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1.4 线段垂直平分线与角平分线
第1章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的判定
角平分线的性质
角平分线的判定
知识点
线段垂直平分线的性质
知1－讲
1
1. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
3. 几何语言：如图1.4 -1，
∵ AD⊥BC，BD＝CD，
∴ AB＝AC.
知1－讲
特别解读
用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知1－练
例 1
如图1.4-2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长
为13 cm，则AE 的长为( )
A. 3 cm B. 6 cm
C. 12 cm D. 16 cm
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化，求出AC的长，从而求出AE的长.
知1－练
解：∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AE＝AC，AD＝CD.
∴ △ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13 cm.
又∵△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19 cm，∴ AC＝6 cm.
∴ AE＝AC＝×6＝3(cm)
答案：A
知1－练
解题通法
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化是一种常用的解题方法．本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质，将△ABD的周长转化为AB＋AC的长，最后代入求解．
知2－讲
知识点
线段垂直平分线的判定
2
1. 线段垂直平分线性质定理的逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言：如图1.4 -3，
∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
知2－讲
3. 拓展
(1)线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合；
(2)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
知2－讲
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.
知2－练
如图1.4-4，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF. 请判断线段AD所在的直线是不是
线段EF的垂直平分线，若是，请
给予证明；若不是，请说明理由.
例 2
知2－练
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
知2－练
证明：如图1.4 -4，连接DE，DF.
∵ AD为∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS).
∴ DE＝DF.
知2－练
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线.
知2－练
教你一招
判断线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，二是判定定理.一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单.用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等.
知3－讲
知识点
角平分线的性质
3
1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2. 角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知3－讲
3. 几何语言：如图1.4 -5，
∵ OP 平分∠AOB，
PD⊥OA于点D，
PE⊥OB于点E，
∴ PD＝PE.
知3－讲
4. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较
相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；
不同点： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到线的距离.
知3－讲
特别提醒
1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂直) 得到一个结论(线段相等).
2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
知3－练
[月考·南京江宁区]如图1.4-6，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，
AC＝4 cm， 则DF＝
_______cm．
例 3
2.4
知3－练
解题秘方: 先紧扣角平分线的性质得出DE＝DF，然后结合三角形的面积公式可得出点D到角的两边的距离．
知3－练
解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴ DE＝DF．
∵△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm，
∴ S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝12 cm2，
∴ DF＝DE＝2.4 cm．
知3－练
方法点拨
运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线+两垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
知4－讲
知识点
角平分线的判定
4
1. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
知4－讲
2. 几何语言：如图1.4 -7，
∵ P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E，且PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
知4－讲
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系
(1)如图1.4 -7，都与距离有关，条件PD⊥OA，
PE⊥OB都具备；
(2)点在角的平分线上 (角的内部的)
点到角两边的距离相等.
4. 拓展 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等.
知4－讲
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2.角平分线的判定是由两个条件(垂直，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
知4－练
如图1.4-8，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BE＝CF，BF和CE交于点D，连接AD.
求证：AD平分∠BAC.
例 4
解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE＝DF.
又∵ DF⊥AC，DE⊥AB，
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
知4－练
知4－练
方法点拨
证明角平分线的方法:
1. 从数量上证明：被要证的线分成的两个角相等.
2.从形上证明：角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.
线段垂直平分线与角平分线
线段的垂直
平分线
角平分线
线段的轴
对称性
角的轴对称性
判定
性质

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