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1.3 全等三角形的判定
第1章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
基本事实“边角边”或“SAS”
基本事实“角边角”或“ASA”
“角角边”或“AAS”
基本事实“边边边”或“SSS”
三角形的稳定性
全等三角形的判定和性质的综合应用
直角三角形全等的判定
知识点
基本事实“边角边”或“SAS”
知1－讲
1
1. 已知两边及其夹角作三角形
要求 作法 图示
已知：如图，∠α和线段a，c. 求作：△ABC，使∠B＝∠α，BC＝a，AB＝c. ①作∠MBN＝∠α； ② 在射线BM，BN 上分别截取BC＝ a，AB＝c； ③ 连接AC，则△ABC为所求作的三角形.
知1－讲
2. 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
知1－讲
3. 书写格式 如图1.3 -1，
在△ABC和△A'B'C'中 ，
∴△ABC≌△A‘B’C‘(SAS）
把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来.
知1－讲
特别解读
在书写两个三角形全等的条件“边角边”时，要按照“边→角→边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角分别相等.
知1－讲
注意
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角(SSA)”不能作为判定两个三角
形全等的条件. 如图1.3 - 2，在△ABC
和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，
∠B＝∠B，显然△ABC和△ABD不全等.
知1－练
例 1
如图1.3-3，AB∥DC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABE≌△DCF.
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两边及其夹角对应相等，利用“SAS”判定两个三角形全等.
知1－练
证明：∵ AB∥DC，∴∠D＝∠A.
∵ AF＝DE，
∴ AF＋FE＝DE＋EF，即AE＝DF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS).
将已知条件转化为两个三角形的对应边相等.
知1－练
教你一招
常见的隐含等角的情况：①公共角相等；② 对顶角相等；③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补)角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等.
知2－讲
知识点
基本事实“角边角”或“ASA”
2
1. 已知两角及其夹边作三角形
要求 作法 图示
已知：如图，∠α，∠β和线段a. 求作： △ABC， 使∠ABC＝ ∠α， ∠ACB＝ ∠β，BC＝a. ①作线段BC＝a；② 在BC的同侧，分别作∠DBC＝ ∠α，∠ECB＝∠β，BD与CE相交于点A，则△ABC为所求作的三角形
知2－讲
2. 基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
3. 书写格式：如图1.3 -4 ，在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)
知2－讲
特别解读
在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角→边→角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边分别相等.
知2－练
[中考· 乐山]如图1.3-5，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE. 求证：△ABD≌△BCE．
例 2
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
知2－练
证明：∵ B为线段AC的中点，∴ AB＝BC.
∵ AD∥BE，BD∥CE，
∴∠A＝∠EBC，∠C＝∠DBA.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(ASA)
知2－练
方法点拨
运用“ASA”判定两个三角形全等，既要找边相等，又要找角相等，除已知条件外，看缺什么条件，就去找什么条件. 另外，判定两个三角形全等后可以运用其性质，得出线段或角的相等关系.
知3－讲
知识点
“角角边”或“AAS”
3
1. 基本事实 “角边角”的推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
知3－讲
2. 书写格式：如图1.3 -6 ，在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
知3－讲
3. “ASA”和“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA” 推导得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
知3－讲
特别解读
1. 判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的；
2. 由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明；
3. 在运用“ASA” 和“AAS”判定时，要注意“夹边”和“对边”的区别.
知3－练
已知：如图1.3-7，点D为线段BC上一点，BD＝AC，
∠E＝∠ABC，DE∥AC. 求证：△BDE≌△ACB.
例 3
知3－练
解题秘方：找出两个三角形中两组等角及其中一组等角的对边相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.
证明：∵ DE∥AC，∴∠EDB＝∠C.
在△BDE和△ACB中，
∴△BDE≌△ACB(AAS).
知3－练
方法点拨
证明三角形全等时找条件的方法：
证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、公共角、公共边等，还有些条件是由平行线的性质得出的.
知4－讲
知识点
基本事实“边边边”或“SSS”
4
1. 已知三边作三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规作 △ABC， 使AB＝c， AC＝b，BC＝a. ①作线段BC＝a； ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形
知4－讲
2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
3. 书写格式：如图1.3 -8，
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
知4－讲
特别解读
三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，因此不一定全等.
知4－练
如图1.3-9，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝
FE，BC＝DE，AD＝FB. 求证：△ABC≌△FDE.
例 4
知4－练
解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.
证明：∵ AD＝FB，∴ AD＋DB＝FB＋DB，
即AB＝FD.
在△ABC和△FDE中，
∴△ABC≌△FDE(SSS)
知4－练
方法点拨
除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中. 常见的有：
1. 公共边相等；
2. 等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；
3. 由中点得出线段相等.
知5－讲
知识点
三角形的稳定性
5
1. 三角形的稳定性
只要三角形三条边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.
全等三角形的判定定理(边边边)
知5－讲
2. 三角形稳定性的应用
(1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都采用三角形结构，如起重机、钢架桥等.
(2)(拓展)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形. 四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.
知5－讲
示图
知5－练
李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图1.3-10，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形. 请帮李明解决这个问题.
例 5
知5－练
解题秘方：根据三角形的稳定性，将钢架分割成三角形.
解：如图1.3-11 ①② .
(答案不唯一，只要将钢架
分割成三角形即可)
知5－练
解题通法
不管用什么方法，只要将六边形分割成若干个三角形，它就是稳固的.
知6－讲
知识点
全等三角形的判定和性质的综合应用
6
判定两个三角形全等常用的方法：判定两个三角形全等需要三组元素对应相等，在具体解题时，其中两组元素对应相等往往是已知的或容易得到的，而寻找第三组元素相等，则需要一定的方法，如下表：
知6－讲
已知条件 判定方法选择思路 选择的判定方法
已知两边对应 相等 找第三边对应相等 SSS
找这两条已知边的夹角对应相等 SAS
知6－讲
续表
已知条件 判定方法选择思路 选择的判定方法
已知 一边 一角 对应 相等 已知一边 及其邻角 找这边的另一个邻角对应相等 ASA
找这边的对角对应相等 AAS
找这个角的另一邻边对应相等 SAS
已知一边 及其对角 找对角之外的任一角对应相等 AAS
知6－讲
续表
已知条件 判定方法选择思路 选择的判定方法
已知两角对应 相等 找这两个已知角的夹边对应相等 ASA
找夹边之外的任意一边对应相等 AAS
知6－讲
特别提醒
在两个三角形的六组元素(三组边和三组角)中，由已知的三组元素可判定两个三角形全等的组合有4个：“边边边”、“边角边”、“角边角”和“角角边”，不能判定两个三角形全等的组合是“角角角”和“边边角”.
知6－练
如图1.3-12，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF. 求证：
BE∥CF.
例 6
知6－练
解题秘方：利用角的关系推出直线间的位置关系，角的关系一般由三角形全等得到，然后寻找判定三角形全等所需的条件.
证明： ∵ AB∥CD，
∴ ∠DCO＝∠ABO，∠CDO＝∠BAO.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS). ∴ OB＝OC.
∵OA＝OD，AE＝DF，∴OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.
知6－练
在△COF和△BOE中，
∴△COF≌△BOE(SAS).
∴∠F＝∠E，∴ BE//CF.
知6－练
知6－练
另解
由△AOB≌△DOC，得AB＝DC，由∠CDO＝∠BAO，得∠CDF＝∠BAE.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF(SAS).所以∠E＝∠F. 所以BE//CF.
知7－讲
知识点
直角三角形全等的判定
7
1. 表示方法：直角三角形ABC，简记为“Rt△ABC”.
2. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)
知7－讲
3. 书写格式：如图1.3 -13，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
知7－讲
4. 易错警示 “HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然适用.
知7－讲
特别提醒
1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时一定要加上“Rt”.
2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
知7－练
已知：如图1.3-14，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F. 求证：CE＝DF.
例 7
知7－练
解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件.
证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴∠CBE＝∠DAF.
∵ CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
在△BCE和△ADF中，
∴△BCE≌△ADF(AAS). ∴ CE＝DF.
知7－练
知7－练
技巧点拨
两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需要再找2组对应元素分别相等(其中至少有一组边).
全等三角形的判定
一般
三角
形全
等的
判定
方法
两边及夹角(SAS)
两角一边(ASA或AAS)
三边(SSS)
斜边、直角边(HL)
直角
三角
形全
等的
判定
方法

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