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2025年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
2. 全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 技工张师傅每天应得工资元是他生产零件个数（为正整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
零件个数 … 10 12 15 ★ …
应得工资/元 … 150 170 200 300 …
则表中“★”的值是（ ）
A. 20 B. 24 C. 25 D. 30
7. 安徽不仅有全国最大的中药交易市场（亳州），而且有享誉世界的十大皖药．五个不透明的药罐里分别装着石斛、灵芝、白芍、黄精和茯苓这五种皖药，从中任意拿出两个药罐，则药罐里装着石斛和灵芝的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
9. 已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，，是角平分线，，且，平分交的延长线于点，点是的中点，的延长线交于点．下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11 化简：______．
12. 如图，等边三角形和正五边形是的内接多边形，已知的半径为3，则的长是________．
13. 如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为________．
14. 已知抛物线与轴交于点，．
（1）点的坐标为________；
（2）当时，点，是抛物线上的动点，其中，轴于点，轴于点，以，，，为顶点的四边形的面积为，若随增大而增大，则的取值范围是________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 计算：
16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）将绕点逆时针旋转得到（其中与，与是对应点），在网格中画出；
（2）用无刻度直尺画出的高线，保留画图痕迹，并直接写出高的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
18. 为了践行五育并举的教育政策，培养学生的劳动意识，某中学组织九年级学生到工厂参加实践活动，九一班的同学测量一个镖形零件的部分数据：，，，，，根据所测数据计算的长．
（参考数据：，，，，结果精确到）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，点是上一点，为的切线，弦，的延长线交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20 根据以下素材，完成项目任务：
有关教辅图书的素材
素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元．
素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同．
素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料．
问题解决
任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）．
任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元．
任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践 探秘凌家滩
【调查背景】凌家滩遗址位于安徽省含山县凌家滩村，距今已经有约6000年历史，是长江下游巢湖流域发现面积最大、保存最完整的新石器时代聚落遗址．2022年12月凌家滩遗址被列为第四批国家考古遗址公园名单．今年安徽交通广播电台开展了“相约凌家滩”的主题活动，体验古文化，雄智中学也开设地方性课程——《凌家滩古文化》．学习后，对全体八、九年级的学生进行凌家滩古文化知识测试（满分100分）．
【数据的收集、整理】
从两个年级抽取数量相同学生的成绩进行整理和分析，将学生测试成绩（得分为）分成四个级别，；；；．
I．绘制抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
II．已知被抽查的满分100分的有2人，本次达到组成绩的有10人，其中九年级测试成绩组的全部数据如下：91，93，92，93，93，94，100．
【数据的应用】利用以上信息，完成下列问题：
（1）本次共抽取________人的成绩，组成绩的众数是________．
（2）欣欣同学发现自己的分数正好是该年级抽查成绩的中位数，悦悦同学说：“欣欣的成绩在我们年级的成绩是中等偏下水平”，请你根据这些信息，判断欣欣是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）已知该校八年级有600人，九年级有500人，请你估计这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的共有多少人．
七、（本题满分12分）
22. 太子山旅游景区每天对游客开放，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数（人）与开放时间之间满足：
若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为（人）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求等待观光车的游客最多时有多少人．
（3）若要在内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少增加几趟观光车？
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知是正方形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，在上取点，连接，使．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．2025年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，解题关键是根据倒数的意义找出乘积互为1的两个数．
根据乘积互为1的两个数互为倒数．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
2. 全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和10的指数的表示规律为关键，
绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，为整数位数减1．
【详解】解：4590万．
故选：C．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱．
【详解】解：A的俯视图是圆，故不符合题意；
B的俯视图是正方形，不符合题意；
C的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，左视图是矩形，故符合题意；
D的左视图是三角形，故不符合题意；
故选C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，单项式乘多项式，积的乘方，多项式除以单项式的运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
5. 一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得，再根据平行的性质可得，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6. 技工张师傅每天应得工资元是他生产零件个数（为正整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
零件个数 … 10 12 15 ★ …
应得工资/元 … 150 170 200 300 …
则表中“★”的值是（ ）
A 20 B. 24 C. 25 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数解应用题，先由题意，设，由待定系数法列方程组求解即可得到，当时，解一元一次方程即可得到答案．熟练掌握待定系数法求一次函数表达式是解决问题的关键．
【详解】解：设，
将、代入，
则，
解得，
∴，
当时，，解得，
∴★的值是25，
故选：C．
7. 安徽不仅有全国最大的中药交易市场（亳州），而且有享誉世界的十大皖药．五个不透明的药罐里分别装着石斛、灵芝、白芍、黄精和茯苓这五种皖药，从中任意拿出两个药罐，则药罐里装着石斛和灵芝的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，盒中装着石斛和灵芝的情况占总情况的多少即可．
【详解】解析：从5个药罐中任意拿两个药罐，结果如表所示：（以首字代表名称）
第一个药罐 第二个药罐 石 灵 白 黄 茯
石 （石，灵） （石，白） （石，黄） （石，茯）
灵 （灵，石） （灵，白） （灵，黄） （灵，茯）
白 （白，石） （白，灵） （白，黄） （白，茯）
黄 （黄，石） （黄，灵） （黄，白） （黄，茯）
茯 （茯，石） （茯，灵） （茯，白） （茯，黄）
由表可知，从中任意拿出两个药罐，一共有20种组合，任意两个药罐装着石斛和灵芝的组合有2种，故其概率是．
故选A．
8. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为18，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点横坐标为2，点的纵坐标为1，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴，．
∵矩形的面积为18，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过第一象限，
∴，
∴．
故选：C．
9. 已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键．
由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得．
【详解】解：由已知函数图象得，，，，
∴函数的图象开口向上，，
即其图象的对称轴直线在轴的左侧．
∵二次函数与正比例函数图象交点的横坐标为，，
∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，，
∴方程的两根为，，
∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，．
故选B．
10. 如图，，是的角平分线，，且，平分交的延长线于点，点是的中点，的延长线交于点．下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三线合一平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形，，矩形的性质与判定熟记知识点是解题的关键．
连接，，根据等腰三角形三线合一，可得，，即可证；继而证明四边形是矩形，易证，从而可推，．由不一定成立，可得不一定成立．
【详解】如图，连接，．
∵，平分，
∴，．
∵点是的中点，
∴，故选项A正确；
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，易证，
∴，，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项C，D正确；
若成立，则需四边形为平行四边形．
则需要，显然不一定成立，
∴选项B不一定都成立．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，等边三角形和正五边形是的内接多边形，已知的半径为3，则的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键．如图，连接，，．根据正多边形的性质求出，，进而求出，再利用弧长公式计算即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，，．
∵等边三角形和正五边形是的内接多边形，
∴，，
∴，
∴的长是．
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查求线段长，涉及矩形性质、角平分线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，先由矩形性质得到线段长度及直角，再由角平分线性质及等腰直角三角形的判定确定是等腰直角三角形，从而得到，在中，由勾股定理得的长即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：设，则，．
∵在矩形中， ，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为3．
14. 已知抛物线与轴交于点，．
（1）点的坐标为________；
（2）当时，点，是抛物线上的动点，其中，轴于点，轴于点，以，，，为顶点的四边形的面积为，若随增大而增大，则的取值范围是________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）利用抛物线的对称性，即可求得点的坐标为；
（2）先求得抛物线的解析式为．再分两种情况当和时，求解即可．
【详解】解：（1）由题意知，抛物线的对称轴是直线．
∵抛物线与轴交于点，，
∴点，关于直线对称，
∴点的坐标为；
（2）当时，抛物线，
∴，
解得，
∴．
当时，点，都在轴的上方，如图1，
∴
，
∵，
∴当时，随增大而增大；
当时，点在轴的上方，点在轴的下方，如图2，
∴
．
∵，
∴当时，随增大而增大．
综上，当随增大而增大时，的取值范围是或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）将绕点逆时针旋转得到（其中与，与是对应点），在网格中画出；
（2）用无刻度的直尺画出的高线，保留画图痕迹，并直接写出高的长．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析，．
【解析】
【分析】本题考查了作图-网格作图，勾股定理，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题关键．
（1）将绕点逆时针旋转，得到，，连接，则即为所求；
（2）取格点，连接，交于点，则即为的高，根据勾股定理求出的长，根据网格及三角形面积公式求出的面积，即可求解．
【小问1详解】
解： 将绕点逆时针旋转，得到，，连接，则即为所求，如图：
【小问2详解】
解：取格点，连接，交于点，则即为的高，如图：
由（1）可得：，
由题意和网格可得：，
∴，即为的高，
由网格可得：
，
，
∴，即，
解得：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键，
（1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式；
（2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证．
【小问1详解】
解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即；
左边第二个分数：分母为，即；
右边第一个分数：分子为，分母为，即；
右边第二个分数：分母为，即；
∴第5个等式为：；
【小问2详解】
解：第个等式为，证明如下：
等式左边：，
等式右边：，
∴左边右边，
∴原等式成立．
18. 为了践行五育并举的教育政策，培养学生的劳动意识，某中学组织九年级学生到工厂参加实践活动，九一班的同学测量一个镖形零件的部分数据：，，，，，根据所测数据计算的长．
（参考数据：，，，，结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，于点，四边形是矩形，然后则在中解直角三角形求出和长，然后再在中利用正切求出长解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，于点．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
在中，，，
∴，，
∴，
，
∴，．
在中，，，，
∴，
∴，
即的长约为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，点是上一点，为的切线，弦，的延长线交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练利用上述性质是解题的关键．
（1）连接，利用切线的性质可得，再证明，可得，利用圆周角定理即可解答；
（2）证明，利用相似三角形的性质求角度即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
∵为的切线，
∴，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 根据以下素材，完成项目任务：
有关教辅图书的素材
素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元．
素材2 小明按定价计算发现3本种资料总价与4本种资料的总价相同．
素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料．
问题解决
任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）．
任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元．
任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元．
【答案】任务1：；任务2：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元；任务3：
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，有理数的四则运算，熟知相关等量关系是解题的关键．
任务1：根据每本，种资料的定价和为105元即可解答；
任务2：根据3本种资料的总价与4本种资料的总价相同列方程即可解答；
任务3：按照题意计算价格即可．
【详解】任务1：由题意可得，
故答案为：；
任务2：由题意得，
解得，
答：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元；
任务3：（元）．
故答案为：．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践 探秘凌家滩
【调查背景】凌家滩遗址位于安徽省含山县凌家滩村，距今已经有约6000年历史，是长江下游巢湖流域发现面积最大、保存最完整的新石器时代聚落遗址．2022年12月凌家滩遗址被列为第四批国家考古遗址公园名单．今年安徽交通广播电台开展了“相约凌家滩”的主题活动，体验古文化，雄智中学也开设地方性课程——《凌家滩古文化》．学习后，对全体八、九年级的学生进行凌家滩古文化知识测试（满分100分）．
【数据的收集、整理】
从两个年级抽取数量相同学生的成绩进行整理和分析，将学生测试成绩（得分为）分成四个级别，；；；．
I．绘制抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
II．已知被抽查的满分100分的有2人，本次达到组成绩的有10人，其中九年级测试成绩组的全部数据如下：91，93，92，93，93，94，100．
【数据的应用】利用以上信息，完成下列问题：
（1）本次共抽取________人的成绩，组成绩的众数是________．
（2）欣欣同学发现自己的分数正好是该年级抽查成绩的中位数，悦悦同学说：“欣欣的成绩在我们年级的成绩是中等偏下水平”，请你根据这些信息，判断欣欣是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）已知该校八年级有600人，九年级有500人，请你估计这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的共有多少人．
【答案】（1）100，93
（2）欣欣是八年级学生
（3）106人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、求众数、用中位数作决策、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键．
（1）根据达到组成绩的人数和其所占的百分比可求得调查总人数；根据众数是一组数据中出现次数最多的数据求解即可；
（2）根据九年级测试成绩的中位数和抽查同学测试成绩的中位数，结合题意可作出判断；
（3）根据九年级测试成绩和抽查同学测试成绩在D组的人数求出八年级测试成绩在D组的人数，再根据样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
解：调查总人数为（人），
组成绩中，数据93出现次数最多，
∴组成绩的众数是93，
故答案为：100，93；
【小问2详解】
解：欣欣是八年级学生．从扇形统计图可知八、九年级的、级共占，则抽取的八、九年级测试成绩在一起的中位数在等级的数据中，此中位数小于80分．
由九年级的条形统计图可知，九年级抽查学生成绩的中位数在等级的数据中，大于等于80分．由此可判断八年级的中位数小于80分，所以欣欣是八年级的学生．
【小问3详解】
（人），
答：这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的约有106人．
七、（本题满分12分）
22. 太子山旅游景区每天对游客开放，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数（人）与开放时间之间满足：
若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为（人）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求等待观光车的游客最多时有多少人．
（3）若要在内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少增加几趟观光车？
【答案】（1）
（2）620人 （3）4趟
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键。
（1）用乘坐观光车总人数减去已经乘坐的人数即可得到等待的人数；
（2）根据（1）所求结合二次函数和一次函数的性质分别求出，时p的最大值即可得到答案；
（3）先求出内的游客总人数，设每小时需要增加趟观光车，根据乘坐的游客数不小于内的游客总人数建立不等式求解即可.
【小问1详解】
解：由题意得，
【小问2详解】
解：当时，，
∵，
∴当时，有最大值620．
当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴，
∴等待坐观光车的游客最多时有620人．
综上所述，等待观光车的游客最多时有620人；
【小问3详解】
解：当时，．
设每小时需要增加趟观光车，则，
解得．
∵为整数，
∴至少为4．
答：从一开始每小时至少增加4趟观光车．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知是正方形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，在上取点，连接，使．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）根据已知证明，得，再证明，即可得；
（2）根据已知证明，进而可得，再根据相全等三角形性质得出结论；
（3）先证明，进而可得，得，再证明 ，得，据此列方程求解即可．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵在正方形中， ，
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵由（2）得，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
设正方形的边长为1，，
∴，
∴解并检验得：或（舍去），
∴．

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