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2025届高三年级六月适应性检测
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
[endnoteRef:1]．已知全集，，，则( ) [1: ．B]
A. B. C. D.
[endnoteRef:2]．已知，且，则( ) [2: ．D]
A. B. C. D.
[endnoteRef:3]．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为( ) [3: ．C]
A. B. C. D.
[endnoteRef:4]．如图，为三脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出( )的值 [4: ．D 解：先要测出，则可利用正弦定理求出，再可利用正弦定理求出，最后由余弦定理求出，则需测出才能求出。]
.
A.和 B.和 C.和 D.三者
[endnoteRef:5]．若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是( ) [5: ．C 【详解】A. 取，则，，为等比数列，，故A错误.
B. ，与公差，矛盾，故B错误.
C. 为5的倍数，故C正确.
D. ，故D错误.
故选：C.]
A．k一定大于0 B．，，可能构成等比数列
C．若，，则为5的倍数 D．
[endnoteRef:6]．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为( ) [6: ．A 【解析】由题意可知：圆珠通过该空隙，则圆珠直径小于曲线上任意两点间的最小距离.注意到曲线关于直线对称，则曲线上的点到直线的最小距离即可，设曲线上的点为，则有
，圆珠直径的取值范围为.]
A. B. C. D.
[endnoteRef:7]．已知的两个内角A，都是关于x的方程的解，其中，则( ) [7: ．B 【解析】解：，
则和为方程的两个根，则①，②，∵，∴，，将①代入②中消去，由和积互化公式可得：，因式分解得，∵，因此，， 故选：]
A. B. C. D.
[endnoteRef:8]．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为( ) [8: ．A 【详解】，∴，过作于，∵直二面角，∴平面，设，∴，，当时取最小值，此时。
]
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
[endnoteRef:9]．下列说法正确的是( ) [9: ．ABC 【详解】对于A，由，则上四分位数为从小到大排列的第6个数和第7个数的算术平均数，得，则展开式中含的项为，所以所求的系数为，故A对；对于B，数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，则去除一个异常点后，其中，则，得到新的回归直线必过点，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以对称轴为，
则函数为偶函数，故C正确；
对于D，在列联表中，，
若每一个数据均变为原来的3倍，则，则变为原来的3倍，故D 错.]
已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为
B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
C. 若随机变量，则函数为偶函数
D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍
其中
[endnoteRef:10]．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，下列选项中关于曲线C的说法正确的有 [10: ．
【解析】解：对于A，令，由得，解得，
因此由解得，所以k可以取、0、1，
因此当时，曲线C与x轴有3个交点，故A错误；
对于B，在曲线C上任取一点，则，因为点关于直线的对称点是，而，所以点在曲线C上，
因此曲线C关于直线对称，故B正确；
对于C，设，因为点P是曲线C上一点，所以，
因此当时，曲线C上的一点P到原点距离，
令，则，∴，∴在上递增，且，
，因此存在，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，，函数，∴，故C错误；
函数的最小值为，所以当时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值大于1，故D正确. 故选：BD ]
A. 当时，曲线C与x轴有4个交点
B. 曲线C图像关于对称
C. 当时，曲线C上的一点P到原点距离的最大值为2
D. 当时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值大于1
[endnoteRef:11]．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则 [11: ．ABD 【解析】设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由已知，的面积为，即，又由余弦定理可知，即，故A正确；的面积为，又，即，当且仅当时取等，故的面积，故B正确； ∵两圆上任意两点之间距离的最大值为两圆的圆心距+两半径之和，因此三个半圆围成的平面区域W的“直径”为的周长的一半，即 当时，BC边上的高为，且其等于，故，即，又，故，故为以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴，故C错误；由A知，，∴（当且仅当时等号成立），又∵，∴，故D正确. ]
A. B. 面积的最大值为
C. 当时， D. d的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
[endnoteRef:12]．已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 . [12: ． 【解析】由，得，即，因为为等差数列，设其公差为d，则，即，所以，即，所以，则，，即]
[endnoteRef:13]．过双曲线右支上的点P作C的切线l，，为双曲线C的左右焦点，N为切线l上的一点，且若，则双曲线的离心率为__________. [13: ． 【解析】设，有切线的方程为，令可得切线与轴交点的横坐标，根据双曲线第二定义可得，
由得，即，所以，故，所以所以]
[endnoteRef:14]．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数可以不选，分别构成集合A，B，C，记中元素的个数为m，则的概率为__________. [14: ． 【解析】解：甲、乙、丙三人分别从两个不同的数中随机选择子集包括空集，构成集合A，B，C，将两个数记为1,2，则子集可能是，，，。故甲乙丙三人总共有种选法，要求计算中仅有一个元素的概率，分以下情况：
三个集合都是单元素集，只能是或，有2种；
两个集合是单元素集，一个集合是双元素集，有种；
一个集合是单元素集，两个集合是双元素集，也有种；
∴最终概率：]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
[endnoteRef:15]．在圆内接四边形中，． [15: ．（1）在中，，
由正弦定理得，所以，
所以，所以，
所以；
（2）所以是四边形外接圆直径，，
设，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
在中，，
所以
，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.]
（1）求的大小；
（2）若，求的面积最大值．
[endnoteRef:16]．已知椭圆C的焦距为2，且过点 [16: ．解：（1）由题意知，且过点，即，，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）假设存在点，使得 ，则 ．
设 ，则 ，
∴ ，直线 的方程为 ．
∵点 在直线上，∴ ，
∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得
∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．]
（1）求C的方程；
（2）若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[endnoteRef:17]．在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. [17: ．（1）平面，平面，平面平面，，
连接，连接，，，在四棱台中，平面平面，平面平面，平面平面，
，又由题意知，四边形是等腰梯形，
，同理，，平面，
底面ABCD是菱形，，∴平面，∴，则；
菱形的边长为2，，，，
，四边形是平行四边形，∴，
∴，∴，∴，∴ ，
∵过的平面分别交，于点，∴平面，∴平面平面；
（2）由（1）知平面，且，以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，
由（1）知且平面，∴，
又在等腰梯形中，∴，∵，∴平面，
∴平面的一个法向量即为，∴，
设，∵，∴，
∴，设直线与平面所成角为，
则，当时取最大值，
此时；
（3）设，，设平面的法向量为，
，令，则，，，
设，，，，，，，，
又在上，设，即，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，，
，平面MAC与平面夹角的余弦值.]
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值；
（3）求平面MAC与平面夹角的余弦值.
[endnoteRef:18]．已知函数. [18: ．解：（1），设，又...........1分
当时，在上单调递减，
，在上无零点................................................................2分
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点.............................3分
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点........................................4分
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点..................................................................5分
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，
由得，，
，
.................................................8分
由函数在单调递增得，
，由在单调递减得........................................11分
②同理，，
由在上单调递减得，
，..............................................................................13分
当为偶数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，
即..............15分
当为奇数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，故不存在使得...................................17分]
(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；
(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设，为数列的前项和.
①证明：；
②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
[endnoteRef:19]．某公司招聘技术人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入最后面试环节.其中A校和B校各4名，C校2名. 名面试者随机抽取1，2，3，，10号的面试序号. [19: ．【答案】解：ⅰ，； ..........3分
ⅱX的可能取值为4，5，6，，10，则， ..........5分
所以k ； ..........9分
新规则的含义是：从第四个人开始，第一个出现比前面的面试者分数都高的人就直接被录取；如果没有出现比前面分数都高的人，就录取第9个人。
①第一种情况，录用了面试得分第一的人，
首先可考虑分母为从9人中任选人排列，此时若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
这种情况的概率为； ..........11分
②第二种情况，录用了面试得分第二的人，
1）若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第9位，其他人任意排列，
这种情况的概率为， ..........13分
2）若面试得分第一的人不在前三位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第kk位，同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
这种情况的概率为， ..........15分
综上，面试得分第一、二的两名毕业生之一被录用的概率为 ..........17分
]
（1）若来自A校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自B校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自C校的2名毕业生的面试序号分别为，，且
ⅰ求概率，
ⅱ记随机变量，求 X的均值
（2）已知一位面试者因事未能到达面试现场，最终只有9人参加面试。经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者. 为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，，集合S中的最小元素为k，最终录用第k位面试者. 如果以新规则面试这9名毕业生，求面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一被录用的概率．
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