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1.2 全等三角形
第1章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
全等三角形
全等三角形的性质
知识点
全等三角形
知1－讲
1
1. 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形.
知1－讲
2. 三种常见的全等类型
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
知1－讲
3. 全等三角形的表示方法图1.2 - 1中的△ABC和△A′B′C′是全等三角形，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“△ABC全等于△A′B′C′”.
知1－讲
4. 全等三角形的对应元素 图1.2 -1中，顶点A和A′，B和B′，C和C′是对应顶点，AB和A′B′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应边，∠A和∠A′，∠B和∠B′，∠C和∠C′是对应角.
注意：用符号表示两个
三角形全等时，通常把
对应顶点的字母写在对
应的位置上.
知1－讲
特别解读
对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角.
知1－讲
方法提醒
1. 两个全等三角形找对应边的方法:①最长边是对应边，最短边是对应边;② 公共边是对应边; ③ 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
2. 两个全等三角形找对应角的方法:①最大角是对应角，最小角是对应角;②公共角是对应角，对顶角是对应角; ③对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角.
知1－练
例 1
如图1.2-2，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角.
解题秘方：根据图形的位置特征确定对应边和对应角.
解：对应边：AB和DC，BC和CB，AC和DB；对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DCB，∠ACB和∠DBC.
知1－练
如图1.2-3，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转一定角度后得到△DBE，请判断图中△ABC和△DBE是不是全等三角形. 若是，写出其对应边和对应角.
例 2
知1－练
解题秘方：根据图形旋转前后的对应位置找对应关系.
解：△ABC≌△DBE.
对应边：AB和DB，AC和DE，BC和BE；
对应角：∠A和∠BDE，∠ABC和∠DBE，∠C和∠E.
知1－练
解题通法
图形的三种变换，即平移、轴对称和旋转是全等变换，即变换前后的图形全等.本题中要根据旋转的特征寻找对应元素.
知2－讲
知识点
全等三角形的性质
2
1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何语言：如图1.2 -4，∵△ABC≌△DEF，
∴ AB＝DE，BC＝EF，
AC＝DF，∠A＝∠D，
∠B＝∠E，∠C＝∠F.
知2－讲
2. 拓展：全等三角形的对应元素相等.
全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等.
知2－讲
要点提醒
应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件：
1. 两个三角形全等；
2. 找准对应元素.
知2－讲
易错警示
周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.
知2－练
如图1.2-5，已知△ABC≌△EDF，求证：
(1)DC＝BF；(2)AC∥EF.
例 3
知2－练
思路导引：
知2－练
证明：（1）∵△ABC≌△EDF，∴ DF＝BC.
∴ DF－CF＝BC－CF，即DC＝BF.
(2)∵△ABC≌△EDF，
∴∠ACB＝∠EFD.
∴ AC∥EF.
知2－练
特别解读
全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法，关键是抓住“对应”两字，结合图形或用符号表示两个三角形全等时字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角.
知2－练
如图1.2-6，已知点A，D，B，F在同一条直线上，
△ABC≌△FDE，AB＝8 cm，BD＝6 cm. 求FB的长．
例 4
解题秘方：由全等三角形的性质知AB＝FD，由等式的基本性质可得AD＝FB，所以要求FB的长，只需求AD的长.
知2－练
解：∵△ABC≌△FDE，∴ AB＝FD.
∴ AB－DB＝FD－BD，即AD＝FB.
∵ AB＝8 cm ，BD＝6 cm ，
∴ AD＝AB－DB＝8－6＝2(cm).
∴ FB＝AD＝2 cm.
知2－练
方法点拨
全等三角形的性质在几何证明和计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的边时，可利用等式的基本性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系.
知2－练
如图1.2-7，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数.
例 5
知2－练
思路导引：
知2－练
解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠C，∠A＝∠BED＝∠CED.
又∵∠BED＋∠CED＝180° ，
∴∠BED＝∠CED＝90°. ∴∠A＝90°.
∴∠ABD＋∠EBD＋∠C＝180°－∠A＝90°.
∴ 3∠C＝90° ，解得∠C＝30°.
知2－练
方法点拨
利用全等三角形的性质求角的度数的方法：
先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数.
全等三角形
全等三角形
表示方法
对应元素
性质

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