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第5章 分式
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）要使分式有意义，x的取值范围应是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：C．
2．（3分）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3x﹣9＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝3，
故选：B．
3．（3分）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简分式定义进行分析即可．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式（a+1），不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、该分式是最简分式，故此选项符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式（a+b），不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）计算的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式1，
故选：A．
5．（3分）已知a＞1，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　）
A．R＞P＞Q B．P＞Q＞R C．R＞Q＞P D．P＞R＞Q
【分析】利用分式的减法的法则进行求解即可．
【解答】解：由题意得：P＞1，Q＜1，R＜1，
∵Q﹣R
0，
∴Q﹣R＜0，
∴Q＜R，
∴P＞R＞Q．
故选：D．
6．（3分）若，则x＝（　　）
A．﹣1 B．﹣1或0 C．±1或0 D．±1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论x＝0与x≠0，求出x的值，检验即可．
【解答】解：去分母得：2x|x|＝2x，
当x＝0时，满足题意；
当x≠0时，|x|＝1，即x＝1或﹣1，
当x＝1时，x﹣1＝0，此时分式方程无解，
综上所述，x＝0或﹣1．
故选：B．
7．（3分）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）
A．x2﹣1 B． C．（x﹣1）2 D．
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0和代数式求值判断即可．
【解答】解：A选项，当x＝±1时，原式＝0，故该选项不符合题意；
B选项，分式的值不可能等于0，故该选项符合题意；
C选项，当x＝1时，原式＝0，故该选项不符合题意；
D选项，当x＝1时，原式＝0，故该选项不符合题意；
故选：B．
8．（3分）化简的结果是（　　）
A．x B．﹣x C．x﹣4 D．x+4
【分析】利用分式的加减法的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝x，
故选：A．
9．（3分）若关于x的分式方程有增根，则常数m的值是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】将分式方程通过去分母化为整式方程，根据分式方程的增根即可求出需要的m的值．
【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
x+1＝2（x﹣4）+m，
由于分式方程有增根，增根为x＝4，
把x＝4代入x+1＝2（x﹣4）+m得，
m＝5，
故选：B．
10．（3分）设P＝x﹣1，Q，x≠1，有以下2个结论：①当x＞1时，P＞Q；②当x＜0时，P＜Q．下列判断正确的是（　　）
A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对
【分析】运用作差法分别进行运算、讨论和比较．
【解答】解：∵P﹣Q＝（x﹣1）
，
∴当2＞x＞1时，x﹣1＞0，x＞0，x﹣2＜0，
则0，
即P＜Q，
∴结论①不对；
当x＜0时，x﹣1＜0，x﹣2＜0，
则0，
即P＜Q，
∴结论②对，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，且a≠﹣b，则的值为 　1　 ．
【分析】根据1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解答】解：∵1，
∴1，
∴ab＝2a+b，
∴1．
故答案为：1．
12．（3分）要使的值为0，则x的值是 　3　 ．
【分析】根据分式值为0的条件列式计算即可．
【解答】解：∵的值为0，
∴x2﹣9＝0且3+x≠0，
解得：x＝3，
故答案为：3．
13．（3分）计算：　　 ．
【分析】根据分式的除法法则计算即可．
【解答】解：ab÷（）
＝ab （）
，
故答案为：．
14．（3分）已知x＝3，则代数式（x） 的值为 　2　 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x）


＝x﹣1，
当x＝3时，原式＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
15．（3分）m+n，，m2+n2等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于x，y的分式是完美对称式，则：
（1）m＝　﹣1　 ；
（2）若完美对称式满足：，且x＞y＞0，则y＝　　 （用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据完美对称式的定义进行求解即可；
（2）根据完美对称式的定义，结合所给的条件进行求解即可．
【解答】解：（1）∵分式是完美对称式，
∴，
整理得：y2﹣mx2＝x2﹣my2，
∴﹣m＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）由（1）得，
∵，
∴，
，
∴y2+x2＝（xy）2+2xy，
∴y2+x2﹣2xy＝（xy）2，
即（x﹣y）2＝（xy）2，
∴x﹣y＝xy，
xy+y＝x，
（x+1）y＝x，
y．
故答案为：．
16．（3分）对于实数x，y（x≠y），定义运算，如：，则方程F（x，1）＝2的解为 　无解　 ．
【分析】根据新定义，可知F（x，1），可得2，解分式方程即可．
【解答】解：根据新定义，可知F（x，1），
∴2，
解得x＝1，
∴方程F（x，1）＝2的解为x＝1，
∵x≠y，
∴方程无解．
故答案为：无解．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程（组）；
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据方程组的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）在方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），先去分母，然后解出x的值检验即可．
【解答】解：（1），
①×2得，4x﹣2y＝10③，
③+②得，7x＝14，
解得x＝2，
将x＝2代入①得2×2﹣y＝5，
解得y＝﹣1，
所以方程组的解为；
（2），
两边同乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+x﹣1＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝0，
检验：当x＝0时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为x＝0．
18．（6分）圆圆同学解答：“解分式方程：的过程，如图，请指出他解答过程中开始错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：2x+3﹣1＝﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3﹣1＝﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：⑤
经检验，是原分式方程的解．⑥
【分析】根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可．
【解答】解：从第①步开始错误，正确解答过程如下：
原分式方程两边同乘（x﹣2），去分母得：2x+3﹣（x﹣2）＝﹣（x﹣1），
去括号得：2x+3﹣x+2＝﹣x+1，
移项得：2x﹣x+x＝1﹣2﹣3，
合并同类项得：2x＝﹣4，
系数化为1得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入（x﹣2）中得﹣2﹣2＝﹣4≠0，
则原分式方程的解为：x＝﹣2．
19．（8分）已知关于x的分式方程．
（1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
【分析】（1）把m＝﹣1代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得：2，
整理得：2，
去分母得：2＝x﹣2（1﹣x），
去括号得：2＝x﹣2+2x，
移项、合并同类项得：3x＝4，
解得：x，
检验：把x代入得：1﹣x0，
∴x是分式方程的解；
（2）分式方程变形得：2，
去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4，
若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解；
若m﹣2≠0，即m≠2时，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2，
综上所述，m＝2或﹣2．
20．（8分）（1）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
（2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
Ⅰ．我选择 　①　 （填序号）；
Ⅱ．列式并计算．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可；
（2））Ⅰ．根据题意选择；
Ⅱ．根据分式的除法法则计算．
【解答】解：（1）原式
，
当a＝﹣2时，原式；
（2）Ⅰ．我选择①，
故答案为：①；
Ⅱ.

＝1﹣x．
21．（10分）已知，关于x的分式方程
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程1的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
【分析】（1）把a与b的值代入方程计算即可求出解；
（2）把a＝1代入方程表示出分式方程的解，由分式方程无解求出x的值，即可求出b的值；
（3）表示出分式方程的解，把a＝3b代入，根据分式方程解为整数确定出b的值即可．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入方程得：1，
去分母得：2（x﹣5）﹣（2x+3）（1﹣x）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：2x﹣10+2x2+x﹣3＝2x2﹣7x﹣15，
移项合并得：10x＝﹣2，
解得：x，
检验：把x代入得：（2x+3）（x﹣5）≠0，
∴分式方程的解为x；
（2）把a＝1代入方程得：1，
去分母得：x﹣5﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：x﹣5+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
即（11﹣2b）x＝3b﹣10，
当11﹣2b＝0，即b＝5.5时，整式方程无解；
∵分式方程无解，
∴（2x+3）（x﹣5）＝0，即x或x＝5，
当x时，（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b无解；
当x＝5时，5（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b＝5，
则b＝5或5.5；
（3）把a＝3b代入方程得：1，
去分母得：3b（x﹣5）﹣（2x+3）（b﹣x）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：3bx﹣15b+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
即（b+10）x＝18b﹣15，
解得：x18，
∵分式方程的解为整数，且x≠5，
∴b+10＝±1，b+10＝±15，b+10＝±13，b+10＝±5，b+10＝±39，b+10＝±65，b+10＝±195，
解得：b＝﹣9或﹣11或5或﹣25或3或﹣23或﹣5或﹣15或29或﹣49或55或﹣75或185或﹣205，
∵b为正整数，
∴b＝3或29或55或185．
22．（10分）已知x+y＝﹣2，xy＝﹣4．
（1）求x2+y2的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，求a的值．
【分析】（1）根据已知条件，利用完全平方公式进行解答即可；
（2）先把分式进行通分，然后把已知条件整体代入进行计算即可；
（3）先根据多项式乘多项式法则把已知等式的左边展开，然后把x+y＝﹣2，xy＝﹣4代入得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（﹣2）2﹣2×（﹣4）
＝4+8
＝12；
（2）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴
；
（3）∵x+y＝﹣2，xy＝﹣4，
∴（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，
xy﹣ax﹣ay+a2＝﹣4，
xy﹣a（x+y）+a2＝﹣4，
﹣4+2a+a2＝﹣4，
a2+2a＝0，
a（a+2）＝0，
a＝﹣2或0（舍去），
∴a的值为﹣2．
23．（12分）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；
（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【解答】解：（1）x2+（4x+4）＝（x+2）2 或 x2+（x2+4x）＝2x2+4x＝2x（x+2）；
（2） 或．
24．（12分）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
（1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
（2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x﹣20）元，由题意：顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x﹣20）元，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
则x﹣20＝10，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，
由题意得：（30×0.9﹣18）m+（10﹣6）n＝80，
整理得：n＝20m，
∵m、n为正整数，
∴或，
∴有，2种购买方案，
答：有2种购买方案
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)第5章 分式
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）要使分式有意义，x的取值范围应是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠0
2．（3分）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
3．（3分）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）计算的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（3分）已知a＞1，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　）
A．R＞P＞Q B．P＞Q＞R C．R＞Q＞P D．P＞R＞Q
6．（3分）若，则x＝（　　）
A．﹣1 B．﹣1或0 C．±1或0 D．±1
7．（3分）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）
A．x2﹣1 B． C．（x﹣1）2 D．
8．（3分）化简的结果是（　　）
A．x B．﹣x C．x﹣4 D．x+4
9．（3分）若关于x的分式方程有增根，则常数m的值是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
10．（3分）设P＝x﹣1，Q，x≠1，有以下2个结论：①当x＞1时，P＞Q；②当x＜0时，P＜Q．下列判断正确的是（　　）
A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，且a≠﹣b，则的值为 　 　 ．
12．（3分）要使的值为0，则x的值是 　 　 ．
13．（3分）计算：　 　 ．
14．（3分）已知x＝3，则代数式（x） 的值为 　 　 ．
15．（3分）m+n，，m2+n2等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于x，y的分式是完美对称式，则：
（1）m＝　 　 ；
（2）若完美对称式满足：，且x＞y＞0，则y＝　 　 （用含x的代数式表示）．
16．（3分）对于实数x，y（x≠y），定义运算，如：，则方程F（x，1）＝2的解为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程（组）；
（1）； （2）．
18．（6分）圆圆同学解答：“解分式方程：的过程，如图，请指出他解答过程中开始错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：2x+3﹣1＝﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3﹣1＝﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：⑤
经检验，是原分式方程的解．⑥
19．（8分）已知关于x的分式方程．
（1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
20．（8分）（1）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
（2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
Ⅰ．我选择 　 　 （填序号）；
Ⅱ．列式并计算．
21．（10分）已知，关于x的分式方程
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程1的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
22．（10分）已知x+y＝﹣2，xy＝﹣4．
（1）求x2+y2的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若（x﹣a）（y﹣a）＝﹣4，求a的值．
23．（12分）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
24．（12分）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
（1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
（2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
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