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2025年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴，轴交于，两点，若面积为5．且该直线与正比例函数的交点在第一象限，则的值为（ ）
A 5 B. C. D.
6. 如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
7. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 已知是一个无理数，且，则的值可以是________．（写出满足条件的一个值即可）
10. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______．
11. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示________．（写出一种即可）
12. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，经测试，发现电流随着电阻变化而变化，并结合数据描点，连线，将随的变化情况绘制成如图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是________A．
13. 在矩形中，，连接，点，分别是边，上的动点，且，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，，则周长的最小值为________．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 解分式方程：．
17. 如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可．
（1）在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分；
（2）在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）．
18. 七年级（1）班在植树节开展“把绿色种在春天里”活动．全班同学去种一批树苗，若每个人种6棵，则少16棵树苗；若每个人种5棵，则剩下24棵树苗未种．这批树苗共有多少棵？
19. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：．
20. 某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，其余球上都无字．顾客随机从箱中摸出一个球，若有字，则能获得一份小礼品．
（1）某顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品概率是_____．
（2）取出分别写有“最”“美”“安”“微”，四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次取出的球能组成“安徽”的概率．
21. 如图1，公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，夜晚的湖心亭更是绝美．白天，小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶处测得湖心亭顶端的俯角，测得湖心享顶端在水面倒影处的俯角．已知：点到湖面的距离．，，，，三点共线，．求湖心亭的高度．（光线的折射忽略不计，结果精确到．参考数据：．，，，，）
22. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组进行了两组实验．实验发现，电池充电时，电动汽车仪表盘增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系数据记录如图1：电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2：
（1）观察图1、图2，分别求出关于的函数表达式及关于的函数表达式；
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若该电动汽车要坚持到达目的地，需在途中的服务区至少充电多少分钟？
23. 为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照的比例计算出每人的总评成绩．小微、小舒的成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下图．
小薇，小舒成绩统计表
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
表达能力 阅读理解 汉字听写
小薇 92 85 90
小舒 94 92 88.5
根据以上问题，回答下列问题：
（1）在表达能力测试中，七位评委给小舒打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，94，这组数据的中位数是________分，众数是________分；
（2）分别计算小薇、小舒的总评成绩；若学校决定根据总评成绩安排前2名学生代表学校参加市级比赛，试分析小薇、小舒能否入选，并说明理由．
24. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）．
（1）根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值；
（2）若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？
26. “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________；
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________；
【类比探究】
（2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．2025年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
故选：A．
3. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式解法是解题关键．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，由此即可得．
【详解】解：，
，
，
，
所以要使不等式成立，则，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解．
【详解】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴，轴交于，两点，若的面积为5．且该直线与正比例函数的交点在第一象限，则的值为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出得到，再根据三角形面积计算公式得到，根据该直线与正比例函数的交点在第一象限得到，据此可得答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
又∵该直线与正比例函数的交点在第一象限，
∴的图象经过第一、三象限，
∴，即，
∴，
故选：C．
6. 如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，则可得，再证明推出，则由线段中点的定义可得．
【详解】解：∵D、E分别是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，
故选：B．
7. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是的直径，，
∴，，则，
∴，
故选：A．
8. 二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据当时，即抛物线经过即可判断．
【详解】解：当时，抛物线解析式为，抛物线的顶点在原点；
∵抛物线的顶点坐标为：，
∴当时，，
∴抛物线的顶点不可能在y轴上，
综上分析可知，抛物线的顶点不可能在y轴上，故A不符合题意；
当时，，
∴抛物线经过
∴三个选项中只有D选项符合．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 已知是一个无理数，且，则的值可以是________．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
根据无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：∵是一个无理数，且，
∴，
∴当时，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）．
10. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】如图，连接，设交于点，
由作图可知：，平分，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
11. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示________．（写出一种即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可．
【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：，
∵，
∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角，
∴用记号表示为：；
故答案为：．
12. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，将随的变化情况绘制成如图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是________A．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．根据电压电流电阻，代入相关数据进行解答即可．
【详解】解：根据：电压电流电阻，设，
将点代入得解得，
若该电路的最小电阻值为，则该电路能通过的最大电流是，
故答案为：36．
13. 在矩形中，，连接，点，分别是边，上的动点，且，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，，则周长的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短路径，勾股定理，相似三角形的判定和性质，理解轴对称最短路径的计算方法，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
如图所示，过点作，作于点，作点关于直线的对称点，则，连接，根据两点之间线段最短可得线段即为的最小值，根据矩形，勾股定理，等面积法得到，，根据平行线之间距离相等，轴对称的性质得到，设，证明，得，，，则，再证，得，则，在中由勾股定理得到，根据三角形周长的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，作于点，作点关于直线对称点，则，连接，
∴，
根据两点之间线段最短可得线段即为的最小值，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∴周长的最小值为
故答案为： ．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，立方根；先根据绝对值和二次根式的性质，二次根式的乘法法则，立方根的意义化简，再计算即可．
【详解】解：
．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算及求值．先利用完全平方公式、单项式乘多项式计算，再合并同类项，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
17. 如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可．
（1）在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分；
（2）在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了无刻度直尺作图、全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）线段是三个方格的对角线，连接中间方格的对角线，记为，即可得到平分；
（2）线段是水平方向三个方格的对角线，在竖直方向上同样找到三个方格的对角线，记为，即可得到垂直．
【小问1详解】
解：如图，
设与交于点，
由图可得，，，，
，
，
，
平分，
格点E、F即为所求（答案不唯一）．
【小问2详解】
解：如图，
设与交于点，
由图可得，，，，
，
，
，即，
，
，
格点G、H即为所求（答案不唯一）．
18. 七年级（1）班在植树节开展“把绿色种在春天里”活动．全班同学去种一批树苗，若每个人种6棵，则少16棵树苗；若每个人种5棵，则剩下24棵树苗未种．这批树苗共有多少棵？
【答案】224棵
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用．需要学生理解题意的能力，设出棵数以作人数为等量关系列方程求解．设这批树苗共有棵，分别用“若每个人种6棵，则少16棵树苗；若每个人种5棵，则剩下24棵树苗未种”表示出班级人数列方程即可．
【详解】解：设这批树苗共有棵，列方程得，
，
解这个方程得，，
答：这批树苗共有224棵．
19. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．
先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，可证，即得．
【详解】证明：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
20. 某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，其余球上都无字．顾客随机从箱中摸出一个球，若有字，则能获得一份小礼品．
（1）某顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是_____．
（2）取出分别写有“最”“美”“安”“微”，四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次取出的球能组成“安徽”的概率．
【答案】（1）
（2）（两次取出的球能组成“安徽”）
【解析】
【分析】本题主要考查运用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握运用列表法或画树状图法是解题的关键．
（1）运用概率公式计算即可；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，若有字，则能获得一份小礼品，
∴顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：运用画树状图把所有等可能结果表示如下，
∴共有12种等可能结果，其中是“安徽”的有2种结果，
∴两次取出的球能组成“安徽”的概率为，
∴（两次取出的球能组成“安徽”）．
21. 如图1，公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，夜晚的湖心亭更是绝美．白天，小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶处测得湖心亭顶端的俯角，测得湖心享顶端在水面倒影处的俯角．已知：点到湖面的距离．，，，，三点共线，．求湖心亭的高度．（光线的折射忽略不计，结果精确到．参考数据：．，，，，）
【答案】39米
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的边角关系定理的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
延长，交水平线于点H，设，则，，在中，，在中，，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：解：延长，交水平线于点，如图，
由题意得：，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，，
在中，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴湖心亭的高度大约39米．
22. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组进行了两组实验．实验发现，电池充电时，电动汽车仪表盘增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系数据记录如图1：电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2：
（1）观察图1、图2，分别求出关于的函数表达式及关于的函数表达式；
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若该电动汽车要坚持到达目的地，需在途中的服务区至少充电多少分钟？
【答案】（1），；
（2）20分钟．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题关键是求出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解；
（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出满电时汽车最远走多远，再求出还需要走多少千米，再判定充电时间即可．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为（为常数，且），
将，代入，得，解得，
∴关于的函数表达式为．
设关于的函数表达式为（、为常数，且），
将，和，分别代入，得，
解得
∴关于的函数表达式为．
【小问2详解】
（2）当时，，
当时，，，
当时，，
∴电动汽车在服务区充电至少20分钟．
23. 为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照的比例计算出每人的总评成绩．小微、小舒的成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下图．
小薇，小舒成绩统计表
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
表达能力 阅读理解 汉字听写
小薇 92 85 90
小舒 94 92 88.5
根据以上问题，回答下列问题：
（1）在表达能力测试中，七位评委给小舒打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，94，这组数据的中位数是________分，众数是________分；
（2）分别计算小薇、小舒的总评成绩；若学校决定根据总评成绩安排前2名学生代表学校参加市级比赛，试分析小薇、小舒能否入选，并说明理由．
【答案】（1）94，93；
（2）小舒能入选，但小薇不能入选，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数、加权平均数，能够读懂统计图，掌握中位数、众数、平均数、加权平均数的意义是解答本题的关键．
（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义计算小薇、小舒总评成绩，由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于等于90分的有2人，可知小舒排在前两名，能入选，不能判断小薇能否入选．
【小问1详解】
解：七位评委给小舒打出的分数按从小到大的顺序排列如下：
93，93，93，94，94，95，96，
出现次数最多的是93，
∴众数为93分；
中间的一个数是94,
∴中位数是94分；
故答案为：94，93；
【小问2详解】
小舒能入选，但小薇不能入选，
理由：小舒的总评成绩为（分），
小薇的总评成绩为（分）；
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
表达能力 阅读理解 汉字听写
小薇 92 85 90 89.1
小舒 94 92 88.5 91.2
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于90分的有2人，
∴小舒能入选，小薇不能入选．
24. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵以为直径的交于点，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）．
（1）根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值；
（2）若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？
【答案】（1），当时，；
（2）该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用利润单利润销售量列出二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值解题即可．
【小问1详解】
解：将点，代入中，
得，解得
∴与之间的函数关系式为；
当时，．
【小问2详解】
解：设该商场每周销售猕猴桃获得的利润为元，
得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1800，
∴该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元．
26. “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________；
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________；
【类比探究】
（2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．
【答案】（1）①；②或
（2）
（3）144平方厘米
【解析】
【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解；
（3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值．
小问1详解】
解：①为矩形，
厘米，，，
点，分别为边，的中点，
厘米，厘米，
，
，，
四边形是矩形，
又厘米，
矩形是正方形，
，，厘米，
由平移的性质得，，，
，
，
又，
四边形是矩形，
点与的中点重合，
厘米，
，，
和都是等腰直角三角形，厘米，厘米，
平方厘米，
平方厘米，
的面积与原矩形纸片的面积之比是．
故答案为：．
②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，
设厘米，则厘米，
厘米，厘米，
，
的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米，
，
解得：，，
平移距离为或．
故答案为：或．
【小问2详解】
解：纸片为菱形，，
，和为等边三角形，
纸片沿方向向上平移，
，
，
两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图，过点作于点，
，厘米，厘米，
厘米，
点，是，的中点，
厘米，厘米，厘米，
由旋转的性质得，厘米，厘米，
，
当上的高线最大时，则面积最大，
，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
作出示意图如下：
，
此时、、三点共线，
即厘米，
平方厘米，
即面积的最大值为144平方厘米．
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．

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