资源简介

(共63张PPT)
1.5 等腰三角形
第1章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的定义和性质
等腰三角形的判定
等边三角形的定义和性质
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
直角三角形的性质定理
知识点
等腰三角形的定义和性质
知1－讲
1
1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰.
知1－讲
2. 等腰三角形的性质
(1)性质定理1：等腰三角形的两底角相等(简称
“等边对等角”).
几何语言：如图1.5 -1 ，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
知1－讲
(2)性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
几何语言：如图1.5 -1 ，在△ABC中，
①∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC，BD＝DC；
②∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC；
③∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC，AD⊥BC.
知1－讲
3. 已知底边和高作等腰三角形
要求 作法 图示
如图，已知线段a，h. 求作△ABC， 使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h. ①作线段BC＝a；② 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；③ 在射线DM( 或DN) 上截取线段DA，使DA＝h； ④ 连接AB，AC，则△ABC即为所求
知1－讲
拓宽视野
等腰三角形的其他性质：
1. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；
2. 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等；
知1－讲
3. 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
4. 等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线) 上任意一点到两腰的距离相等；
5. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角(锐角)度数等于顶角度数的一半.
知1－练
例 1
如图1.5-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
交BC于点D.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
知1－练
(1)求∠ADB的度数；
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°.
∵ AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－∠BAC)＝×(180°－100°)＝40°.
知1－练
(3)若BC＝3 cm ，求BD的长.
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD是BC边上的中线，
∴ BD＝BC＝×3＝1.5(cm)
知1－练
特别解读
1. 在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.
2. “等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
知1－练
[中考·北京]如图1.5-3，在△ABC中，AB＝AC，AD是
BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE＝∠BAD．
例 2
解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题.
知1－练
证明：∵ AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
又∵ BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°.
∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C.
∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD．
知1－练
特别解读
“三线合一”是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
知2－讲
知识点
等腰三角形的判定
2
1. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)．
几何语言：如图1.5 -4 ，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，
∴ AB＝AC.
知2－讲
2. 等腰三角形的性质与判定的异同
相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”
不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即等边 等角.
知2－讲
特别提醒
1. “等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角” “腰”“底边”这些名词.
2. “等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法.
知2－练
如图1.5-5，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形.
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.
例 3
知2－练
证明：∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°．
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°．
又∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝30°＋45°＝75°．
∴∠DAC＝∠ADC，∴△ADC是等腰三角形．
知2－练
解题通法
在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.
知3－讲
知识点
等边三角形的定义和性质
3
1. 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫作等边三 角形.
知3－讲
2. 等边三角形的性质
(1)等边三角形的三条边都相等；
(2)等边三角形的各角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等.
知3－讲
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
1. 任意两边都可以作为腰；
2. 任意一个角都可以作为顶角.
知3－练
如图1.5-6，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥ AB，计算△DEF各个内角的度数.
例 4
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
知3－练
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
∴△DEF各个内角的度数都是60°.
知3－练
解法提醒
等边三角形的三个内角都等于60°，为三角形的内角直接提供了角的条件. 若同时要运用三个内角，只需以一个角为例计算，其余可同理得到.
知3－练
如图1.5-7，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上. 若DE＝DB，求CE的长.
例 5
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
知3－练
解：∵等边三角形ABC的边长是3，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝3 .
∵ D是AC的中点，
∴ CD＝AC＝1.5，∠DBE＝∠ABC＝30°.
∵ DE＝DB，∴∠DEC＝∠DBE＝30°.
∵∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ACB－∠DEC＝30°.
∴∠CDE＝∠DEC. ∴ CE＝CD＝1.5 ，即CE的长是1.5 .
知3－练
方法点拨
等边三角形的任何一边上都有“三线合一”的性质，有时需要通过“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
知4－讲
知识点
等边三角形的判定
4
1. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图1.5 -8 ，在△ABC中，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形.
知4－讲
2. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图1.5 -8 ，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∠A＝60°
(或∠B＝60°或∠C＝60°)，
∴△ABC是等边三角形.
可以是顶角，也可以是底角.
知4－讲
3. 等边三角形的证明思路
知4－讲
归纳总结
等边三角形的判定方法的选用：
1. 若已知三边关系，一般选用定义判定；
2. 若已知三角关系，一般选用判定定理1；
3. 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2.
知4－练
如图1.5-9，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC 于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF是等边三角形.
例 6
知4－练
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求
∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得到△OEF是等边三角形.
证明：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBE＝∠OCF＝30°.
∵OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴ OE＝BE，OF＝CF.
∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.
知4－练
∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，
∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.
∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠OFE＝60°.
∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF. ∴△OEF是等边三角形.
知4－练
知4－练
教你一招
1. 从角的方向证明三角形是等边三角形的两种思路：
一是证明三角形的三个内角相等；
二是求出三角形的三个内角的度数都是60°.
2. 在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形时，原等边三角形的三个内角为60 °，为求新等边三角形的内角度数提供了条件.
知4－练
如图1.5-10，C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F.
例 7
知4－练
求证：(1)AN＝MB；
解题秘方：要证AN＝MB，只需证△ACN≌△MCB；
证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.
在△ACN 和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴ AN＝MB.
知4－练
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ECF＝60°，再证明△ECF 为等腰三角形即可.
证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC.
∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，
∴∠ECN＝∠FCB.
在△ECN和△FCB中，
∴△ECN≌△FCB(ASA)，∴ CE＝CF.
又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形.
知4－练
知4－练
另解
∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF.
∵∠MCF＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，
∴∠ACE＝∠MCF.
在△ACE和△MCF中，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴ CE＝CF.
知5－讲
知识点
含30°角的直角三角形的性质
5
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.
几何语言：如图1.5 -1 1 ，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ BC＝AB.
知5－讲
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
知5－讲
特别解读
应用此性质，必须满足两个条件：
1. 在直角三角形中；
2. 有一个锐角为30 °；二者缺一不可.
知5－练
如图1.5-12，在Rt△ABC中 ，∠C＝90° ，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15 ° ，AC＝4 cm，求BN的长.
例 8
知5－练
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
知5－练
解：如图1.5 -12，连接AN.
∵ MN为AB边的垂直平分线，
∴ AN＝BN.
∴∠NAB＝∠B＝15°.
∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.
∵∠C＝90°，∴ AN＝2AC=2×4＝8(cm). ∴ BN＝8 cm.
知5－练
教你一招
1. 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.
2.若给出的是15 °角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°角.
知5－练
如图1.5-13，在等边三角形ABC中，E，D分别在边
AC，BC上，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
例 9
知5－练
思路导引：
知5－练
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.
∵ AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS). ∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.
∵ BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°.
∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°. ∴ BP＝2PQ.
知5－练
方法点拨
在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2 倍，一是证明是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°.
知6－讲
知识点
直角三角形的性质定理
6
1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：如图1.5 -14 ，在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴ CD＝AB.
知6－讲
(1)在直角三角形中，有斜边上的中点，通常考虑运用这一性质解题.
(2根据性质可知直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形.
知6－讲
2. 易错警示：在△ABC中，D为AB的中点，不能得出CD＝AB，前提是∠ACB＝90°.
知6－讲
特别提醒
此性质在填空题和选择题中一般是直接应用，在解答题中有时需利用斜边上的中线，构造等腰三角形证明线段的倍分关系和计算角的度数.
知6－练
[中考· 淮安]如图1.5-15，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中
点，若AB＝10，则DE的长是( )
A. 8　　　　　B. 6　　　　　
C. 5　　　　　D. 4
例10
知6－练
解题秘方：先利用等腰三角形“三线合一”的性质得出AD⊥BC，再由直角三角形斜边中线的性质可求出DE的长.
解：∵ AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，∵ E为AC的中点，∴ DE＝AC＝5．
答案：C
知6－练
方法点拨
可以运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决的问题往往具有两个明显特征：一是有直角(直角三角形或待证明的直角)，二是有中点(斜边上的中线).
等腰三角形
等腰
三角形
等角对等边
判定
性质
等边对等角
互逆
等边三角形
特 殊
是轴对称图形
三线合一

展开更多......

收起↑