资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题11 分式的运算（浙教2024）
【9个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】分式的乘除混合运算（选填） 1
【基础题型二】补全代数式中所缺的项 3
【基础题型三】分式乘除混合运算（计算题） 6
【基础题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母 13
【基础题型五】分式的混合运算（计算题） 17
【基础题型六】分式加减的实际应用 28
【基础题型七】分式的化简求值问题 33
【基础题型八】零指数幂与负指数幂中比较大小 38
【基础题型九】零指数幂与负指数幂解答题计算 41
【压轴题型十】分式的运算中最值问题 44
【压轴题型十一】分式的运算中实践探索类题型 54
【基础题型一】分式的乘除混合运算（选填）
例题1（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
故选：D ．
【变式1-1】（24-25八年级上·云南红河·期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，先把除法化为乘法运算，再计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【变式1-2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．
【详解】解：
；
故答案为：．
【变式1-3】（2025·湖北随州·一模）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式1-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为；．
【变式1-5】（2025·山东济南·一模）的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
把分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式1-6】（2025·山东济南·一模）化简的结果为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【基础题型二】补全代数式中所缺的项
例题2（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知，
被污染的代数式为，
故选：C．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键．
根据题意得：，根据分式的乘法法则计算即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
即表示的代数式是，
故选：A．
【变式2-2】（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．本题根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
【详解】解：
∵运算的结果为不是分式，
∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式，
∴只有A选项符合题意．
故选：A．
【变式2-3】（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意；
B、，结果不是整式，故选项不符合题意；
C、，结果不是整式，故选项不符合题意；
D、，结果不是整式，故选项不符合题意；
故选：A．
【变式2-4】（24-25八年级上·全国·期末）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．x
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
将，逐一代替“□”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意．
【详解】解：A．，可以进行约分化简，“□”可以是1，不合题意；
B．，不可以进行约分化简，“□”不可以是2，符合题意；
C．，可以进行约分化简，“□”可以是4，不合题意．
D．，可以进行约分化简，“□”可以是，不合题意；
故选：B．
【变式2-5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【详解】解：
∵运算的结果为整式，
∴中式子一定含有的单项式，
故只有B项符合．
故选：B．
【变式2-6】（2025·河北廊坊·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的混合运算，根据运算法则和运算顺序解答即可．
【详解】解：设“□”表示的最简分式为，
则，
故答案为：．
【基础题型三】分式乘除混合运算（计算题）
例题3（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：.
．
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键：
（1）直接约分化简即可；
（2）除法变乘法，约分化简即可；
（3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式．
【变式3-2】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的除法运算法则计算即可；
（2）根据分式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3-3】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)4)
【分析】本题考查了分数乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可；
（2）根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可；
（3）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可；
（4）先转化为分式乘法，然后根据分式乘法法则计算，然后再化简为最简分式即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
【变式3-4】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式约分即可得到结果；
（4）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【变式3-5】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（）根据分式的除法运算法则计算即可；
（）根据分式的乘除运算法则计算即可；
本题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式3-6】（2025八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则以及积的乘方，本题属于基础题型．
（1）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（2）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
（3）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（4）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式
．
【变式3-7】（2025八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)(2)(3)
【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）（2）（3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【变式3-8】（24-25八年级上·全国·期末）计算下列各题
(1)．
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握十字相乘法分解因式、分式乘除的运算法则是解题的关键．
（1）先对各分子分母因式分解同时除法运算转化成乘法运算，然后约分即可．
（2）先对各分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【基础题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母
例题4（2025八年级下·全国·期中）已知，则 ， ．
【答案】 2
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2，．
【变式4-1】（24-25八年级下·全国·期中）已知，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：5．
【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期中）若恒成立，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：
恒成立，
，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，，为常数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值．
【详解】
，
∵，
∴，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：1．
【变式4-4】（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【变式4-5】（2025·山西吕梁·模拟预测）若，其中a，b为常数，则 ．
【答案】1
【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案．
【详解】解：已知等式整理得：，
∴，
可得，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式4-6】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，其中，，，为常数，则 ．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、，
．
故答案为：．
【变式4-7】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【基础题型五】分式的混合运算（计算题）
例题5（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)2；(3)．
【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）原式先通分，再化简即可；
（2）先利用平方差公式，再化简即可；
（3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式5-2】（2024八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5-4】（2024九年级下·辽宁·期中）（1）计算：；
（2）计算： ．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的加减运算，正确计算是解题的关键．
（1）先计算乘除法，绝对值及二次根式的乘法，再计算加减即可；
（2）先计算括号内异分母加法，再计算括号外减法即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【变式5-5】（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
（1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案；
（4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式5-6】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；
（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5-7】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）化简
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用分式的基本性质变形后用同分母分式加法则计算即可；
（2）先计算括号内的加减法，再计算除法即可．
【详解】（1）
（2）
【变式5-8】（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：
故答案为：．
（4）解：
故答案为：．
【变式5-9】（2025七年级下·浙江·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；
（3）通分，最简公分母为；
（4）把看成是一项，为，再通分；
（5）前两项先通分，再依次计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
．
【基础题型六】分式加减的实际应用
例题6（24-25八年级下·全国·期中）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
【答案】(1)(2)走第一条路花费时间少，少
【详解】（1）解：走第二条路所用时间：；
（2）解：走第一条路所用时间：
∴
∴走第一条路花费时间少，少．
【变式6-1】（24-25八年级下·全国·期中）现有铁丝和铜丝各一捆（可以称出每捆质量）．已知铁丝和铜丝的截面半径分别为和，请你设计一种方案，不用直接测量长度，就能计算这捆铁丝和这捆铜丝的长度差（注：铁的密度约为，铜的密度约为）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了分式减法的实际应用，分别测量出铁丝的质量为，铜丝的质量为，根据质量等于密度乘以体积，体积等于截面面积乘以长度，分别可表示出铁丝和铜丝的长度，二者相减即可得到答案．
【详解】解：分别测量出铁丝的质量为，铜丝的质量为，
则铁丝的长度为，铜丝的长度为，
∵
∴这捆铁丝和这捆铜丝的长度差为．
【变式6-2】（24-25八年级下·全国·期中）甲、乙两人进行百米赛跑，甲前半程的平均速度为，后半程的平均速度为；乙前半时的平均速度为，后半时的平均速度为．谁先到达终点？
【答案】当时，甲，乙同时到达终点；当时，乙先到达终点
【分析】本题考查行程问题中速度、路程、时间的关系及分式运算和比较大小．解题关键是分别求出甲、乙两人跑完全程的时间表达式，通过作差法比较两者大小来判断谁先到达终点．
分别根据路程、速度与时间关系，表示出甲、乙跑百米的时间，通过作差比较两者大小，从而判断谁先到达终点．
【详解】解：∵路程，前半程和后半程路程，
∴甲前半程时间，后半程时间，
∴甲所用总时间，
设乙所用总时间为，前半时和后半时时间都为，
∴前半时路程，后半时路程，
∵，即，
．
∴，
甲所用的时间－乙所用的时间，
，是正数，
，
当时，甲，乙同时到达终点；
当时，乙先到达终点；
【变式6-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明．
【答案】乙的购买方式比较合算，理由见解析
【分析】本题考查分式加减运算在实际问题中的应用，根据题意，分别写出甲和乙两次买油的平均单价，然后求差，计算化简，得出差大于，从而得甲和乙的平均单价之间的关系，可得结论．根据题意正确列式及明确分式计算的相关法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
甲两次买油的平均单价为：，
乙两次买油的平均单价为：，
∴
，
∵、，，
∴，，
∴，
∴，
∴乙的购买方式比较合算．
【变式6-4】（2024八年级上·全国·期末）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？
【答案】
【分析】本题考查的是列代数式及分式的减法运算，解题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答．
【详解】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为，如果晚出发并且按时到达单位的速度为，
根据题意，得．
答：小强的爸爸每小时应该多走，才能按时到达单位．
【变式6-5】（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；
(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
【答案】(1)两次共采购的件数为件
(2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍
【分析】本题考查分式运算的实际应用：
（1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可；
（2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可．
【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为，
第二次采购该商品的件数为，
所以，两次共采购的件数为（件）．
（2），
第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍．
【变式6-6】（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
【答案】小李两次加油的平均单价更低
【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论．
【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升），
小王两次加油30升的平均单价为（元/升），
∴
，
∵，
∴，则，
故小李两次加油的平均单价更低．
【基础题型七】分式的化简求值问题
例题7（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若数轴上点、表示的数分别为、，且，求的值．
解题思路：本题考查了分式的化简求值，数轴上两点间距离等知识，解题的关键是：
（1）先计算括号内，然后把除法转化为乘法，最后约分即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式求出，然后代入（1）中化简的结果计算即可．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵数轴上点、表示的数分别为、，且，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
综上，的值为．
【变式7-1】（2025·湖南常德·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，然后把分式除法转化成乘法，约分计算，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
．
当时，原式
【变式7-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简，根据分式有意义的条件可得，则代入到化简后的式子即可求解．
【详解】解：
，
由题意得，，
代入，原式．
【变式7-3】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据分式的运算法则以及运算顺序化简，再将的值代入即可．
【详解】解：，
，
，
，
当时，原式．
【变式7-4】（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值．
【答案】7
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键．
先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案．
【详解】解：原式
∵，
∴．
∴原式．
【变式7-5】（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）已知，求代数式的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键．
根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
原式．
【变式7-6】（2025·陕西榆林·二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【变式7-7】（2025·重庆·模拟预测）化简求值：，其中满足
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、因式分解、代数式的整体代入思想，解题的关键在于通过化简将复杂分式转化为简单表达式，并利用已知条件整体代入求值．先根据乘法公式和完全平方公式将、因式分解，再进行约分、合并，然后将除法转化为乘法进行约分，最后合并同类项，将原式化简为，由已知条件得代入计算即可．
【详解】解：
，
，
．
【变式7-8】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】；当时，原式，当时，原式
【分析】先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再求出m的取值范围，选取合适的m的值代入进行计算即可．
【详解】解：
∵
当时，原式
当时，原式
【基础题型八】零指数幂与负指数幂中比较大小
例题8（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
因为，所以，
故选：B．
【变式8-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么a、b、c三数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则．
先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：，
∴，
故选：B．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．
利用零指数，负整数指数幂的运算法则，计算、、的值，再比较大小．
【详解】，，
．
故选：B．
【变式8-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，先根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义化简，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
故选：B．
【变式8-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解．
【详解】解：，，．
，即．
故选：D．
【变式8-5】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方的运算根据法则求出a、b、c,进而比较大小即可求解．
【详解】解：，，，
故，
故选：A ．
【变式8-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接）
【答案】
【分析】本题考查比较幂的大小关系，负整数指数幂，先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再比较底数的大小即可得出结果．
【详解】解：∵，，，且，
∴；
故答案为：．
【变式8-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接）
【答案】
【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的特征变正数指数幂后比较大小即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
【变式8-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知 ，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算后比较大小．
本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较．
【详解】解：∵，
且，
∴．
故答案为：．
【基础题型九】零指数幂与负指数幂解答题计算
例题9（2025·湖北十堰·三模）计算
【答案】
【详解】解：
．
【变式9-1】（2025·陕西咸阳·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，绝对值的性质逐一运算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
【变式9-2】（2025·浙江杭州·二模）计算：
【答案】0
【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质化简，再利用实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【变式9-3】（2025·陕西延安·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了乘方运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则；
先计算乘方，负整数指数幂，开立方，去绝对值运算，然后按照实数运算法则计算即可求解；
【详解】解：原式
．
【变式9-4】（2025·浙江温州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
根据计算解答即可．
【详解】解：．
【变式9-5】（2025·湖北恩施·一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的立方根，算术平方根，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．
分别计算绝对值，立方根，算术平方根，负整数指数幂，再进行加减计算．
【详解】解：
．
【变式9-6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂等计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
【变式9-7】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算，然后再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
．
【变式9-8】（2025·湖北孝感·二模）计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【压轴题型十】分式的运算中最值问题
例题10（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
【答案】(1)是(2)①；②A的值为1或3或4(3)
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．
【变式10-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设，则．
∴原式＝
∴
∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：当，时，∵
∴当，即时，有最小值2．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式；
(2)已知分式的值为整数，求整数x的值；
(3)当时，求代数式的最小值 ．
【答案】(1)(2)或0(3)3
【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果；
（2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解；
（3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值．
【详解】（1）解：设，则，
∴原式，
∴；
（2）解：设，则，
∴原式，
∴，
∵分式的值为整数，
∴或或，
又x是整数，
∴，解得：或0；
（3）解：设，则，
∴原式，
∴，
当时，解得，满足，此时代数式有最小值3．
【变式10-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等．
例如：，求证：
证明：左边
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；
(4)若正数、满足，求的最小值．
【答案】(1)1(2)5；(3)12；(4)．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键．
（1）将，代入式中可求值；
（2）将代入可求解；
（3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可．
（4）由，可得当取最小值时，M的值最小．
【详解】（1）解：，
（2）解：，且，
，
（3）解：设此长方形的边长为a，b，则，
，，
，
得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12，
（4）解：∵正数a，b满足
当时，有最小值，当且仅当时等号成立时，
则最小值为．
【变式10-3】（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）；
(2)已知．
①___________（用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
【答案】(1)①④(2)①；②；③
【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”．
（1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可；
（2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可．
【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式；
②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；
③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；
④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式；
故答案为：①④；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，；
故答案为；
②解：，则，，
∴；
③解；，则，
即
，
又∵，
∴，
∴的最小值是4；
【变式10-4】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______．
(2)求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值．
【答案】(1)或或(2)(3)27
【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．
（1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可；
（2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可；
（3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可．
掌握分式的变形方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的值为非负整数，
∴，
∴；
故答案为：或或；
（2），
∵，
∴，
∴，即：；
（3）∵，
又，
∴，，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴；
∴的最小值为．
【变式10-5】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如：
，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式．
解决问题：
(1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　；
(2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？
(3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)假分式；2)当时，原式为整数(3)，5
【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简．
（1）根据题意判断，即可求解；
（2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解；
（3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值．
【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，
故答案为：假分式；
（2）解：原式，
当时，原式为整数；
（3）解：，
，
时，有最小值，值最大，
，即时，，
当a为2，分式有最大值，最大值是5.
【压轴题型十一】分式的运算中实践探索类题型
例题11（24-25八年级上·河北邯郸·期末）【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大；
【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题．
【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式．
（1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”）
（2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？
【答案】[类比]增大；
[拓展]（1），；
（2）当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了
【详解】解：[类比]：
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
解：[拓展]
（1）当时，；当时，；
故答案为：；
（2）
，
当时，，
∴
∴；
当时，，
∴
∴；
综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了．
【变式11-1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则 ；如果，则 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可．
【详解】解：（1）∵
又，
∴；
∵
，
又，
∴，
故答案为：1；；
（2）∵
，
又，
∴；
（3）
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴或，
∴或或2或．
【变式11-2】（24-25八年级上·山东淄博·期末）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值．
（三）问题解决：
已知：．求代数式的值．
【答案】实践探索：；问题解决：6
【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可．
【详解】实践探索：解：由，知，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴的值为61的倒数，即．
问题解决：由可知：，，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，，
∴．
【变式11-3】（2024八年级下·江苏·期末）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 　　；
②求证：；
(2)若满足，求的值．
【答案】(1)①1；②见详解(2)2023
【分析】本题考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中将所求式子中的1换成是本题的关键．
（1）①由题意可得，代入所求式中可求值；
②由题意可得，则，代入第1个加数中可求值；
（2）把看作，把看作，根据完全平方公式可得答案．
【详解】（1）①解：，
，
故答案为：1；
②证明：，
，
；
（2）解：
，
，
，
．
【变式11-4】（23-24七年级上·上海·期末）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解
(2)计算：
(3)①已知，求的值
②若，直接写出的值．
【答案】(1)(2)2023(3)①1；②5
【分析】（1）读懂例1，整体设元，分解因式；
（2）读懂例1，整体设元，分解因式，代入化简再求值；
（3）①认真读懂例2，整体代入化简求值；
②认真读懂例2，整体代入化简求值．
本题考查了分式、整式混合运算的新定义，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算和整式的混合运算．
【详解】（1）解： ，
设，
原式
，
；
（2）解：，
令，，
，
原式
；
（3）解：①，
；
②，
，
．
【变式11-5】（23-24七年级下·辽宁营口·期中）计算
（1）计算：；
（2）找规律：
观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1） ；
（2） ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：
【答案】（1）；（2）225；；41075
【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及数字的变化规律探索.
（1）本题主要考查了实数的混合运算．
（2）本题主要考查数字的变化规律，（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；（2）根据所给的各式，得到规律，即可求解；（3）先根据规律，可求出和，然后相减即可求解．
【详解】解：（1）
（2）（1）根据题意得：，
故答案为：225．
（2）
故答案为：
（3）由（2）得，
．
【变式11-6】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 ．
②求证．
(2)已知，，且，求的值．
【答案】(1)①1；②见解析(2)0
【分析】本题考查分式的化简求值，分式的混合运算．
（1）①把代入，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由可得，同①的方法计算即可得结论；
（2）将已知等式变形，分别得到含有的等式，再整体代入化简求值即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴
=
=
=
=1；
故答案为：1
②证明：∵，
∴，
∴
=
=
=
=
=1；
（2）解：，且，
，
，
同理可得：，，
．
1．（2025八年级下·全国·期中）一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查工程问题中的合作完工时间计算．熟练掌握工程问题的基本公式：，是解题的关键．
根据，用工作总量“1”除以甲、乙合作的工作效率得到甲、乙合做完成工程需要的天数．
【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是，工作总量是1，
∴两人合做完成这项工程所需的天数是
故本题选：C．
2．（2025·广东广州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、分式的除法、合并同类项，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C
3．（2025·安徽·二模）已知两个不为零的实数满足其中．则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程，完全平方公式的非负性，解题的关键是掌握相应的运算法则，将分式转化成整式方程，利用因式分解法进行求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
4．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．，的大小关系与的取值有关
【答案】C
【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可．
本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
由为任意正整数，
故．
故，
故选：C．
5．（2025·广东广州·二模）某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：米米，
故选D．
6．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断．
【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误；
②，嘉淇同学解法错误；
③
，嘉淇同学解法正确；
则嘉淇同学做对的有1个，
故选：B．
7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用加减消元法解方程，分式的化简求值，熟练掌握用加减消元法解方程是解题的关键．
根据题意得到，代入化简即可．
【详解】解：，
，
，
得，
，
得，
，
，
故选：B．
8．（2025·江苏南通·二模）已知实数，满足，则 ．
【答案】75
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，完全平方公式的变形求值，根据题意可求出，再由计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·湖南岳阳·二模）已知，则代数式的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据得，再化简代数式，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：5．
10．（24-25九年级下·重庆·期中）计算：
【答案】/
【分析】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂、零指数幂运算等知识点，掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值，再进行加减计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算，根据零指数幂，负整数指数幂和乘方的计算法则求出四个数，再比较出四个数的大小，最后用最大数减去最小数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为9，
故答案为：9．
12．（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下：
原式①
②
③
④
⑤
(1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）．
(2)请你给出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)③(2)见解析
【分析】此题考查了分式加减法、平方差公式，熟练掌握运算法则和分式的基本性质是解题的关键．
（1）根据分式加减法法则解答即可．
（2）根据分式加减法法则和分式的基本性质，结合平方差公式进行解答即可．
【详解】（1）解：错误出现在第③步，错误的原因是分式运算不能去分母；
故答案为：③；
（2）正确解答：原式
．
13．（2025·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算乘法，然后计算减法，最后吧a的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
14．（2025·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键；
（1）根据上述等式，写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）第个等式：，
证明如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
故答案为：．
15．（2025·宁夏银川·二模）数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务：
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学：．
(1)【任务一】
①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____．
②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____．
(2)【任务二】
①该“接力游戏”正确的化简结果是_____；
②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值．
【答案】(1)①约分，分式的基本性质；②乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
(2)①；②4
【分析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可；
②根据去括号的法则解答即可；
（2）①利用分式的运算法则进行计算即可；
②根据分式有意义取代入解答即可．
【详解】（1）解：①丁同学对分式进行了约分，依据是分式的基本性质，
故答案为：约分，分式的基本性质；
②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
（2）解：①原式
，
故答案为：；
②∵不能取2和，
故取，
原式．
16．（24-25八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
(2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个；
(3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】(1)3,6(2)；4(3)，最大值是
【分析】本题主要考查了分式的加减，分式的化简求值，完全平方公式的应用，
对于（1），根据题中分式确定原式的最小值即可；
对于（2），将假分式化为真分式再判断满足条件的整数值；
对于（3），根据题意将原式改写为，然后根据不等式的性质进行计算可得答案．
【详解】（1）解：令，则，
得，
所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3,6；
（2）解：，
∵x为整数，且为整数，
∴或或或，
解得或或或，共4个．
故答案为：；4；
（3）解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，式子有最小值为4，
所以当时，分式取最大值，最大值为．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题11 分式的运算（浙教2024）
【9个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】分式的乘除混合运算（选填） 1
【基础题型二】补全代数式中所缺的项 2
【基础题型三】分式乘除混合运算（计算题） 3
【基础题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母 5
【基础题型五】分式的混合运算（计算题） 6
【基础题型六】分式加减的实际应用 8
【基础题型七】分式的化简求值问题 10
【基础题型八】零指数幂与负指数幂中比较大小 11
【基础题型九】零指数幂与负指数幂解答题计算 12
【压轴题型十】分式的运算中最值问题 14
【压轴题型十一】分式的运算中实践探索类题型 18
【基础题型一】分式的乘除混合运算（选填）
例题1（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级上·云南红河·期末）化简： ．
【变式1-2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ．
【变式1-3】（2025·湖北随州·一模）计算： ．
【变式1-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ．
【变式1-5】（2025·山东济南·一模）的结果为 ．
【变式1-6】（2025·山东济南·一模）化简的结果为 ．
【基础题型二】补全代数式中所缺的项
例题2（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（24-25八年级上·全国·期末）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．x
【变式2-5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-6】（2025·河北廊坊·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ．
【基础题型三】分式乘除混合运算（计算题）
例题3（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算
(1)；
(2)．
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3-2】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式3-3】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3-4】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3-5】（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式3-6】（2025八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3-7】（2025八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【变式3-8】（24-25八年级上·全国·期末）计算下列各题
(1)．
(2)．
【基础题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母
例题4（2025八年级下·全国·期中）已知，则 ， ．
【变式4-1】（24-25八年级下·全国·期中）已知，则 ．
【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期中）若恒成立，则的值是 ．
【变式4-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，，为常数，则的值为 ．
【变式4-4】（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【变式4-5】（2025·山西吕梁·模拟预测）若，其中a，b为常数，则 ．
【变式4-6】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，其中，，，为常数，则 ．
【变式4-7】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ．
【基础题型五】分式的混合运算（计算题）
例题5（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式5-2】（2024八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式5-4】（2024九年级下·辽宁·期中）（1）计算：；
（2）计算： ．
【变式5-5】（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式5-6】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）计算：
(1)
(2)
【变式5-7】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）化简
(1)
(2)
【变式5-8】（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式5-9】（2025七年级下·浙江·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【基础题型六】分式加减的实际应用
例题6（24-25八年级下·全国·期中）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
【变式6-1】（24-25八年级下·全国·期中）现有铁丝和铜丝各一捆（可以称出每捆质量）．已知铁丝和铜丝的截面半径分别为和，请你设计一种方案，不用直接测量长度，就能计算这捆铁丝和这捆铜丝的长度差（注：铁的密度约为，铜的密度约为）．
【变式6-2】（24-25八年级下·全国·期中）甲、乙两人进行百米赛跑，甲前半程的平均速度为，后半程的平均速度为；乙前半时的平均速度为，后半时的平均速度为．谁先到达终点？
【变式6-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明．
【变式6-4】（2024八年级上·全国·期末）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？
【变式6-5】（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；
(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
【变式6-6】（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
【基础题型七】分式的化简求值问题
例题7（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若数轴上点、表示的数分别为、，且，求的值．
【变式7-1】（2025·湖南常德·二模）先化简，再求值：，其中．
【变式7-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值．
【变式7-3】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式7-4】（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值．
【变式7-5】（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）已知，求代数式的值．
【变式7-6】（2025·陕西榆林·二模）先化简，再求值：，其中，．
【变式7-7】（2025·重庆·模拟预测）化简求值：，其中满足
【变式7-8】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【基础题型八】零指数幂与负指数幂中比较大小
例题8（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么a、b、c三数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【变式8-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【变式8-5】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-6】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接）
【变式8-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接）
【变式8-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知 ，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
【基础题型九】零指数幂与负指数幂解答题计算
例题9（2025·湖北十堰·三模）计算
【变式9-1】（2025·陕西咸阳·二模）计算：．
【变式9-2】（2025·浙江杭州·二模）计算：
【变式9-3】（2025·陕西延安·二模）计算：．
【变式9-4】（2025·浙江温州·二模）计算：．
【变式9-5】（2025·湖北恩施·一模）计算：
【变式9-6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算：．
【变式9-7】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算：．
【变式9-8】（2025·湖北孝感·二模）计算：；
【压轴题型十】分式的运算中最值问题
例题10（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
【变式10-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设，则．
∴原式＝
∴
∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：当，时，∵
∴当，即时，有最小值2．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式；
(2)已知分式的值为整数，求整数x的值；
(3)当时，求代数式的最小值 ．
【变式10-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等．
例如：，求证：
证明：左边
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；
(4)若正数、满足，求的最小值．
【变式10-3】（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）；
(2)已知．
①___________（用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
【变式10-4】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______．
(2)求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值．
【变式10-5】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如：
，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式．
解决问题：
(1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　；
(2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？
(3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？
【压轴题型十一】分式的运算中实践探索类题型
例题11（24-25八年级上·河北邯郸·期末）【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大；
【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题．
【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式．
（1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”）
（2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？
【变式11-1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则 ；如果，则 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【变式11-2】（24-25八年级上·山东淄博·期末）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值．
（三）问题解决：
已知：．求代数式的值．
【变式11-3】（2024八年级下·江苏·期末）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 　　；
②求证：；
(2)若满足，求的值．
【变式11-4】（23-24七年级上·上海·期末）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解
(2)计算：
(3)①已知，求的值
②若，直接写出的值．
【变式11-5】（23-24七年级下·辽宁营口·期中）计算
（1）计算：；
（2）找规律：
观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1） ；
（2） ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：
【变式11-6】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 ．
②求证．
(2)已知，，且，求的值．
1．（2025八年级下·全国·期中）一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东广州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·安徽·二模）已知两个不为零的实数满足其中．则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．，的大小关系与的取值有关
5．（2025·广东广州·二模）某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）设，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏南通·二模）已知实数，满足，则 ．
9．（2025·湖南岳阳·二模）已知，则代数式的值是 ．
10．（24-25九年级下·重庆·期中）计算：
11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ．
12．（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下：
原式①
②
③
④
⑤
(1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）．
(2)请你给出这道题的正确解答过程．
13．（2025·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中．
14．（2025·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
15．（2025·宁夏银川·二模）数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务：
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学：．
(1)【任务一】
①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____．
②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____．
(2)【任务二】
①该“接力游戏”正确的化简结果是_____；
②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值．
16．（24-25八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
(2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个；
(3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？

展开更多......

收起↑