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(共46张PPT)
1.1 三角形中的线段和角
第1章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的三边关系
三角形的边和角的关系
三角形的中线、角平分线、高
知识点
三角形的三边关系
知1－讲
1
1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下：
文字语音 表达方式 理论依据 图形
三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短
三角形的任意两边 之差小于第三边 a－bb>c)
知1－讲
2. 三角形三边关系的应用
(1)判断三条线段能否组成三角形；
(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围；
(3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；
(4)证明线段的不等关系；
(5)化简含绝对值的式子.
知1－讲
特别解读
1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较.
2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b知1－练
例 1
下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能组成三角形的有哪些？
(1)6 cm，8 cm，10 cm；
(2)5 cm，8 cm，2 cm；
(3)长度之比为4∶5∶6；
(4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0)
解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.
知1－练
解：(1)∵ 6 cm＋8 cm> 10 cm ，
∴长度为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三条线段能组成三角形.
(2)∵ 5 cm＋2 cm< 8 cm ，
∴长度为5 cm ，8 cm ，2 cm 的三条线段不能组成三角形.
(3)设这三条线段的长度分别为4x，5x，6x(x>0).
∵ 4x＋5x>6x，
∴长度之比为4∶5∶6 的三条线段能组成三角形.
知1－练
(4)∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ，当a>0 时，2a＋3 >a＋3，
∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能组成三角形.
综上可知，能组成三角形的有(1)(3)(4)．
知1－练
方法点拨
确定三条线段能否组成三角形的两种方法：
1. 看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若大于，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.
2. 看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三条线段，若小于，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.
知1－练
用一根长16 cm 的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4 cm，x cm，y cm 且有两边相等，求x，y的值.
解题秘方：本题中哪两边相等并未指明，需要分情况求解.
例 2
知1－练
解：当x＝4时，y＝16－4－4＝8，4＋4＝8，不能组成三角形，不符合题意；当y＝4 时，x＝16－4－4＝8 ，4＋ 4＝8，不能组成三角形，不符合题意；当x＝y 时，x＝y＝＝6，4＋6>6，能组成三角形，符合题意.
综上可知，x＝y＝6.
知1－练
解法提醒
本题运用分类讨论思想，对相等的两边分三种情况进行求解，同时还要注意求得的边长是否满足三角形的三边关系.
知2－讲
知识点
三角形的边和角的关系
2
1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下：
如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC，
我们可以通过折纸的方式比较∠B
和∠C的大小.
知2－讲
把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2，
因为AB>AC，
所以点C落在边AB上的点C′处.
所以∠AC′D＝∠C.
由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B，
所以∠C>∠B.
知2－讲
2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”.
知2－讲
特别提醒
“同一个”不能省略，如果去掉这个前提，结论就不成立了.
知识链接
翻折属于轴对称变换，对应角相等.
知2－练
[荣德原创题]如图1.1-3，在△ABC中，AC>AB，∠A> ∠B，则下列判断正确的是( )
A. ∠A>∠B>∠C
B. ∠B>∠A>∠C
C. AC>BC>AB
D. AC>AB>BC
例 3
知2－练
答案：A
解题秘方：根据“在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边”进行判断.
解：因为AC>AB，所以∠B>∠C.
因为∠A>∠B，所以∠A>∠B>∠C，BC>AC.
所以BC>AC>AB.
知2－练
解题通法
利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系.
知3－讲
知识点
三角形的中线、角平分线、高
3
1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下：
知3－讲
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个 内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作 三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高
知3－讲
续表
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
图形 语言 BD＝DC ∠1＝∠2
AD⊥BC
作图 语言 取BC边的中点D，连接AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D 过点A作AD⊥ BC于点D
知3－讲
续表
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
表 达 方 式 (1)AD是△ABC 的中线；(2)AD是△ABC的边BC上的中线；(3)BD＝DC＝BC；(4)点D是边BC的中点 (1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC， 交BC于点D；(3)∠1＝∠2＝∠BAC (1)AD是△ABC 的高；(2)AD是△ABC 的边BC上的高；(3) AD⊥BC于点D；
(4)∠ADC＝90°或∠ADB＝90°
知3－讲
续表
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
推理 语言 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝ DC＝BC 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1＝∠2＝∠BAC 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
注意 事项 在三角形的内部 (1)与角的平分线不同；(2)在三角形的内部 (1)与边的垂线不同；(2)不一定在三角形的内部
知3－讲
续表
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
重要 特征 一个三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点 一个三角形有三条 角平分线，它们相 交于三角形内一点 三角形的三条高所在的直线相交于一点
知3－讲
特别解读
1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系：
(1)两个三角形的面积相等；
(2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差.
2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点.
知3－讲
特别提醒
1. 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.
2. 三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故三角形的角平分线具有角的平分线的性质.
3. 三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足.
4. 画三角形高的关键：找准顶点和对边. 步骤：过直线外一点作该直线的垂线段.
知3－讲
2. 三角形三条高的位置
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图形
知3－讲
续表：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部
知3－讲
续表：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高 的交点 三条高交于三角形内一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
知3－讲
3. 三角形中三个重要的点(拓展)：三条高所在直线的交点叫垂心，三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心.
知3－练
如图1.1-4，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.
例 4
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
知3－练
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；
解：∵ AD是△ABC的中线，∴ BD＝CD.
∴ △ABD与△ADC的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.
∵△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，
∴ 8－AC＝3，解得AC＝5 .
知3－练
(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.
解：∵ AD是△ABC的中线，S△ABC＝8，
∴ S△ABD＝S△ABC＝4 .
∵ BE是△ABD的中线，∴ S△ABE＝S△ABD＝2 .
知3－练
方法点拨
解答有关三角形中线的周长和面积问题，需要熟记三角形中线的定义，并能把周长的差转化为线段的差，求三角形的面积需利用“中线等分面积”.
知3－练
如图1.1-5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接EF，EF交AD于点O.
求证：DO是△DEF的角平分线.
例 5
解题秘方：根据三角形的角平分线的定义进行证明.
知3－练
证明：如图1.1 -5，∵ AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2 .
∵ DE∥AB，DF∥AC，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.
∴∠3＝∠4 .
∴ DO是△DEF的角平分线.
知3－练
解题通法
本题在证明过程中，先利用三角形的角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件推出新的相等的角，最后由三角形的角平分线的定义证明是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法.
知3－练
[月考·无锡江阴市]如图1.1-6，在△ABC中，边AB上的高线画法正确的是( )
例 6
知3－练
解题秘方：紧扣“三角形的高”的定义进行识别.
解：A选项中，AH是边BC上的高线；C选项中，AH没有过顶点C，不是边AB上的高线；D选项中，BH是边AC上的高线. 所以选项A，C，D都不符合题意.
答案：B
知3－练
特别提醒
找三角形某边上的高的方法：
1. 找出该边所对的顶点；
2.过此顶点作该边所在直线的垂线，垂线段为该边上的高.
如：作△ABC中边BC上的高，找边BC所对的顶点A，过点A作BC所在直线的垂线(E为垂足)，垂线段AE即为边BC上的高.
知3－练
如图1.1-7，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.
例 7
解题秘方：紧扣“面积法”——同一个三角形的面积相等，列等式(或方程)求线段的长.
知3－练
(1)△ABC的边BC上的高为_____，边AB上的高为_____；
解：△ABC是钝角三角形，由三角形的高的定义和钝角三角形高的位置可知，边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.
AE
CD
知3－练
(2)若AB＝5，BC＝2，CD＝，则AE＝______.
解：∵ S△ABC＝BC·AE＝AB·CD，
∴ ×2×AE＝×5×，解得AE＝.
知3－练
方法点拨
在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比例关系.
三角形中的线段和角
三角形中的
线段和角
三边
关系
边和角
的关系
边和角
重要
线段
中线
角平分线
高

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