资源简介

《6.2 用表格表示变量之间的关系》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对用表格表示变量之间的关系的内容要求是：能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。要学会运用表格整理数据，能从表格里获得变量之间关系的关键信息，同时依据表格中的数据对变量的变化趋势展开初步预测，培养推理和分析能力，增强对变量关系的理解与应用。
《用表格表示变量之间的关系》是初中函数知识的第一课时，介绍变量关系的其中一种呈现形式——表格，目的是让学生通过观察表格，探索简单实例中的数量关系和变化规律。本节课的学习重点是通过观察表格，能说出表格中的数量关系，发现其变化规律，并根据变化规律进行合理的推理预测。难点是通过数据的比较，发现其变化规律，并根据变化规律进行合理的推理。
（二）教材解读
《用表格表示变量之间的关系》是本章《变量之间的关系》的第2节课， 旨在让学生在具体情境中理解变量、自变量和因变量的概念。通过“反应时间表”“2016-2022国内GDP的变化情况”等多个实例，引导学生经历探索变量之间关系的过程，体会到生活中存在着大量变量之间的依赖关系。学会用表格整理数据，能从表格中获取变量之间关系的信息，如变化趋势、对应数值等，并尝试对变化趋势进行初步预测，培养学生的数据分析能力和推理能力。同时，让学生认识到可以用数学方法来描述和分析现实世界中的变化现象，为后续学习函数等知识奠定基础。。
三、学情分析
1.基础知识
在学习本课时之前，学生在七年级上册已对探索规律有所涉猎，具备一定从数字变化中找寻规律的能力，能够识别简单的数量变化模式。并且他们也掌握了从统计图里获取信息的方法，对数据的直观分析有初步体验。然而，“变量”是一个全新且抽象的概念，学生虽然能感知生活中的变化现象，对于用表格整理数据来呈现变量关系，学生可能在理解表格中数据所代表的实际意义，以及依据表格分析变量变化趋势上存在困难。
2.行为习惯
七年级学生乐于动手操作，也已经适应小组分工合作模式，同时已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大胆质疑、有效表达等方面还稍有欠缺，在总结归纳环节，学生往往不善于从具体实例中抽象概括出一般性的数学概念和结论，需要教师进一步引导和强化指导。
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平；比如题目中的关键信息的提取、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能在估测反应时间的实验中运用表格正确记录数值. 2.我能从数值对应的角度体会变量之间的关系.
拓展性目标 3.我能用表格表示两个变量之间的关系，发展抽象能力. 4.我能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测，发展运算能力和应用意识.
挑战性目标 5.我能选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：通过实验自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，选择生活中的变化过程利用表格记录数据
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
开展实验 基础过关 8分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 通过实验操作正确记录数据，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生 自主探究拓展性目标问题，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 10分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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第六章 变量之间的关系
6.2 用表格表示变量之间的关系
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能在估测反应时间的实验中运用表格正确记录数值.
2.我能从数值对应的角度体会变量之间的关系.
拓展性目标
3.我能用表格表示两个变量之间的关系，发展抽象能力.
4.我能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测，发展运算能力和应用意识.
挑战性目标
5.我能选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
二 复习回顾
预备性知识
问题1：变量是 .
问题2：常量是 .
问题3：如何区分自变量和因变量？
在变化过程中，数值发生变化的量
在变化过程中，数值始终不变的量
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是自变量，y是因变量.
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
实验：如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上.测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离.不同的反应距离对应不同的反应时间.
问题1：记录实验数据，填写下表.
反应距离 /cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反应时间 /s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
三 新知讲解
活动1：（基础性目标）
问题2：当反应距离为10cm时，反应时间是多少？
0.143s.
问题3：反应距离越大的人，其反应时间有什么特点？
反应距离越大的人，其反应时间也越长.
问题4：反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗？
0.111-0.101=0.01，0.120-0.111=0.009.
因为0.01≠0.009，所以反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况不相同.
问题5：小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5cm，18cm，你能估计他们的反应时间吗
小明的反应时间约为(0.136+0.143)÷2≈0.140(s)，
同桌的反应时间约为(0.175-0.169)×(18-15)+0.175 =0.193(s).
三 新知讲解
．
2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元):
活动2：（拓展性目标）
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
问题6：如果用x表示年份，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
随着x的增大，y逐渐增大.
问题7：2016-2022年我国国内生产总值是怎样变化的
从2016年开始，时间每推后1年，我国国内生产总值分别增加8万亿元、9万亿元、7万亿元、2万亿元、14万亿元、5万亿元.
问题8：根据表格，预测2030年我国国内生产总值.
(2030-2022)×+120=180(万亿元)，
预计2030年我国国内生产总值为180万亿元.
三 新知讲解
总结：
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况..
反应距离 /cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反应时间 /s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120
通过上面两个活动，你认为表格有什么作用？
三 新知讲解
．
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
活动3：（拓展性目标）
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
反映了每公顷氮肥施用量和每公顷土豆产量之间的关系；每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量是因变量.
三 新知讲解
．
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
活动3：（拓展性目标）
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是多少 如果不施氮肥呢
当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是32.29 t/hm2；如果不施氮肥，土豆的产量是15.18 t/hm2.
三 新知讲解
．
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
活动3：（拓展性目标）
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜 说说你的理由.
氮肥施用量为336kg/hm2比较适宜，因为此时土豆的产量最高；
或氮肥施用量为259kg/hm2比较适宜，因为此时土豆的产量与氮肥施用量为336kg/hm2时差不多，又可以节约肥料.
三 新知讲解
．
问题9：某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系:
活动3：（拓展性目标）
每公顷氮肥施用量 /kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
每公顷土豆产量 /t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
当每公顷氮肥施用量为34~336kg时，每公顷土豆的产量逐渐增加；当每公顷氮肥施用量为336~471kg时，每公顷土豆的产量逐渐减少。
三 新知讲解
．
问题10：据统计，某公交车每月的支出费用为3 000元，每月利润（利润= 票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）：
（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是__________.
（2）观察表中数据可知，每月乘车人数至少达到________人时，该公
交车才不会亏损.
（3）由表中数据可推断出该公交车的票价为___元.
活动4：（拓展性目标 ）
每月乘车人数/人 600 900 1 200 1 500 1 800 …
每月利润/元 0 600 …
每月乘车人数
每月利润
2
三 新知讲解
．
问题10：据统计，某公交车每月的支出费用为3 000元，每月利润（利润= 票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）：
（4）求每月乘车人数为5 000人时的每月利润.
活动4：（拓展性目标 ）
每月乘车人数/人 600 900 1 200 1 500 1 800 …
每月利润/元 0 600 …
解：由表中数据可知，每月的乘车人数每增加300人，每月的利润可增加600元，
当每月的乘车人数为1 500人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为5 000人时
，每月利润为 （元）.
三 新知讲解
．
问题11：请你运用本节课的知识，选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
活动5：（挑战性目标 ）
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.我能在估测反应时间的实验中运用表格正确记录数值.
2.我能从数值对应的角度体会变量之间的关系.
拓展性目标
3.我能用表格表示两个变量之间的关系，发展抽象能力.
4.我能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测，发展运算能力和应用意识.
挑战性目标
5.我能选取生活中的变化过程，用表格表示变量之间的关系并作出合理预测.
五 当堂检测
必做题：
1.(基础练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如表所示：
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度为24.5cm
D
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
五 当堂检测
必做题：
2.(拓展练习）弹簧原长（不挂重物）10cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：
当重物质量为4kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　 　）
A．17 B．17.5 C．18 D．18.5
C
弹簧总长L（cm） 11 12 13 14
重物重量x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0
五 当堂检测
必做题：
3.(拓展练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
下列说法中，错误的是（　　）
A．自变量是刹车时的速度
B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m
C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h
D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾
C
刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
五 当堂检测
必做题：
4.(挑战练习）盘秤是一种常见的称量工具，指针转过的角度与被称物体的重量有一定的关系，如表所示：
（1）请直接写出a、b的值；
（2）指针转过的角度不得超过360°，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由．
（3）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大108°，该顾客一共购买了多少千克水果．
重量（单位：千克） 0 2 2.5 3 b
指针转过的角度 0° 36° a° 54° 180°
五 当堂检测
解：（1）a的值是45，b的值是10；
（2）称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤；理由如下：
∵18×18°＝324°＜360°，
∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤；
（3）设第一次购买水果x千克，则第二次购买水果（2x+3）千克，
依题意得：（2x+3）﹣x＝108°÷18°，
解得x＝3，
∴2x+3＝9，
∴3+9＝12（千克），
答：该顾客一共购买了12千克水果．
六 作业布置
必做题：
1.(拓展练习)高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度（m）与空气含氧量（g/m3）之间关系的一组数据：
下列说法不正确的是（　　）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量
B．海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少33.8g/m3
C．在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m3
D．当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m3
B
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1
六 作业布置
必做题：
2.(拓展练习)声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速．
（1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，_______是自变量，_______是因变量；
（2）除夕之夜，气温是5℃，小天看见烟花燃放3s后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？
（1）气温；音速
（2）由题意可知，气温是5℃时，音速为334m/s，则334×3＝1002（米），
答：元旦之夜，气温是5℃，小天看见烟花燃放3s后，才听到其声响，小天离燃放烟花的距离为1002米.
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（m/s） 331 334 337 340 343
六 作业布置
必做题：
3.(拓展练习)研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格：
（1）如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用b表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）你知道距离地面4千米的高空温度是多少摄氏度吗？
（4）你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少摄氏度吗？
解：（1）由题意可得：距离地面高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知：随着b的增加，t在减小．
（3）由表可知：距离地面4千米的高空温度是4℃．
（4）从表格中可以看出，高度每增加1千米，温度下降6℃，
∴距离地面6千米的高空的温度是﹣10﹣6＝﹣16（℃）．
距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5
温度/℃ 20 14 8 2 4 ﹣10
六 作业布置
必做题：
4.(挑战练习)完成课堂中的活动4.
六 作业布置
选做题：
1.(拓展练习)下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据，实验过程共加热15分钟：
时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
温度（℃） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 100 100
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
（2）根据表格，你认为12分钟、13分钟时，水的温度是多少？
（3）为了节约能源，你认为烧开水的时候应该在大约几分钟关闭煤气？
解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系；
（2）根据表格，可得：时间为12分钟和13分钟时，水的温度是100℃；
（3）为了节约能源，烧开水的时候应该在大约8分钟关闭煤气．
六 作业布置
选做题：
2.(挑战练习)游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立万米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表：
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）上表中_____________是自变量；____________________是因变量；
（2）当放水时间为1小时时，游泳池的存水是为_______立方米；当放水时间为4小时时，游泳池的存水量为_______立方米；
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468
放水时间
游泳池的存水量
858
624
六 作业布置
选做题：
2.(挑战练习)游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立万米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表：
根据表格中的数据，回答下列问题：
（3）说一说这个游泳池的存水量从放水1小时至12小时是怎样变化的；
（4）请你估计当放水5.5小时和9小时时，游泳池的存水量分别是多少立方米？
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468
（3）由表可知：随着时间的增加，存水量逐渐减小；
（4）由表可知：每增加1小时，存水量减少858﹣780＝78（立方米）．
546﹣78÷2＝507（立方米）．
468﹣78×（9﹣6）＝234（立方米）．
答：估计当放水5.5小时时，游泳池的存水量是507立方米；当放水9小时时．游泳池的存水量是234立方米．
Thanks!
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