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《6.2 用表格表示变量之间的关系》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
预备性知识：
问题1：变量是 在变化过程中，数值发生变化的量称为变量 .
问题2：常量是 在变化过程中，数值始终不变的量称为常量 .
问题3：如何区分自变量和因变量：
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是自变量，y是因变量 .
活动1：（基础性目标）
实验：估测反应时间
如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上.测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离.不同的反应距离对应不同的反应时间.
问题1：记录实验数据，填写下表.
反应距离 /cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反应时间 /s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
问题2：当反应距离为10cm时，反应时间是多少？
0.143 s
问题3：反应距离越大的人，其反应时间有什么特点
反应距离越大的人，其反应时间也越长.
问题4：反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗
0.111-0.101=0.01，0.120-0.111=0.009.
因为0.01≠0.009，所以反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况不相同.
问题5：小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5cm，18cm，你能估计他们的反应时间吗
小明的反应时间约为(0.136+0.143)÷2≈0.140(s)，
同桌的反应时间约为(0.175-0.169)×(18-15)+0.175 =0.193(s).
活动2：（拓展性目标）
2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元):
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
问题6：如果用x表示年份，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
随着x的增大，y逐渐增大.
问题7：2016-2022年我国国内生产总值是怎样变化的
从2016年开始，时间每推后1年，我国国内生产总值分别增加8万亿元、9万亿元、7万亿元、2万亿元、14万亿元、5万亿元.
问题8：根据表格，预测2030年我国国内生产总值.
(万亿元)，
预计2030年我国国内生产总值为180万亿元.
总结：借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
活动3：（拓展性目标）
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
反映了每公顷氮肥施用量和每公顷土豆产量之间的关系；每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量是因变量.
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是多少 如果不施氮肥呢
当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是32.29 t/hm2；如果不施氮肥，土豆的产量是15.18 t/hm2.
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜 说说你的理由.
氮肥施用量为336kg/hm2比较适宜，因为此时土豆的产量最高；
或氮肥施用量为259kg/hm2比较适宜，因为此时土豆的产量与氮肥施用量为336kg/hm2时差不多，又可以节约肥料.
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
当每公顷氮肥施用量为34~336kg时，每公顷土豆的产量逐渐增加；当每公顷氮肥施用量为336~471kg时，每公顷土豆的产量逐渐减少。
活动4：（拓展性目标）
问题10：据统计，某公交车每月的支出费用为3 000元，每月利润（利润= 票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）：
每月乘车人数/人 600 900 1 200 1 500 1 800 …
每月利润/元 0 600 …
（1）在这个变化过程中，自变量是___每月乘车人数___，因变量是____每月利润______.
（2）观察表中数据可知，每月乘车人数至少达到___1500 __人时，该公
交车才不会亏损.
（3）由表中数据可推断出该公交车的票价为_2__元.
（4）求每月乘车人数为5 000人时的每月利润.
解：由表中数据可知，每月的乘车人数每增加300人，每月的利润可增加600元，
当每月的乘车人数为1 500人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为5 000人时
，每月利润为((5 000 1 500))/300×600=7 000 （元）.
活动5：（挑战性目标）
问题11：请你运用本节课的知识，选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
当堂检测
必做题：
1.(基础练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如表所示：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（　D　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度为24.5cm
2.(拓展练习）弹簧原长（不挂重物）10cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：
弹簧总长L（cm） 11 12 13 14
重物重量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0
当重物质量为4kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　C　）
A．17 B．17.5 C．18 D．18.5
3.(拓展练习) 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
下列说法中，错误的是（　C　）
A．自变量是刹车时的速度
B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m
C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h
D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾
4.(挑战练习) 盘秤是一种常见的称量工具，指针转过的角度与被称物体的重量有一定的关系，如表所示：
重量（单位：千克） 0 2 2.5 3 b
指针转过的角度 0° 36° a° 54° 180°
（1）请直接写出a、b的值；
（2）指针转过的角度不得超过360°，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由．
（3）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大108°，该顾客一共购买了多少千克水果．
解：（1）由表格可得：36°÷2＝18°，
∴a°＝18°×2.5＝45°，
b＝180°÷18°＝10，
即a的值是45，b的值是10；
（2）称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤；理由如下：
∵18×18°＝324°＜360°，
∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤；
（3）设第一次购买水果x千克，则第二次购买水果（2x+3）千克，
依题意得：（2x+3）﹣x＝108°÷18°，
解得x＝3，
∴2x+3＝9，
∴3+9＝12（千克），
答：该顾客一共购买了12千克水果．
课后作业（可根据自身情况选做）
必做题：
1.(拓展练习) 高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度（m）与空气含氧量（g/m3）之间关系的一组数据：
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1
下列说法不正确的是（　B　）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量
B．海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少33.8g/m3
C．在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m3
D．当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m3
2.（拓展练习）声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速．
气温 x（℃） 0 5 10 15 20
音速 y（m/s） 331 334 337 340 343
（1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，　气温　 是自变量，　音速　 是因变量；
（2）除夕之夜，气温是5℃，小天看见烟花燃放3s后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？
由题意可知，气温是5℃时，音速为334m/s，则334×3＝1002（米），
答：元旦之夜，气温是5℃，小天看见烟花燃放3s后，才听到其声响，小天离燃放烟花的距离为1002米．
3. （拓展性练习）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格：
距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5
温度/℃ 20 14 8 2 4 ﹣10
（1）如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用b表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）你知道距离地面4千米的高空温度是多少摄氏度吗？
（4）你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少摄氏度吗？
解：（1）由题意可得：距离地面高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知：随着b的增加，t在减小．
（3）由表可知：距离地面4千米的高空温度是4℃．
（4）从表格中可以看出，高度每增加1千米，温度下降6℃，
∴距离地面6千米的高空的温度是﹣10﹣6＝﹣16（℃）．
4.（挑战性练习）完成课堂中的活动4.
选做题：
1.(拓展练习）下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据，实验过程共加热15分钟：
时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
温度（℃） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 100 100
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
（2）根据表格，你认为12分钟、13分钟时，水的温度是多少？
（3）为了节约能源，你认为烧开水的时候应该在大约几分钟关闭煤气？
解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系；
（2）根据表格，可得：时间为12分钟和13分钟时，水的温度是100℃；
（3）为了节约能源，烧开水的时候应该在大约8分钟关闭煤气．
2.(挑战练习）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立万米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）上表中 　放水时间　 是自变量； 　游泳池的存水量　 是因变量；
（2）当放水时间为1小时时，游泳池的存水是为 　858　 立方米；当放水时间为4小时时，游泳池的存水量为 　624　 立方米；
（3）说一说这个游泳池的存水量从放水1小时至12小时是怎样变化的；
（4）请你估计当放水5.5小时和9小时时，游泳池的存水量分别是多少立方米？
（3）由表可知：随着时间的增加，存水量逐渐减小；
（4）由表可知：每增加1小时，存水量减少858﹣780＝78（立方米）．
546﹣78÷2＝507（立方米）．
468﹣78×（9﹣6）＝234（立方米）．
答：估计当放水5.5小时时，游泳池的存水量是507立方米；当放水9小时时．游泳池的存水量是234立方米．
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
预备性知识：
问题1：变量是 _______________________________________ .
问题2：常量是 _______________________________________ .
问题3：如何区分自变量和因变量：
_________________________________________________________________________ .
活动1：（基础性目标）
实验：估测反应时间
如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上.测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离.不同的反应距离对应不同的反应时间.
问题1：记录实验数据，填写下表.
反应距离 /cm
反应时间 /s
问题2：当反应距离为10cm时，反应时间是多少？
问题3：反应距离越大的人，其反应时间有什么特点
问题4：反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗
问题5：小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5cm，18cm，你能估计他们的反应时间吗
活动2：（拓展性目标）
2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元):
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
问题6：如果用x表示年份，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
问题7：2016-2022年我国国内生产总值是怎样变化的
问题8：根据表格，预测2030年我国国内生产总值.
总结：
活动3：（拓展性目标）
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是多少 如果不施氮肥呢
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜 说说你的理由.
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
活动4：（拓展性目标）
问题10：据统计，某公交车每月的支出费用为3 000元，每月利润（利润= 票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）：
每月乘车人数/人 600 900 1 200 1 500 1 800 …
每月利润/元 0 600 …
（1）在这个变化过程中，自变量是___ __，因变量是____ _____.
（2）观察表中数据可知，每月乘车人数至少达到___ __人时，该公
交车才不会亏损.
（3）由表中数据可推断出该公交车的票价为_ __元.
（4）求每月乘车人数为5 000人时的每月利润.
活动5：（挑战性目标）
问题11：请你运用本节课的知识，选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
当堂检测
必做题：
1.(基础练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如表所示：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度为24.5cm
2.(拓展练习）弹簧原长（不挂重物）10cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：
弹簧总长L（cm） 11 12 13 14
重物重量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0
当重物质量为4kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　　）
A．17 B．17.5 C．18 D．18.5
3.(拓展练习) 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
下列说法中，错误的是（　　）
A．自变量是刹车时的速度
B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m
C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h
D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾
4.(挑战练习) 盘秤是一种常见的称量工具，指针转过的角度与被称物体的重量有一定的关系，如表所示：
重量（单位：千克） 0 2 2.5 3 b
指针转过的角度 0° 36° a° 54° 180°
（1）请直接写出a、b的值；
（2）指针转过的角度不得超过360°，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由．
（3）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大108°，该顾客一共购买了多少千克水果．
课后作业（可根据自身情况选做）
必做题：
1.(拓展练习) 高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度（m）与空气含氧量（g/m3）之间关系的一组数据：
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1
下列说法不正确的是（　　）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量
B．海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少33.8g/m3
C．在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m3
D．当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m3
2.（拓展练习）声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速．
气温 x（℃） 0 5 10 15 20
音速 y（m/s） 331 334 337 340 343
（1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，____　 是自变量，____　 是因变量；
（2）除夕之夜，气温是5℃，小天看见烟花燃放3s后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？
3. （拓展性练习）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格：
距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5
温度/℃ 20 14 8 2 4 ﹣10
（1）如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用b表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）你知道距离地面4千米的高空温度是多少摄氏度吗？
（4）你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少摄氏度吗？
4.（挑战性练习）完成课堂中的活动4.
选做题：
1.(拓展练习）下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据，实验过程共加热15分钟：
时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
温度（℃） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 100 100
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
（2）根据表格，你认为12分钟、13分钟时，水的温度是多少？
（3）为了节约能源，你认为烧开水的时候应该在大约几分钟关闭煤气？
2.(挑战练习）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立万米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）上表中 _______　 是自变量；_______　 是因变量；
（2）当放水时间为1小时时，游泳池的存水是为 _______　立方米；当放水时间为4小时时，游泳池的存水量为_______　立方米；
（3）说一说这个游泳池的存水量从放水1小时至12小时是怎样变化的；
（4）请你估计当放水5.5小时和9小时时，游泳池的存水量分别是多少立方米？
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