 ， 4k 2t 2t
DG 3 y1 y2 kx1 t kx2 t 2t ，1 2k 2 1 2k 2
二面角D AE C的平面角的正切值为 2 2 ．…………………………………………………15分 2kt t
线段 PQ的中点坐标为 , ，
1 2k 2 1 2k 2
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{#{QQABAYgAogiIAAAAABgCAQGoCkAQkAGCAYoOBBAUMAABwAFABAA=}#}
PQ y t 1 x 2kt 线段 的垂直平分线的方程为 ， 19．解:（1） g x blnx, g 2 x
b
.
1 2k k 1 2k 2 x
1 3t 曲线 y g x 在点 1,0 y x 处的切线方程为 y x 1, g 1 b 1 .…………………………3分即 2 ，……………………………………………………………………………10分k 1 2k （2） 当 a 1时， f x x sinx，
又在由点 P,Q与M 0,1 构成的三角形中， MPQ MQP， f x 1 cosx 0在 0, 上恒成立，
点M 不在直线 PQ上，而是在线段 PQ的垂直平分线上，……………………………………12分
3t ∴ ( )在 0, 上单调递增，
1 t,1 2 , 1 2k
2 3t，
1 2k 当 x 0时， f x f 0 0 .……………………………………………………………………7分
1 1
又 t2 1 2k 2 ,k 2 ， （3） 当 a 时， f x x sinx, g x lnx，
2 3 3
1 当0 x1 x2时，存在 f x1 g x f x g x 成立， 3t 1且 t 2 3t 0，解得 t 3，或 0 t 1 2 2，
3
1 x
1
1 sinx1 lnx
1
1 x2 sinx2 lnx ，

2
实数 t的取值范围是 , 3 0, .…………………………………………………………15 3 3分
3 1得 x x sinx sinx lnx lnx .
18 1 2 1 2 1 2 1．解：（ ）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入 B袋， 3
3 3
1 1 1 由（2）可知，当 x 0时， f x x sinx单调递增，
故概率 P B C0 33 C3 ，
2 2 4 x2 sinx2 x1 sinx1，即 x2 x1 sinx2 sinx1 ，
1 3 x 4
小球落入A袋中的概率 P A 1 P B 1 . ln 2 x x
4 4 x 3 2 1 ，………………………………………………………………………………10分1
2 3
故 P1 P A
3 3 1 13 3 1 3 51 x 1 ， P2 P

， 3 C
1
2· · ..............................................6分 设M x lnx 2 ，4 4 4 16 4 4 4 64 x 1
（2）游戏过程中累计得 n 2分可以分为两种情况： 1 4 (x 1)
则M x 0，
得到 n 2分后的一次游戏小球落入 B袋中（ 2分）， x (x 1)2 x(x 1)2
或得到 n 1分后的一次游戏中小球落入A袋中（ 1）分， x 1
P 3 P 1 P P 1 1
当 x 1时，M x M 1 0，则 lnx 2 ，……………………………………………13分
故 n n 1 n 2 n Pn 1 Pn 1 Pn 2 n 3 ............................................................10分 x 14 4 4 4 x2
P 1 P 1 1 1
1
故 n n 1 为常数数列且 P x x1 x2 x1 x x2 x14 2
P
4 1
1，故 Pn Pn 1 1即 Pn 1 Pn 1 n 2 .............12分 ln 2 4 4 2 2 , ln
2 4 ，
x1 x2 x2 x1 x1 x2 x1
P 1 1 P 4 1 4
1
x1
n 4 n 1
Pn Pn 1 ，5 4 5 x2 x1 4 2
P 4 P 4 3 4 1 1
4 x2 x1 x2 x1 , 3 x2 x1 ，
故 n 是以 为首项，以 为公比的等比数列，.............................15分 x x 3
5
2 1
1 5 4 5 20 4
x x 3 .…………………………………………………………………………………17分
P 4 1 1
n 1 1 1 n 1 2
故 n



5 20 4
，
5 4
P P 1 1
n 4
所以 n的通项公式为 n

.....................................................................................17分
5 4 5
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