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高一年级 2024—2025 学年第二学期 5 月考试
数学试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.测试范围：必修二：第六章—第九章.
3.难度系数：0.8.
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求.
1.下列说法正确的是（ ）
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2.数据 16，22，13，14，25，17，18，19，21，10 的第 70 百分位数是（ ）
A.18 B.19 C.20 D.21
3.某校高一年级有 810 名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 72 的样本，则抽取男生
和女生的人数分别为 40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）.
A.450 B.360 C.400 D.320
4.已知m ， n 是两条不同的直线，a ， b ，g 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若m//n ，m//a ，则 n//a B.若a //b ，m a ， n b ，则m//n
C.若a ^ b ， b ^ g ，则a //g D.若m//n ，a //b ，m ^ a ，则 n ^ b
5.平面a 过正方体的顶点 A，a //平面CB1D1，a I 平面 ABCD = m，a I 平面 ABB1A1 = n，则m 与 n 所成角
的大小为（ ）
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
6.为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座
“使命塔”的高度 AB ，如图所示，可以选取与该塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D，现测得
BCD =15°， BDC =135°，CD = 20m，在点C 测得“使命塔”塔顶A 的仰角为 60°，则“使命塔”高
AB =（ ）
A.30m B. 20 2m C. 20 3m D. 20 6m
uuur uuur
7.如图，已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 D 满足 BD = lBC （0 < l <1），E 为 AC 的中点，则
uuur uuur
DB × DE 的取值范围为（ ）
é 9
A. ê- , 4÷ B. -4,4
é 9- , 4ùC.
4 ê ú
D. -2,44
8.如图，在棱长为3+ 3 的正方体内有两个球O1、O2 相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之
和的最小值为（ ）
A. 6π B.8π C. 9π D.12π
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的第 60 百分位数是 6
B.已知一组数据 2，3，5， x ，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是 5.2
C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D.若 x1， x2 ，……， x10 的标准差为 2，则3x1 +1，3x2 +1，……，3x10 +1的标准差是 6
10.（2025·河南鹤壁·二模）我国新能源发展势头强劲，产业前景广阔，特别是新能源汽车产销已经连续 8
年位居世界第一，如图，这是某国产新能源汽车公司的 100 家销售商在 2023 年 4 月份的销售数据频率分
布直方图，则（ ）
A.a 的值为 0.004
B.估计这 100 家销售商新能源汽车销量的平均数为 135
C.估计这 100 家销售商新能源汽车销售量的中位数为 158.3
D.用分层随机抽样法从这 100 家销售商中抽取 20 家，则应从销量在 200,300 内销售商中抽取 5 家
11.如图，在边长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E ， F 分别是棱 B1C1，C1D1的中点， P 是正方形
A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若 DP// 平面CEF ，则点 P 的轨迹长度为 2 2
π
B.若 AP = 17 ，则点 P 的轨迹长度为 2
C.存在 P 满足 AP + PC1 = 2 10
D.若 P 是棱 A1B1 的中点，则三棱锥 P - CEF 的外接球的表面积是 41π
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知复数 z = 1- i 2 + ai （ a R ）为纯虚数，则 a = ______.
13.某班共有 40 名学生，其中 22 名男生的身高平均数为 173cm，方差为 28；18 名女生的身高平均数为
163cm，方差为 32；则该班级全体学生的身高方差为.
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶
棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍， EF //AB ，侧面△ADE 和△BCF 为等边三角形，
且与底面所成角相等；若 AB = AD = 4， E 到底面 ABCD的距离为 11 ，则该刍甍的体积为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15.（13 分）已知△ABC 内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，设
sin B - sin C 2 = sin2 A - sin B sin C .
（1）求 A；
（2）若b + c = 4 ，△ABC 3的面积为 ，求 a的值.
2
16.（15 分）如图，已知四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD为直角梯形，BC //AD ，
AB ^ AD ，PA = AB = AD = 2BC = 2，E 为PD中点.
（1）求证：CE//平面PAB；
（2）求点 A到平面 PBC 的距离.
17.（15 分）2024 年 5 月 22 日至 5 月 28 日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为
“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩
情况，从中抽取了部分学生的成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计将成
绩进行整理后，分为五组（50 x < 60 ， 60 x < 70 ， 70 x < 80，80 x < 90，90 x 100），其中第
1 组频数的平方等于第 2 组、第 4 组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决
下列问题：
（1）求 a，b 的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰 80%的同学，仅留 20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为
多少合理？
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数：x1， x2， x3 ，…， x10 ，已知这 10 个分数的平均
数 x = 90 ，标准差 s = 6 ，若剔除其中的 95 和 85 这两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差.
1
18.（17 分）在多面体 ABCDE 中，已知 AB = AC = 4，EA = EB = DA = DC = 2 3，DE = BC 且2
DE //BC ， BAC = 90° .
（1）证明：平面 ABE ^平面 ABC ；
（2）求直线 AE 与平面BCD所成角的正弦值.
19.（17 分）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市
场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟
鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 OMN 内修建矩形水池 ABCD，矩形一边 AB 在 OM 上，点C 在圆弧
MON πMN 上，点D在边 ON 上，且 = ，OM = 30 米，设 COM = a .
3
（1）求扇形OMN 的面积；
（2）若a
π
= ，求矩形 ABCD的面积S ；
4
（3）若矩形 ABCD 的面积为 S a ，当a 为何值时， S a 取得最大值，并求出这个最大值.
高一年级 2024—2025 学年第二学期 5 月考试
数学参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一项是符合要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D B D A C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BD AD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
20
12. -2 13.54.55 14. 11
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15、【答案】（1） A π= ； （2） a = 10
3
【详解】（1 sin2）原式化简可得： B - 2sin B sin C + sin2 C = sin2 A - sin B sin C ，
sin2 B + sin2 C - sin2整理得： A = sin B sin C ，
2 2 2
由正弦，，定理可得：b + c - a = bc，
2 2 2
∴ cos A b + c - a 1 π= = ，因此三角形的内角 A = ；
2bc 2 3
1
（2）∵ S△ABC = bc sin A
1
= bc 3 3× = ，∴bc = 2，
2 2 2 2
∵ a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b + c 2 - 3bc =16 - 6 =10，∴\a = 10 .
16.【答案】（1）证明过程见解析； （2） 2
【详解】（1）取 PA 的中点G ，连接 BG ，GE ，
因G 、 E 分别为 PA 、 PD AD的中点，所以GE //AD，GE = ，
2
又 BC //AD BC AD， = ，则GE //BC ，GE = BC ，
2
所以四边形GECB 为平行四边形，即CE //BG ，
又CE 平面 PAB， BG 平面 PAB，则CE // 平面 PAB .
（2）因 PA ^平面 ABCD， BC 平面 ABCD，所以 PA ^ BC ，
因 BC //AD ， AB ^ AD，所以 AB ^ BC ，
又 PAI AB = A，则 BC ^ 平面 PAB，
又 PB 平面 PAB，则 PB ^ BC ，
由 AB = 2 ， PA = 2 ，得 PB = 2 2 ，
设点 A到平面 PBC 的距离为 h ，连接 AC .
则VA-PBC = V
1 1
P-BCA ，即 S△PBC × h = S△ABC × PA，3 3
1 1
即 1 2 2 h 1 1= 2 1 2，解得 h = 2 ，
3 2 3 2
则点 D 到平面 PBC 的距离为 2 .
17.【答案】（1） a = 0.032，b = 0.004 （2）晋级分数线划为 78 分合理 （3）90；38.75
【详解】（1）由题知，所以0.0162 = 0.008a ，解得 a = 0.032，
又 0.008 + 0.016 + 0.032 + 0.04 + b 10 =1，解得b = 0.004 .
所以 a = 0.032，b = 0.004，
（2）成绩落在 50,70 内的频率为：0.16 + 0.32 = 0.48 ，
落在 50,80 内的频率为：0.16 + 0.32 + 0.40 = 0.88，
设第 80 百分位数为m ，则 m - 70 0.04 = 0.8 - 0.48，解得m = 78，
所以晋级分数线划为 78 分合理.
（3） x = 90 ，故： x1 + x2 + x3 + ×××+ x10 =10 90 = 900 .
s2 1= x2 + x2 2 2 2 2 2 2又 10 1 2 + ×××+ x10 - 90 = 6 ， x1 + x2 + ×××+ x10 = 81360，
剔除其中的 95 和 85 两个分数，设剩余 8 个数为 x1， x2 ， x3 ，…， x8 ，
平均数与标准差分别为 x0 ， s0 ，则剩余 8 个分数的平均数：
x x1 + x2 + x3 + ×××+ x8 900 - 95 -850 = = = 90；方差：8 8
s2 1= x2 + x2 + ×××+ x2 - 902 10 1 2 8 = 81360 - 952 -852 - 902 = 38.75 .8 8
2 30
18.【答案】（1）证明见解析； （2） .
15
【详解】（1）如图，分别取 AB ， AC 的中点 F 、G ，连接 FG 、 EF 、 DG ，
FG 1则 = BC 且 FG//BC 1，因为 DE //BC 且 DE = BC ，
2 2
所以 DE //FG，且 DE = FG
则四边形 DEFG 为平行四边形，所以 EF //DG 且 EF = DG ，
因为 DA = DC ，所以 DG ^ AC ，所以 EF ^ AC ，
又因为 BAC = 90°，所以 AB ^ AC ，
又因为 AB I EF = F ， AB 、 EF 平面 ABE ，所以 AC ^平面 ABE ，
又因为 AC 平面 ABC ，所以平面 ABE ^平面 ABC .
（2）取 BC 的中点为 N ， DE 的中点为Q，连接 AN ，QN ， AQ ，如图所示，
因为 AB = AC ，所以 AN ^ BC ，在等腰梯形 BCDE 中，易得QN ^ BC ，
又因为 AN IQN = N ， AN 、QN 平面 AQN ，所以 BC ^ 平面 ANQ ，
因为 BC 平面 BCD，所以平面 ANQ ^ 平面 BCD，
过 A作 AH ^ QN 于点 H ，由平面 ANQ I 平面 BCDE = QN ， AH 平面 AQN ，
则 AH ^ 平面 BCDE ，连接 EH ，则 AEH 就是直线 AE 与平面 BCD所成的角，
因为 EH 平面 BCD，所以 AH ^ EH ，由 AB = AC = 4 ， BAC = 90°，
得 AN = 2 2 ， BC = 4 2 ， DE 1= BC = 2 2 ， EA = DA = 2 3 ，
2
2 2
Q是 DE 中点， AQ ^ DE ， AQ = 2 3 - 2 = 10 ，
2 2
在等腰梯形 BCDE 中，QN = 2 3 - 2 2 - 2 = 10 ，
2 22 2 10 - 2 8
所以在等腰△QAN 中，腰QN 上的高 AH = = ，
10 10
8
AH 10 2 30
又因为 AE = 2 3 ，所以 sin AEH = = = ，
AE 2 3 15
所以直线 AE 与平面 BCD 2 30所成角的正弦值为 .
15
19.【答案】（1）150π 平方米；（2） S = 450 150 3 π- 平方米；（3）a = ，最大值为150 3 .
6
【详解】（1）由题意， MON π= ，扇形半径即OM = 30 米，
3
S 1 π扇形 OMN = 30
2 =150π平方米.
2 3
π
（2）因为a = ，在Rt△OBC 中，
4
BC = 30sin π =15 2 ，OB = 30cos π =15 2 ，
4 4
在Rt△OAD 中， AD = BC =15 2 ，
OA AD 3则 = = 15 2 = 5 6 ，所以 AB = OB - OA =15 2 - 5 6 .
3 3
则矩形 ABCD的面积 S = AB × BC = 15 2 - 5 6 15 2 = 450 -150 3 .
a π所以当 = 时，矩形 ABCD的面积 S = 450 -150 3 平方米.
4
（3）在Rt△OBC 中， BC = 30sina ，OB = 30cosa ，
在Rt AD 3△OAD 中， AD = BC = 30sina ，则OA = = 30sina ，
3 3
所以 AB = OB - OA = 30cosa -10 3 sina .
则矩形 ABCD的面积
S a = AB × BC = 30sina 30cosa -10 3 sina
= 300 3 3 sina cosa - sin2 a

=150 3 3 sin 2a + cos 2a 1 3- = 300 3 sin 2a
1
+ cos 2a 1-
è 2 2 2
÷÷

= 300 3sin 2a
π
+ ÷ -150 3 ，0 a
π
< <
è 6 3
S a 300 3sin 2a π π所以 = + 6 ÷ -150 3 ，其中0 < a < .è 3
π
由于 < 2a π 5π π π π+ < ，则当 2a + = 时，即a = 时， S a =150 3 .
6 6 6 6 2 6 max
π
所以当a = 时， S a 取得最大值，最大值为150 3 ，
6

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