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重庆九十五中2024-2025学年下期初2025届九下第三次模拟诊断
数学试题
（本卷共三个大题，满分150分，用时120分钟）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 相反数为（ ）
A B. C. D. 7
2. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查
B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查
C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查
4. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，能判断的条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 估算的结果应在（ ）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
7. 如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第20个图案需用火柴棒的根数为（ ）
A. 20 B. 41 C. 80 D. 81
8. 如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A. 28° B. 82° C. 72° D. 62°
9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
10. 对多项式任意选择其中两项的系数，先变成其倒数后再交换它们的位置，称为“取倒换位”操作．例如：对多项式，进行“取倒换位”操作后，所有可能的结果是：，，则下列说法中正确的个数有（　　）
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的常数项之积为；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的6次项系数之积为；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的9次项的系数之积为．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，如果，那么1的同旁内角等于_________度．
12. 今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
13. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元．
14. 如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________．
15. 如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则_____；______．
16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为______；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是______．
三．解答题（本大题共9小题，17题18题各8分，其余每小题10分，共86分）
17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
18. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O．在的延长线上截取，连接．
（1）尺规作图：过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形为矩形．
证明：，
∴ ①．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵
∴ ②．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴ ③
∴
∴
∴四边形为矩形．
19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：；
八年级10人的得分在B组中的分数为：；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和．
20. 先化简，再求值，其中，是方程的两个根．
21. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元．
（1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？
（2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值．
22. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为．
（1）请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围；
（2）在给定平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23. 如图，早上一渔船以60海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．
（1）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）
（2）天气预报显示12：30台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
24. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标．
25. 在中，点在直线的上方．
（1）如图1，，点在边上，且，若，求的长；
（2）如图2，点为外一点，，，，证明：；
（3）如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积．重庆九十五中2024-2025学年下期初2025届九下第三次模拟诊断
数学试题
（本卷共三个大题，满分150分，用时120分钟）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数为（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．根据定义直接作答即可．
【详解】解：的相反数为；
故选C
2. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握轴对称图形的识别，即可．
【详解】如图所示，A、B、D均不是轴对称图形，
∴C是轴对称图形，
故选：C．
3. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查
B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查
C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的优缺点，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度是关键．根据抽样调查样本的代表性，可操作性结合具体问题情境综合进行判断即可．
【详解】解：A．为了调查观众对《哪吒2》的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．对某批次的新能源电池使用寿命检测，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C．调查河南省中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．企业对招聘人员面试，采用全面调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵，对应高的比为，
∴对应面积的比为，
故选：B．
5. 如图，能判断的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，故A选项符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
无法证明或，故C选项不符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选：A
6. 估算的结果应在（ ）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
在1和2之间，即的结果应在1和2之间．
故选：B．
7. 如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第20个图案需用火柴棒的根数为（ ）
A. 20 B. 41 C. 80 D. 81
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，代数式求值，依次求出前几个图形中火柴棒的根数，根据发现需要的火柴棒的根数依次增加4的规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
摆第1个图案需用的火柴棒的根数为：；
摆第2个图案需用的火柴棒的根数为：；
摆第3个图案需用的火柴棒的根数为：；
…，
所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为根．
当时，
(根)．
故选：D．
8. 如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A. 28° B. 82° C. 72° D. 62°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
，
，
．
故选D．
9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等数学概念．
过点作交于点，通过构造全等三角形，将已知线段、与正方形的对角线建立联系，进而求出的长度．
【详解】解：过点作交于点．
四边形是正方形，
，，
，
又，即，
，
．
，，
，
，
，
又，，，
．
在和中，
，
．
，．
，，
根据勾股定理．
．
在中，，
．
故选∶A．
10. 对多项式任意选择其中两项的系数，先变成其倒数后再交换它们的位置，称为“取倒换位”操作．例如：对多项式，进行“取倒换位”操作后，所有可能的结果是：，，则下列说法中正确的个数有（　　）
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的常数项之积为；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的6次项系数之积为；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式的9次项的系数之积为．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义、倒数、同底数幂等知识点，理解新定义是解题的关键. 分别对三个多项式进行操作，然后计算相关常数项和系数的积，判断每个说法的正确性．
【详解】解：多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式、、，常数项之积为：，故正确；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、，得到的所有多项式的6次项系数之积为，故错误；
对多项式进行“取倒换位”操作后，得到的所有多项式、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、，得到的所有多项式的9次项的系数之积为
，故正确；
故选：C．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，如果，那么1的同旁内角等于_________度．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查同旁内角的概念，对顶角的性质，由于，利用对顶角的性质求出，而就是的同旁内角，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴的同旁内角等于
故答案为：100．
12. 今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》为、、、，画树状图如下：
一共有种等可能的情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有种，
这两位同学选择观看相同影片的概率为．
故答案为：．
13. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元．
【答案】3或4
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可．
【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 ，
答：每箱降价3或4元．
14. 如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
15. 如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则_____；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、圆周角定理，结合图形构造直角三角形是解题的关键．作于点，连接，作于点，由是的直径，得出，在中利用正切的定义求出的长，再通过解和得到、的长，求出的长，利用正切的定义得到，设，则，，通过证明得到，解出的值，再证明得到，求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：作于点，连接，作于点，
，，
，，
是的直径，
，
，
在中，，
，
，，
，，
，
，
，即
，
，
设，则，，
，，
，
，即，
解得：，
，，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
综上所述，，．
故答案为：；．
16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为______；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数”的概念．
根据“跳跃数”概念列出关于m的方程解答即可，设满足条件的“跳跃数”的最大值是，根据“跳跃数”的概念得出，再根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得出答案．
【详解】解：是“跳跃数”，
，
解得：，
这个数为；
设满足条件的“跳跃数”的最大值是，
，
，
b，c，d是中的整数，
，，
满足条件的“跳跃数”的最大值是，
前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，且，
是7倍数，
，
是7的倍数，
c最大为6，
，
满足条件的“跳跃数”的最大值是．
故答案为：，．
三．解答题（本大题共9小题，17题18题各8分，其余每小题10分，共86分）
17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解.
【详解】解：，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：-1，0，1.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O．在的延长线上截取，连接．
（1）尺规作图：过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形为矩形．
证明：，
∴ ①．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵
∴ ②．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴ ③
∴
∴
∴四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形．
【小问1详解】
解：如图：点F即为所求作：
作法：∵，∴分别以A，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点；
【小问2详解】
证明：，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴
∴
∴
∴
∴四边形为矩形．
【点睛】本题考查了尺规作图-作垂线，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图．
19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：；
八年级10人的得分在B组中的分数为：；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和．
【答案】（1）83，，20
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，理由见解析（答案不唯一）
（3）188人
【解析】
【分析】（1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形扇形统计图和B组得分可得求出m和b；
（2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可；
（3）分别求出七、八两个年级得分在A组的人数，然后相加即可．
【小问1详解】
解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多，
∴众数．
∵八年级C组人数：，
八年级D组人数：，
八年级B组人数：4，
∴八年级A组人数：，
∴，
∴．
∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案：86，，20；
【小问2详解】
解：八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
【小问3详解】
解：∵人，人，
∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人．
【点睛】本题考查了条形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 先化简，再求值，其中，是方程的两个根．
【答案】 ，2
【解析】
【分析】先利用分式的运算法则进行化简，再利用根与系数的关系得到的值代入求解．
【详解】解：
，
∵，是方程的两个根，
∴ ，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知根与系数的关系．
21. “百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元．
（1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？
（2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值．
【答案】（1）每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
（1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案；
（2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，
根据题意，得，
解得：，
答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元；
【小问2详解】
降价后，书历单价为元，手环单价为元，
根据题意，得，
解得：，经检验，是分式方程的解，
答：的值为．
22. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为．
（1）请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】（1），
（2）函数图像见解析：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算，函数的图象和性质，动点问题的函数图象，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到，当时，当时，根据三角形的面积公式得到；根据题意得到；
（2）根据题意画出函数图象，由函数图象得到函数的性质即可；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
当时，则，
；
当时，则，
，
综上所述，；
，
，
即；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示；
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一）
【小问3详解】
解：由函数图象得，当时，的取值范围为．
23. 如图，早上一渔船以60海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．
（1）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）
（2）天气预报显示12：30台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】（1）海里
（2）73.5海里/时
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
（1）作辅助线，构建直角三角形，设，则，根据30角的正切列式可得的值，确定的长；
（2）渔船从早上出发，航行2个小时到达处，天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船提前1个小时抵达避风港，即在上航行需要2个小时，根据速度路程可得结论．
【小问1详解】
解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，
由题意可知，，，，，，
在中，
，
在中，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
（海里）；
答：海港与灯塔之间的距离是海里；
【小问2详解】
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
加速后的最小速度为：（海里/时），
答：渔船加速后的最小速度73.5海里时．
24. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）最大值为4，此时；
（3），．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解；
（3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解；
【小问1详解】
解：把，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：过点Q作轴于点D，如图：
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：
，
解得：
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为4，此时；
【小问3详解】
解：设直线的表达式为：，
把，代入得：
，
解得： ，
∴直线的表达式为：，
将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，
则，
当时，，则，
∴，
联立上式和直线的表达式得：，
解得： 或（舍去），
∴点，
当点M在下方时，
∵，
∴，
则直线的表达式为：，
当点M上方时，
同理可得：直线的表达式为：，
分别联立和新抛物线的表达式得：或
解得：或，
故，．
25. 在中，点在直线的上方．
（1）如图1，，点在边上，且，若，求的长；
（2）如图2，点为外一点，，，，证明：；
（3）如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得；
（2），证明：在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得证；
（3）将绕点旋转，得到，取的中点，连接，证明，进而得到，得到点在以为直径的圆上，推出当三点共线时，取得最小值为，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作，根据锐角三角函数求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：设，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解： 如图，在取一点，使得，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【小问3详解】
将绕点旋转，得到，取的中点，连接，则：，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴，，
∴当三点共线时，取得最小值为，
∵，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
过点作，
则：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的位置，是解题的关键．

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