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【中考模拟题汇编】查漏补缺：三角形-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东莞市模拟）如图，一个加油站恰好位于两条公路a，b所夹角的平分线上，若加油站到公路a的距离是80m，则它到公路b的距离是（　　）
A．60m B．70m C．80m D．90m
2．（2025 汇川区二模）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
3．（2025 西安一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
4．（2025 芜湖三模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，连接DE交AC于点G，作EF⊥DE交直线AC于点F，若，BE＝3，DE＝BC，则CE的长为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2025 河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和AE分别为ABC的高和角平分线，CD和AE相交于点F，已知AB：AC＝5：3，则CF：FD＝（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
6．（2025 广西一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，AB＝5，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 宣城三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，且PB＞PC，过点P作PD∥AB，PE∥AC，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，Q是△ABC外部一点，DE垂直平分PQ，连接QA，QC，QD，则下列结论错误的是（　　）
A．AQ∥DE B．∠PDC＝2∠PQC
C．∠B+∠AQC＝180° D．∠BED+∠BCD＝180°
8．（2025 杭州模拟）达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（　　）
A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半
D．直角三角形的两锐角互余
二．填空题（共6小题）
9．（2025 北碚区模拟）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，EC＝ED，∠CED＝96°，则∠BED＝ 　 　 ．
10．（2025 龙泉市二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，CE，则BC的长为　 　 ．
11．（2025 南岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点D在边BC上，AE＝DE，EF⊥AB，AB＝10，CD＝2.5，则BD＝　 　 ．
12．（2025 道里区二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D在BC上，BD＝2，连接AD，点E为AB的中点，连接DE，点P为AD上一动点，连接CP，则的最大值为 　 　 ．
13．（2025 宝应县二模）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D为BC边上的动点，连结AD并延长到点E，使BE＝BD，求当∠BAC最大时，AD DE的最大值是 　 　 ．
14．（2025 龙江县二模）如图，已知△ABC，以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线AF；以AC为直径作圆，交射线AF于点G，连接CG，BG．若S△ACG＝7，S△BCG＝2，则S△ABC＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 城中区模拟）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°．
（1）使用直尺和圆规，做出Rt△ABC斜边AC上的中线BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC＝6，∠A＝30°，求BD的长．
16．（2025 北碚区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，AC＝9，点P为AC边上一点（点P不与A，C重合），AP＝x，过点P作AB的垂线，垂足为点Q．点P，Q的距离为y1，线段AB与线段AQ的长度之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
17．（2025 海南模拟）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E，线段BC与线段DF交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BGF＝38°，∠A＝82°，求∠F的度数．
18．（2025 杭州模拟）综合与实践
某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构．
【图形结构再认识】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改）
①AC BC＝AB CD；②sinA＝cosB；③AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2．
【特殊情况研究】小澄发现，当图中的BC＝AD时，点D是AB的黄金分割点，请你说明理由．
【图形拓展深化】小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明．
19．（2025 武昌区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．点D关于直线AB的对称点为E，连接AD，DE．在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α．
①求∠AGE；（用含α的代数式表示）
②探究线段CG与DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AE，在点D从点B移动到点C的过程中，当△AEG为等腰三角形时，直接写出此时的值．
20．（2025 曾都区校级模拟）在△ABC中，AE平分∠BAC．
【初步认识】BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，连接EF．
（1）如图1，延长BE交AC于点D，求证：EF（AC﹣AB）；
（2）如图2，AB、AC、EF之间的数量关系是　 　 ．
【深入探究】如图3，CG⊥AE于点G，点F是BC的中点，连接AF、FG，
（3）若AB＝5，AC＝3，求FG的长．
【拓展应用】如图4，BE⊥AE于点E，EH∥AB交AC于点H．
（4）若BE＝3，AE＝4，求EH的长．
21．（2025 北碚区模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB的中点，F为AC上一点．
（1）如图1，若AF＝2CF，，求EF的长；
（2）如图2，若D为△ABC外部一点，F为AC的中点，将DF绕点F按顺时针方向旋转90°到GF（D，G均在直线AB的左侧），连接BG、EG．若∠DEG＝135°，求证：；
（3）将△AEF沿直线EF翻折至△ABC所在平面内得到△PEF，连接CP，将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CQ，连接AQ，当线段AQ取得最小值时，请直接写出的值．
【中考模拟题汇编】查漏补缺：三角形-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B B A A D B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东莞市模拟）如图，一个加油站恰好位于两条公路a，b所夹角的平分线上，若加油站到公路a的距离是80m，则它到公路b的距离是（　　）
A．60m B．70m C．80m D．90m
【解答】解：∵一个加油站恰好位于两条公路a，b所夹角的平分线上，加油站到公路a的距离是80m，
∴加油站到公路b的距离也是80m．
故选：C．
2．（2025 汇川区二模）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴AB＝7﹣1＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点，
∴CDAB6＝3（cm），
故选：B．
3．（2025 西安一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BDAB＝3，
∵AE＝BE＝7，
∴ED⊥AD，
在Rt△ADE中，DE2，
故选：B．
4．（2025 芜湖三模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，连接DE交AC于点G，作EF⊥DE交直线AC于点F，若，BE＝3，DE＝BC，则CE的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：由条件可知∠B＝∠BCA＝45°，
设CE＝r，
∵BE＝3，
∴DE＝BC＝3+r，
则AB2+AC2＝BC2，
∴，
∴，
过点E作EM⊥BD于点M，作EN⊥AF于点N，
∴∠BAC＝∠AME＝∠ENA＝90°，
∴四边形AMEN是矩形，
∴EN＝AM＝AB﹣BM，
∴，
由条件可知，
∴，
由提交可知∠D+∠DGA＝∠F+∠EGF＝90°，∠DME＝∠GEF＝90°，
∴∠D＝∠F，
∴△DEM∽△FNE，
∴，即，
∴，
∴10＝r（3+r），
解得：r＝2（负值已舍去），
故选：B．
5．（2025 河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和AE分别为ABC的高和角平分线，CD和AE相交于点F，已知AB：AC＝5：3，则CF：FD＝（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
【解答】解：过F作FG⊥AC于G，
∵AE平分∠CAB，FD⊥AB，
∴FG＝FD，
∵△ACF的面积AC FG，△AFD的面积AD FD，
∴△ACF的面积：△AFD的面积＝AC：AD，
∵△ACF的面积：△AFD的面积＝FC：FD，
∴CF：FD＝AC：AD，
∵CD为△ABC的高，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠CAD＝∠CAB，
∴△CAD∽△BAC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∵AB：AC＝5：3，
∴令AB＝5k，AC＝3k，
∴3k：5k＝AD：3k，
∴ADk，
∴CF：FD＝AC：AD＝5：3．
故选：A．
6．（2025 广西一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，AB＝5，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得：，
∵三角形ABC的面积AC BCAB ×CD，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴，
故选：A．
7．（2025 宣城三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，且PB＞PC，过点P作PD∥AB，PE∥AC，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，Q是△ABC外部一点，DE垂直平分PQ，连接QA，QC，QD，则下列结论错误的是（　　）
A．AQ∥DE B．∠PDC＝2∠PQC
C．∠B+∠AQC＝180° D．∠BED+∠BCD＝180°
【解答】解：连接QE，如图：
由条件可知四边形ADPE为平行四边形，
∴AE＝PD，
∵DE垂直平分PQ，
∴PD＝DQ，
∴DP＝DQ＝AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由条件可知∠B＝∠DPC，
∴∠DPC＝∠ACB，
∴DP＝DC，
∴DP＝DQ＝DC，即△PCQ的外接圆圆心为D，
∴∠PDC＝2∠PQC，
故B正确．不符合题意；
∵DE垂直平分PQ，
∴EP＝EQ＝AD，
又∵AQ＝QA，AE＝DQ，
∴△AQE≌△QAD（SAS）．
∴∠QAD＝∠AQE，
∴△AED≌△QDE（SAS），
∴∠ADE＝∠QED，
∴∠ADE＝∠QED＝∠QAD＝∠AQE，
∴AQ∥DE，
故A正确．不符合题意；
∵DQ＝DC，
∴∠DCQ＝∠DQC，
∴∠B+∠AQC＝∠ACB+∠CQD+∠AQD＝∠ACB+∠QCD+∠EAQ＝∠BCQ+∠BAQ，
∵在四边形ABCQ中，∠B+∠AQC+∠BCQ+∠BAQ＝360°，
∴∠B+∠AQC＝180°，
故C正确．不符合题意；
由条件可知∠BED+∠BCD＝∠BED+∠B
∵ED与BC不一定平行，
∴∠BED+∠B不一定等于180°，
∴∠BED+∠BCD＝180°不一定成立，
故D错误，符合题意；
故选：D．
8．（2025 杭州模拟）达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（　　）
A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半
D．直角三角形的两锐角互余
【解答】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点，
所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．（2025 北碚区模拟）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，EC＝ED，∠CED＝96°，则∠BED＝ 　42°　 ．
【解答】解：∵EC＝ED，∠CED＝96°，
∴∠C＝∠D（180°﹣∠CED）＝42°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠D＝42°，
故答案为：42°．
10．（2025 龙泉市二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，CE，则BC的长为　1　 ．
【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AEBE，
∵∠C＝45°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴∠EAC＝∠C＝45°，
∴AE＝EC，
∴BEAE＝1，
∴BC的长为．
故答案为：1．
11．（2025 南岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点D在边BC上，AE＝DE，EF⊥AB，AB＝10，CD＝2.5，则BD＝　5　 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
在Rt△AEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△DEC（HL），
∴AF＝DC＝2.5，
∵AB＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝7.5，
在Rt△BCE和Rt△BFE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BFE（HL），
∴BC＝BF＝7.5，
∴BD＝BC﹣DC＝7.5﹣2.5＝5，
故答案为：5．
12．（2025 道里区二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D在BC上，BD＝2，连接AD，点E为AB的中点，连接DE，点P为AD上一动点，连接CP，则的最大值为 　　 ．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，过点A作AN⊥BC于点N，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∵AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠ACB＝60°，BN＝CNBC＝3，
∵BD＝2，
∴DN＝BN﹣BD＝1，
∵点E是AB的中点，
∴BEAB＝3，
在Rt△BEM中，sinB，cosB，
∴EM＝BE sinB＝3×sin60°，BM＝BE cosB＝3×cos30°，
∴MD＝BD﹣BM，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：DE，
∴当CP为最小，则的值为最大，
∵点P是AD上的动点，
∴根据“垂线段最短”得，点P和点H重合时，CP为最小，最小值为CH的长，
在Rt△ACN中，AC＝6，CN＝3，
由勾股定理得：AN，
在Rt△ADN中，DN＝1，
由勾股定理得：AD，
由三角形的面积公式得：S△ACDAD CHCD AN，
∴CH，
∴CP的最小值为，
∴的最大值为：．
故答案为：．
13．（2025 宝应县二模）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D为BC边上的动点，连结AD并延长到点E，使BE＝BD，求当∠BAC最大时，AD DE的最大值是 　18　 ．
【解答】解：以B为圆心，BC为半径画圆，如图，
由图形可知，当AC与⊙B相切时，∠CAB最大，此时∠ACB＝90°．
设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝6﹣x．
过点B作BF⊥DE于点F，
∵BE＝BD，
∴DF＝EFED，
∵∠ACD＝∠BFD＝90°，∠ADC＝∠BDF，
∴△ACD∽△BFD，
∴，
∴AD DF＝CD BD，
∴AD ED＝（6﹣x） x，
∴AD DE＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴当x＝3时，即BD＝3时，AD DE有最大值为18．
故答案为：18．
14．（2025 龙江县二模）如图，已知△ABC，以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线AF；以AC为直径作圆，交射线AF于点G，连接CG，BG．若S△ACG＝7，S△BCG＝2，则S△ABC＝　10　 ．
【解答】解：如图，延长CG交AB延长线于点H，
由作图可知，AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠HAG，
由条件可知∠AGC＝90°，
∴∠AGH＝90°＝∠AGC，
∵AG＝AG，
∴△AGC≌△AGH（ASA），
∴CG＝HG，
∴S△ABC＝S△ACG+S△AHG﹣S△BCG﹣S△BHG＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 城中区模拟）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°．
（1）使用直尺和圆规，做出Rt△ABC斜边AC上的中线BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC＝6，∠A＝30°，求BD的长．
【解答】解：（1）如图线段BD即为所求作的Rt△ABC斜边AC上的中线；
（2）∵∠B＝90°，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴BDAC，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴BCAC，
∴BD＝BC＝6．
16．（2025 北碚区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，AC＝9，点P为AC边上一点（点P不与A，C重合），AP＝x，过点P作AB的垂线，垂足为点Q．点P，Q的距离为y1，线段AB与线段AQ的长度之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，AC＝9，
∴BC12，
∵PQ⊥AB，
∴sinA，cosA，
∴，x，
∴y1x（0≤x≤9）；
∵AQx，
∴y2（0＜x≤9）；
（2）当x＝0时，y1＝0，当x＝10时，y1＝6，
当x＝5时，y2＝5，当x＝10时，y2＝2.5，
将上述各点描点连线绘制函数图象如下：
从图象看，当0＜x≤9时，y1随x增大而增大，0＜x≤9时，y2随x增大而减小（答案不唯一）；
（3）从图象看，y1＜y2时x的取值范围为：0＜x≤5.6．
17．（2025 海南模拟）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E，线段BC与线段DF交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BGF＝38°，∠A＝82°，求∠F的度数．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB．
∵AB∥DF，∠BGF＝38°，∠A＝82°，
∴∠B＝∠BGF＝38°，
在三角形ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝60°，
∴∠F＝∠ACB＝60°．
18．（2025 杭州模拟）综合与实践
某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构．
【图形结构再认识】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改）
①AC BC＝AB CD；②sinA＝cosB；③AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2．
【特殊情况研究】小澄发现，当图中的BC＝AD时，点D是AB的黄金分割点，请你说明理由．
【图形拓展深化】小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明．
【解答】解：（1）①证明如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴AC BC＝AB CD；
②∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A，
∴sin∠A＝sin∠DCB，
∴在Rt△CDB中，，
∴sinA＝cosB；
③∵CD⊥AB于点D，
∴在Rt△ACD中，AC2﹣BC2＝CD2，
∴在 Rt△BCD中，AD2﹣BD2＝CD2；
∴AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2；
（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
由（1）得∠DCB＝∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
由（1）得，
∴CB2＝AB BD，
∵BC＝AD，
∴AD2＝AB BD，
∴点D是AB的黄金分割点；
（3）作AB的垂直平分线，则AB的垂直平分线与AB的交点为点E，连接CE，过D作CE的垂线交CE于点F，CF即为所求线段；
在Rt△ABC中，点E是AB的中点，
∴．
由（2）得CB2＝AB×BD，
∵CF⊥CE，∠DFE＝∠CDE＝90°，
∵∠DEF＝∠DEF，
∴△DEF∽△CED，
∴，
则ED2＝CE EF，CE2﹣ED2＝CD2＝CB2﹣BD2，
∴CE2﹣ED2＝CB2﹣BD2，
∴CE2﹣CE EF＝AB BD﹣BD2，
则CE（CE﹣EF）＝BD（AB﹣BD），
∴CE CF＝BD AD，
则，
∴，
∴，
∵AB＝AD+BD，
∴．
19．（2025 武昌区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．点D关于直线AB的对称点为E，连接AD，DE．在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α．
①求∠AGE；（用含α的代数式表示）
②探究线段CG与DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AE，在点D从点B移动到点C的过程中，当△AEG为等腰三角形时，直接写出此时的值．
【解答】解：（1）如图，
∵∠EFD＝∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，
∴∠1＝60°﹣α，
∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α．
②，理由如下：
如图，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△BCA为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，
∴△ABD≌△BCM（SAS），
∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3+∠5，
∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，
∵∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴EB∥AC，
∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE＝GM，
∴BE＝GM＝BD＝CM，
∴CG＝2BD，
记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知DE⊥AB，NE＝ND，
在Rt△DNB中，DN＝BD sin∠ABC，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接BE，记AB与DE的交点为点N，
∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
设∠BAD＝γ，
由轴对称知∠EAB＝∠DAB＝γ，∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND，
当点G在边AC上时，∠EAG＞90°，
∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG，
∵∠BAC＝∠AFG＝90°，
∴∠AGE＝γ，
∴∠AEG＝γ，
∵∠EAD＝2γ，AE＝AG，EG⊥AD，
∴∠FAG＝∠EAD＝2γ，
在△AEG中，γ+2γ+2γ+γ＝180°，
解得γ＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∵AE＝AD，△AED为等边三角形，
∴AE＝ED，
设AF＝x，
∵∠EAD＝60°，
∴，
∴DN＝x，
在Rt△DAN中，，
∵DE⊥AB，∠ABC＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点G在CA延长线上时，只能是GE＝GA，
设∠BAD＝∠BAE＝β，
∴∠DAC＝∠GAF＝90°﹣β，∠EAF＝180°﹣2β，∠GAE＝∠GAB﹣∠BAE＝90°﹣β，
∵GE＝GA，
∴∠GAE＝∠GEA＝90°﹣β，
∵∠EFD＝∠BAC＝90°，
在Rt△AFE中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°，
解得β＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°＝∠GAF，
设GF＝x，则AG＝GE＝2x，AF＝3x，
在Rt△EFA中，EF＝2x+x＝3x，
由勾股定理得，
在Rt△EAN中，AN＝AE cos60°，EN＝DN＝BN＝AE sin60°＝3x，
∴，
∴，
∴；
综上，或．
20．（2025 曾都区校级模拟）在△ABC中，AE平分∠BAC．
【初步认识】BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，连接EF．
（1）如图1，延长BE交AC于点D，求证：EF（AC﹣AB）；
（2）如图2，AB、AC、EF之间的数量关系是　EF（AB﹣AC）　 ．
【深入探究】如图3，CG⊥AE于点G，点F是BC的中点，连接AF、FG，
（3）若AB＝5，AC＝3，求FG的长．
【拓展应用】如图4，BE⊥AE于点E，EH∥AB交AC于点H．
（4）若BE＝3，AE＝4，求EH的长．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，
又∵点F是BC的中点，
∴EFDC（AC﹣AD）（AC﹣AB）；
（2）解：EF（AB﹣AC），理由如下：
如图②，延长AC交BE的延长线于点P，
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BE，
∴BE＝EP，
又∵点F是BC的中点，
∴EFCP（AP﹣AC）（AB﹣AC），
故答案为：EF（AB﹣AC）；
（3）解：延长CG交AB于点H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAG＝∠CAG，
∵CG⊥AE，
∴∠AGH＝∠AGC＝90°，
∴∠AHC＝∠ACG，
∴AH＝AC，
∵CG⊥AE，
∴CG＝HG，
又∵F为BC的中点，
∴FGBH（AB﹣AC）＝1；
（4）解：延长BE，AC交于点D，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BE，
∴BE＝DE，
∵EH∥AB，
∴△EHD∽△BAD，
∴，
∵BE＝3，AE＝4，
∴AB5，
∴EH．
21．（2025 北碚区模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB的中点，F为AC上一点．
（1）如图1，若AF＝2CF，，求EF的长；
（2）如图2，若D为△ABC外部一点，F为AC的中点，将DF绕点F按顺时针方向旋转90°到GF（D，G均在直线AB的左侧），连接BG、EG．若∠DEG＝135°，求证：；
（3）将△AEF沿直线EF翻折至△ABC所在平面内得到△PEF，连接CP，将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CQ，连接AQ，当线段AQ取得最小值时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴ABAC，
∵AB＝6，
∴AC＝BC＝6，
如图，作AC的中点H，连接EH，
∴EH∥BC，，AH＝HCAC＝3，
∵AF＝2CF，
∴AC＝AF+FC＝2FC+FC＝3FC＝6，
∴AF＝2FC＝4，
∴HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，
∵EH∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠EHF＝90°，
在Rt△EHF中，EF；
（2）证明：如图，连接AD，过点A作AM⊥AD交DE于点M，延长GE交AC于点Q，交DA的延长线于点P，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB的中点，F为AC的中点，
∴，EF∥BC，
∴∠AFE＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，
∵将DF绕点F按顺时针方向旋转90°到GF，
∴∠DFG＝90°，DF＝FG，
∴∠AFE﹣∠DFE＝∠DFG﹣∠DFE，
即∠AFD＝∠EFG，
∴△AFD≌△EFG（SAS），
∴AD＝EG，∠DAF＝∠GEF，
∴∠PEQ＝∠PAQ，
又∵∠EQF＝∠AQP，
∴∠P＝∠AFE＝90°，
∵∠DEG＝135°，
∴∠DEP＝45°，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∵MA⊥AD，
∴△MAD是等腰直角三角形，MA∥EP，
∴AM＝AD，∠BEG＝∠EAM，，
∴AM＝EG，
∴，
在△BEG和△EAM中，
，
∴△BEG≌△EAM（SAS），
∴GB＝ME，
∴，
即；
（3）解：如图，连接CE，将CE绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CT，
∴CE＝CT，∠ECT＝90°，
∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CQ，
∴PC＝QC，∠PCQ＝90°，
∴∠PCE＝∠QCT，
∴△PCE≌△QCT，
∴TQ＝EP，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB的中点，
∴，
设AC＝BC＝a，则，CEAB＝AEa，
∵将△AEF沿直线EF翻折至△ABC所在平面内得到△PEF，
∴EP＝EAa，
∴TQa，
即Q在以T为圆心，a为半径的⊙T上运动，
连接AT过点T作TS⊥AC于点S，
则∠TSC＝90°，
∵∠ECA＝45°，∠ECT＝90°，
∴∠TCS＝45°，
∴△TSC是等腰直角三角形，
则TSTCECa，
∴AC＝aaa，
∴ATa，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当Q在AT上，取得最小值，最小值为a，
∴．
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