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2024-2025 学年江西省宜春市高安市石脑中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 < < 4 ， = 2 < < 5 ，若 ，且 ∈ ，则 的取值范围是( )
A. 2 < < 4 B. 4 < < 5
C. 4 ≤ ≤ 5 D. 4 ≤ < 5
2.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ( ) = 2 ′(1)ln + 2，则 ′(1) =( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
3.从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数
的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是( )
A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多
C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少
4.已知等差数列 的公差 > 0, 5 = 3
1
2，则 1 + 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
5 .已知函数 ( ) = 1 + ln( 1)在[2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,1) B. ( ∞,1] C. ( ∞,2) D. ( ∞,2]
6.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货
物堆，从上向下查，第一层有 1 个货物，第二层比第一层多 2 个，第三层比第二层多 3 个，以此类推，记
第 层货物的个数为 ，则使得 > 2 + 2 成立的 的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1, 为有理数 1, > 0
7.已知狄利克雷函数 ( ) = ，符号函数 ( ) = 0, = 0，这两个函数在数学和计算机等领
0, 为无理数 1, < 0
域中有着广泛的应用.有以下两个结论：
①函数 = ( ) sinπ 是奇函数且该函数在区间[ 1,1]上的有理数零点恰有 3 个；
②函数 = ( ) ( )既是偶函数，又是增函数.那么( )．
A.①正确②错误 B.①错误②正确 C.①正确②正确 D.①错误②错误
8.已知定义在 R 1上的函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) + ′( ) = e , (0) = 1，则 (1), (2), (e)的大小
关系为( )
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A. (1) < (2) < (e) B. (e) < (2) < (1)
C. (2) < (1) < (e) D. (e) < (1) < (2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 的前 项和为 ，首项 1 = 1 且满足 +1 = 2 + 1，则( )．
A. 3 = 9. B.数列 + 1 为等比数列．
C. +1 > . D. 10 = 2037．
10.［多选题］下列说法正确的是( )
A.“对任意一个无理数 ， 2也是无理数”是真命题
B.命题“ ∈ ， 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0”
C.设 ， ∈ ，则“ 2 + 2 ≥ 4”是“ ≥ 2 且 ≥ 2”的充分不必要条件
D.设 ， ∈ ，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
11.已知函数 ( )是偶函数， ( + 1)是奇函数，当 ∈ [2,3]时， ( ) = 1 | 2|，则下列选项正确的是( )
A. ( )在( 3, 2)上为减函数 B. ( )的最大值是 1
C. ( )的图象关于直线 = 2 对称 D. ( )在( 4, 3)上 ( ) < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 12 ( ) = , ≤ 1.已知函数 + 1, > 1，则 ( (1)) =
13.设 为等差数列，其前 项和为 ，若 8 7 9 7 < 0，则满足 +1 < 0 的正整数 = ．
14.若三次函数 ( ) = 3 + 2 + + 1( > 0)有三个相异且成等差的零点，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = lg( + 1) + 的定义域为集合 ，集合 = 2 2 ≤ 0 ．
16 2
(1)若 = 4，求 ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)求 ( )的最小值；
(2)若对所有 ≥ 1 都有 ( ) ≥ 1，求实数 的取值范围；
17.(本小题 15 分)
在各项均为正数的等比数列 中， 2 = 18, 3 1 = 48．
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(1)求数列 的通项公式；
(2) = log
1
3 2，求数列 的前 项和 ． +2
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1)( > 0).其中 ( 1, 1)， ( 2, 2)为曲线 = ( )上不同的两点．
(1) = 2 时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2) = 1 时，讨论 ( )的单调性；
(3)若 ， 关于点(0, )对称，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
+ +
对于基本不等式，即当 > 0， > 0 时有 2 ≥ (当且仅当 = 时不等式取“=”)，我们称 2 为正数 ，
的算术平均数， 为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值
不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到 19 世纪，由 Chebycheff 在 1882 年发表的论文中首
次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括
调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明： 个正数 1, 2, 3 的平方平
+ + + + + + +
均数 1 2 大于等于它们的算术平均数 1 2 3 大于等于几何平均数 1 2 3 大于等于调

和平均数 1 ，且当 , , 这些数全部相等时，等号成立．
+
1 1 1 2 3
1
+ +
2
(1)请直接运用上述不等式链中某个 的情形求 = + 4 2 ( > 0)的最小值；
(2)写出 = 3 时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明；
(3)如图，把一块长为 6 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无
盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.15
14. 0, 39
15.(1) + 1 > 0由题意知 16 2 > 0，解得 1 < < 4，所以 = ( 1,4)；
若 = 4，则 = 2 2 + 4 ≤ 0 = [ 2,0]，所以 ∩ = ( 1,0]．
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，则 是 的真子集．
因为 = 2 2 ≤ 0 = (2 ) ≤ 0 ，
当 < 0 时， = 2 , 0 ，又 是 的真子集，

所以2 > 1，又 < 0，所以 2 < < 0；
当 = 0 时， = {0}，此时 是 的真子集，符合题意；
当 > 0 时， = 0, 2 ，又 是 的真子集，

所以2 < 4，又 > 0，所以 0 < < 8．
综上， 的取值范围是( 2,8)．
16.(1) ( )的定义域是(0, + ∞)， ′( ) = ln + 1，
令 ′( ) > 0 1 1，解得 > e，令
′( ) < 0，解得 0 < < e，
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( ) (0, 1 ) ( 1故 在 e 上单调递减，在 e , + ∞)上单调递增，
故 ( ) 1 1 1 1 = e = e ln e = e．
(2) ∵ ( ) = ln ，当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 恒成立，
等价于 ln ≥ 1 在[1, + ∞)时恒成立，
等价于 ≤ ln + 1 在[1, + ∞)时恒成立，
( ) = ln + 1令 ， ≥ 1，则 ≤ ( )min即可；
∵ ′( ) = 1 1 1 2 = 2 ，∴当 ≥ 1 时，
′( ) ≥ 0 恒成立，
∴ ( )在[1, + ∞)上单调递增，∴ ( )min = (1) = 1，
∴ ≤ 1，即实数 的取值范围为( ∞,1]．
17.(1)设数列 的公比为 ，依题意可得
2 = 1 = 18,
3 1 = 1 2 1 = 48.
1
解得 = 3 或 = 3，又因为数列 的各项均为正数，所以 = 3．
从而可求得 1 = 6，
所以， = 6 × 3 1 = 2 × 3 ．
(2) = log3 2 = log33 = ，
1 1 1 1 1
= = , +2 ( + 2) 2 + 2
1 1 1 1 1
= 1 × 3 + 2 × 4 + 3× 5 + + ( 1)( + 1) + ( + 2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 1 + 1 + + 2
1 1 1 1
= 2 1 + 2 + 1 + 2
3 2 + 3
= 4 2( + 1)( + 2) .
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18.(1)当 = 2 时， ( ) = e2 ln( + 1)，则 (0) = 1，
1
求导得 ′( ) = 2e2 +1，则 ′(0) = 1，
故曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 1 = 1 ( 0)，
整理得： + 1 = 0.
(2)当 = 1 时， ( ) = e ln( + 1) 1，求导得 ′( ) = e +1，
记 ( ) = ′( )，则求导得 ′( ) = e + 1( +1)2 > 0，
所以 ′( )在( 1, + ∞)单调递增，又 ′(0) = 0，
所以当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < ′(0) = 0，则 ( )在区间( 1,0)上单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > ′(0) = 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增．
(3)由题意可得 1 + 2 = 0, 1 + 2 = 2 .
根据定义域为( 1, + ∞)，则不妨设 1 = ∈ (0,1)，则 2 = ∈ ( 1,0).
又 1 + 2 = 2 ，即 2 = e ln( + 1) + e ln(1 ) = e + e ln 1 2 .
记 ( ) = e + e ln 1 2 ， ′( ) = 2 2 e e 1 + 1 2，
2
又1 2 > 0

， 2 ′e e 1 > 0，所以 ( ) > 0，
所以 ( )在区间(0,1)上单调递增，
由于 (0) = 2，当 → 1 时，ln 1 2 → ∞，所以有 ( ) →+∞，
从而可知 ( )的值域为(2, + ∞)，要使得 ( ) = 2 ，则 2 ∈ (2, + ∞)，
所以 ∈ (1, + ∞).
19.(1) 1+ 2+ 3+ + 由题意得 ≥ 1 2 3
3
所以 > 0 时， = + 4 2 =
1
2 +
1 + 4 ≥ 3 12 2 2
1 4
2 2 = 3，
1 4
当且仅当2 = 2时，即 = 2 时，等号成立，
4
所以 = + 2 ( > 0)的最小值为 3．
(2)由题意可知，当 = 3 时，
3
调和平均数与几何平均数之间的关系为3 1 2 3 ≥ 1 1 1，其中 1 > 0， > 0， + + 2 3
> 0，
1 2 3
当且仅当 1 = 2 = 3时，等号成立．
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证明：
31 + 32 + 33 3 1 2 3
= + 3 2 2 31 2 3 1 2 3 1 2 + 3 3 1 2 3
= + 2 21 2 + 3 1 + 2 1 + 2 3 + 3 3 1 2 1 + 2 + 3
= 2 2 21 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 2 2 3 1 3
1
= 2 1 + +
2
2 3 1 2 + 2 2 23 + 3 1 ≥ 0
所以， 31 + 32 + 33 ≥ 3 1 2 3，当且仅当 1 = 2 = 3时，等号成立．
根据题意，可设 1 > 0， 2 > 0， 3 > 0，
用3 ，3 ，31 2 替换 ， 33 1 2， 3可得 1 + 2 + 3 ≥ 3 1 2 3，
当且仅当 1 = 2 = 3时，等号成立．
1 1 1 3 1
所以 +1
+ ≥ 32 3
，
1 2 3
3
所以 1 1 1 ≤
3
3 1 =
1 3
+ + 3 1
= 1 2 3，
1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
当且仅当 1 = 2 = 3时，等号成立．
(3)设小正方形的边长为 ，则盒子的高 = ，底边边长为 6 2 ，
可得盒子的容积为 = (6 2 )2，其中 0 < < 3，
= (6 2 )2 = 1 4 (6 2 )2 ≤ 1 ( 4 +6 2 +6 2 则 )34 4 3 = 16，
当且仅当 4 = 6 2 时，即 = 1 时，等号成立，
所以切去的正方形边长为 1 时，才能使盒子的容积最大，最大容积为 16．
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