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【精准提分】专题09 因式分解（浙教2024）
【9个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为因式分解 1
【基础题型二】找出各项的公因式 3
【基础题型三】添括号和去括号 3
【基础题型四】判断是否能用乘法公式进行因式分解 4
【基础题型五】利用因式分解求代数式的值 5
【基础题型六】因式分解与不等式结合 6
【基础题型七】因式分解中解密类题型 7
【基础题型八】已知代数式其中一个因式求另一个因式或参数的值 8
【基础题型九】因式分解中计算题 9
【压轴题型十】因式分解中整除类问题 11
【压轴题型十一】因式分解中选填压轴 13
【压轴题型十二】因式分解中解答题压轴 15
【基础题型一】判断是否为因式分解
例题1（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型二】找出各项的公因式
例题2（2025·贵州贵阳·一模）多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ．
【变式2-4】（23-24八年级上·全国·期末）多项式与的公因式是 ．
【变式2-5】（23-24七年级下·江苏南京·期末）多项式：与的公因式是 ．
【变式2-6】（23-24八年级上·全国·期末）（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【基础题型三】添括号和去括号
例题3（24-25七年级上·河南南阳·期末）下列各式左右两边相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024七年级下·全国·期末）计算时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-5】（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型四】判断是否能用乘法公式进行因式分解
例题4（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级上·山东德州·期末）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-4】（23-24八年级下·福建三明·期末）下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期末）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-6】（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-7】（24-25八年级上·山东威海·期中）下列多项式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有个（ ）
A． B． C． D．
【基础题型五】利用因式分解求代数式的值
例题5（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．不能确定
【变式5-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
【变式5-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若x，y满足，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-4】（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（ ）
A．12 B．7 C．4 D．3
【变式5-5】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式5-6】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
【变式5-7】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）已知，，则多项式 ．
【变式5-8】（2025·河南驻马店·三模）已知实数x，y，满足，，则的值为 ．
【基础题型六】因式分解与不等式结合
例题6（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【变式6-1】（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，，则的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在
【变式6-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知（为任意有理数），的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式6-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-8】（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【基础题型七】因式分解中解密类题型
例题7（24-25八年级上·河南驻马店·期中）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国
【变式7-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：宁，爱，我，济，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽济宁 C．我爱济宁 D．济宁美
【变式7-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥
【变式7-3】（24-25八年级上·江西新余·期末）小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学
【变式7-4】（24-25八年级上·山西朔州·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
【变式7-5】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：集，爱，我，数，学，辛，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱我辛集 C．我爱辛集 D．辛集数学
【变式7-6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：荆、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游荆州 B．我爱游 C．我爱荆州 D．我游荆州
【基础题型八】已知代数式其中一个因式求另一个因式或参数的值
例题8（2025·安徽马鞍山·一模）如果是的一个因式，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式8-1】（2025七年级下·全国·期中）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（ ）
A．6 B． C．10 D．
【变式8-2】（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【变式8-3】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．
【变式8-4】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果是的一个因式，则m的值是（ ）
A． B．6 C． D．8
【变式8-6】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ）
A．10 B．17 C．15 D．8
【变式8-7】（24-25九年级上·山东德州·期中）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【基础题型九】因式分解中计算题
例题9（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式9-1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【变式9-3】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式9-4】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式9-5】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式9-6】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式9-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)利用因式分解进行简便计算：；
【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式9-9】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【压轴题型十】因式分解中整除类问题
例题10（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　）
A．被4整除 B．被5整除
C．被6整除 D．被7整除
【变式10-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【变式10-2】（2025·河南南阳·二模）设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （ ）
A．它一定是5的倍数 B．它一定是3的倍数
C．它一定是4的倍数 D．它一定是6的倍数
【变式10-3】（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
【变式10-4】（24-25九年级上·重庆·期末）能被整除的正整数的最大值是（ ）
A．90 B．890 C．900 D．990
【变式10-5】（24-25九年级下·安徽蚌埠·期中）若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
【变式10-6】（24-25八年级上·福建福州·期末）若m为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【变式10-7】（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【变式10-8】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（ ）
A． B． C．7 D．6
【变式10-9】（24-25八年级上·山东东营·期中）已知为自然数，则一定能被（ ）整除．
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式10-10】（24-25八年级上·山东济宁·期末）若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【压轴题型十一】因式分解中选填压轴
例题11（2025·重庆·二模）已知整式C：，，其中为整数．下列说法：
①若，，则满足条件的整式C共有8个；
②若，，则满足条件的整式C共有12个；
③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个．
其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式11-1】（24-25九年级下·重庆南岸·期中）已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法：
①满足条件的整式M共有16个；
②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式；
③当时，M的值为y，则y的最小值为；
④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式11-2】（24-25九年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法：
①，是方程的一组解，
②连续四个正整数一定是方程的一组解，
③若，则方程共有21组解，
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式11-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【变式11-4】（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则；
③第2024个整式为；
④当时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式11-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式11-6】（重庆市巴南区2024-2025学年下学期九年级半期测试数学试题卷）若一个三位正整数P可以分解成的形式(其中均为正整数且，则称P 为“平方差分解数”．在的所有分解中，当取得最小值时，称为的最优分解，此时规定：．计算 ；若三位数为“平方差分解数”，其中，，均为整数，，，，且的个位数字与十位数字相同，将的各个数位上的数字之和记为，记，若为的整数倍，为满足条件的所有三位整数中的最小值，则
【变式11-7】（24-25七年级下·重庆·期中）一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“吉祥数”．例如：，满足，则是“吉祥数”，则最小的吉祥数为： ；若一个四位数（其中，，，，且，，，均为整数）为“吉祥数”，记，且是完全平方数，则满足条件的所有“吉祥数”的和是 ．
【变式11-8】（24-25七年级下·重庆·期中）我们规定：一个四位数，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 ；M是一个“平方奥秘数”，设，；若是一个完全平方数，且能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 ．
【压轴题型十二】因式分解中解答题压轴
例题12（江苏省扬州中学树人教育集团2024-2025学年第三次模拟考试九年级数学试卷）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
【变式12-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题．
分解因式：
观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体
设定新变量：设
进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到
因式分解简化后的代数式：对进行因式分解
①竖分二次项与常数项：，
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式，得到
还原变量：将还原，得到
进一步分解，得到
上述这种因式分解的方法称为“换元法”．
(1)分解因式时，设，则原代数式化为 ；
(2)模仿上述方法分解因式：．
【变式12-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：
首先，我们知道：，
变形一下，就是，
依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子：
；
；
；
；
观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值．
【变式12-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：
；．
【变式12-4】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
【变式12-5】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．可知当时，有最小值，最小值是．
(1)用配方法分解因式：；
(2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得是完全平方数的所有整数m的积．
【变式12-6】（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________．
1．（24-25八年级下·四川达州·期中）下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．19 D．21
3．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七年级下·浙江·期中）计算的结果为（ ）
A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000
5．（2025·四川眉山·一模）已知三个实数a、b、c满足，，则（ ）
A．， B．， C． D．
6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）已知，，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南常德·二模）定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”．下列说法不正确的是（ ）
A．34是和谐数
B．（是整数）不一定是和谐数
C．如果数都是“和谐数”（），则也是“和谐数”
D．当时，（是整数）是“和谐数”
8．（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排 名男学生，此次团体操表演最少需要 名学生．
9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，且，则
10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ．
11．（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ．
12．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ．
13．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值．
，其中．
14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量．
15．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知代数式．
(1)化简A；
(2)若，，求A的值．
16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ．
(2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ．
17．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：．
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题09 因式分解（浙教2024）
【9个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】判断是否为因式分解 1
【基础题型二】找出各项的公因式 5
【基础题型三】添括号和去括号 7
【基础题型四】判断是否能用乘法公式进行因式分解 10
【基础题型五】利用因式分解求代数式的值 14
【基础题型六】因式分解与不等式结合 18
【基础题型七】因式分解中解密类题型 23
【基础题型八】已知代数式其中一个因式求另一个因式或参数的值 27
【基础题型九】因式分解中计算题 30
【压轴题型十】因式分解中整除类问题 38
【压轴题型十一】因式分解中选填压轴 43
【压轴题型十二】因式分解中解答题压轴 60
【基础题型一】判断是否为因式分解
例题1（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意
B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
C. ，是因式分解，故此选项符合题意；
D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，再判断求解．
【详解】解：、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意；
、，右边不是积的形式，故选项不符合题意；
、，右边不是积的形式，故选项不符合题意；
、 是因式分解，故选项符合题意．
故选：D
【变式1-2】（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可．
【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意；
B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意；
C、，不属于因式分解，不符合题意；
D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示为几个多项式乘积的形式，称为因式分解，掌握因式分解的概念是解题的关键．根据因式分解的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、，因式分解错误，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
【变式1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解；
选项B：，原分解错误；
选项C：属于整式乘法，不是因式分解．
选项D：符合因式分解定义．
故选：D．
【变式1-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意；
故选：D．
【变式1-6】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念是关键．
因式分解：将多项式分解为几个单项式的积的形式，根据概念辨析即可求解．
【详解】解：A、等号右边不是单项式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、不是单项式，不是因式分解，不符合题意；
C、等号右边不是单项式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、运用的是公式法因式分解，符合题意；
故选：D ．
【变式1-7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可．
【详解】解：A、，是整式的乘法，不符合题意；
B、，等式右边不是积的形式，不符合题意；
C、，等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选D．
【基础题型二】找出各项的公因式
例题2（2025·贵州贵阳·一模）多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式，
故选：B．
【变式2-1】（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．
【详解】解：，
∴应提取的公因式是，
故选：D．
【变式2-2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
故多项式的公因式是，
故选：D．
【变式2-3】（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键．
【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：．
故答案为：．
【变式2-4】（23-24八年级上·全国·期末）多项式与的公因式是 ．
【答案】
【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可．
【详解】解：，
，
多项式与的公因式是：．
故答案为：．
【变式2-5】（23-24七年级下·江苏南京·期末）多项式：与的公因式是 ．
【答案】
【分析】先找到多项式的公因式，再结合单项式写出公因式解题即可．
【详解】解：，
，
与的公因式是；
故答案为：．
【变式2-6】（23-24八年级上·全国·期末）（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【答案】 ； ； ； ．
【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键．
【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
故答案为：（）；（）；（）；（）．
【基础题型三】添括号和去括号
例题3（24-25七年级上·河南南阳·期末）下列各式左右两边相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选B．
【变式3-1】（2024七年级下·全国·期末）计算时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确．
对后两项添括号时，变为，对后两项添括号时，变为，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查去括号和添括号法则，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号时符号的变化规律．
根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断．
【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误；
B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误；
C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误；
D、根据添括号法则，，选项D正确．
故选：D．
【变式3-3】（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可．
【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．，原去括号正确，故该选项符合题意；
．，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．，原去括号错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查去括号法则，直接利用去括号法则判断得出即可．
【详解】解：A. ，原变形错误，故此选项不符合题意；
B. ，原变形正确，故此选项符合题意；
C. ，原变形错误，故此选项不符合题意；
D. ，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-5】（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了去括号和添括号计算法则，熟知相关计算法则是解题的关键：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可．
【详解】解：．，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．，原去括号错误，故该选项不符合题意；
．，原添括号正确，故该选项符合题意；
．，原去括号错误，故该选项不符合题意；
故选：C
【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了添括号，平方差公式的应用，掌握添括号法则与平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式的特征对其进行添括号即可判断．
【详解】解：，
故选：C．
【基础题型四】判断是否能用乘法公式进行因式分解
例题4（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级上·山东德州·期末）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．
【详解】解：∵，
∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，
∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，即不符合完全平方公式，
∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
∵，
∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
【变式4-3】（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【变式4-4】（23-24八年级下·福建三明·期末）下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的形式判断即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、不能用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；
故选：D．
【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期末）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用提公因式法和公式法逐一进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：A、，能分解因式，不符合题意，选项错误；
B、，不能分解因式，符合题意，选项正确；
C、，能分解因式，不符合题意，选项错误；
D、，能分解因式，不符合题意，选项错误，
故选：B．
【变式4-6】（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可．
【详解】解：①不能用公式法分解因式，不符合题意；
②，可以用平方差公式分解因式，符合题意；
③不能用公式法分解因式，不符合题意；
④不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选A．
【变式4-7】（24-25八年级上·山东威海·期中）下列多项式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有个（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：，符合题意；
，符合题意；
，符合题意；
，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．
故选C．
【基础题型五】利用因式分解求代数式的值
例题5（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
∴，
∴的值为4或，
故选：C．
【变式5-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：A．
【变式5-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】D
【分析】本题考查了配方法以及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解能力．观察题目，对已知条件根据完全平方公式进行整理得，结合非负数的性质可得， 从而求出x和y的值，接下来将其代入即可解答．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若x，y满足，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，熟练掌握平方差公式和整体代入法是解题的关键．将两个等式相减，整理得到，结合，得到，再利用整体法代入求值即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式5-4】（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（ ）
A．12 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式法分解因式；
对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【变式5-5】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式，根据平方差公式把所求式子变形为，代入可得所求式子，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：C．
【变式5-6】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
【答案】48
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【变式5-7】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）已知，，则多项式 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将因式分解得，再把已知条件代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【变式5-8】（2025·河南驻马店·三模）已知实数x，y，满足，，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，求解代数式的值，由条件可得，再把代入计算即可.
【详解】解：．
，
∴，
故答案为4.
【基础题型六】因式分解与不等式结合
例题6（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
，
，即，
，
，
将代入得，
，
，，
故选：A．
【变式6-1】（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查代数式求值，因式分解，根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；故选项A正确，不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得：，
∴；故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故选项C正确，不符合题意；
若，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
【变式6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【变式6-3】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用，利用作差法比较大小是解题的关键．先计算，再利用完全平方公式变形即可得出结论．
【详解】解：由题意得，
，
．
故选：B．
【变式6-4】（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解．
首先得出，然后将左边因式分解为，然后根据题意得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∵、、是正整数，
∴
∴得，．
故选：A．
【变式6-5】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，，则的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在
【答案】B
【分析】该题考查了完全平方公式分解因式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得
，
故的最小值是5，
故选：B．
【变式6-6】（24-25七年级下·全国·期中）已知（为任意有理数），的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】此题考查因式分解的应用，用求差比较法比较大小，掌握比较大小的常用方法是关键．
【详解】解：，
，即，
故选：C．
【变式6-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减运算，根据完全平方公式因式分解，根据题意计算,即可
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故选：B ．
【变式6-8】（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【基础题型七】因式分解中解密类题型
例题7（24-25八年级上·河南驻马店·期中）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国
【答案】A
【详解】解：∵
，
分别对应4个汉字：爱，我，数，学．
则呈现的密码信息可能是：我爱数学．
故选：A．
【变式7-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：宁，爱，我，济，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽济宁 C．我爱济宁 D．济宁美
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，将已知式子进行因式分解，再由题意求是解题的关键．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息即可．
【详解】解：
又∵，，，分别对应下列四个字：我，爱，济，宁，
∴结果呈现的密码信息是：我爱济宁．
故选：C ．
【变式7-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
，
∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”，
故选：A．
【变式7-3】（24-25八年级上·江西新余·期末）小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可．
【详解】解：，
，
，
分别对应汉字我、爱、新、余，
呈现的密码信息可能是我爱新余，
故选：C．
【变式7-4】（24-25八年级上·山西朔州·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案．
【详解】解：，且，，
各个因式的值是，，，
组成的密码应包含11，12，32，
组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能组成的密码为123011．
故选：D．
【变式7-5】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：集，爱，我，数，学，辛，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱我辛集 C．我爱辛集 D．辛集数学
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．先把多项式分解因式，再对照密码手册求解即可．
【详解】解：
，
∴结果呈现的密码信息是由“我”，“辛”，“集”，“爱”四个字组成的
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱辛集，
故选：C．
【变式7-6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：荆、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游荆州 B．我爱游 C．我爱荆州 D．我游荆州
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用因式分解的方法进行因式分解成为解题的关键．
先对多项式进行因式分解，然后根据密码手册分析呈现信息即可解答．
【详解】解：
，
所以结果呈现的密码信息可能是：我爱荆州．
故选C．
【基础题型八】已知代数式其中一个因式求另一个因式或参数的值
例题8（2025·安徽马鞍山·一模）如果是的一个因式，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【详解】解：∵是的一个因式，
∴当时，，
解得：，
故选：B．
【变式8-1】（2025七年级下·全国·期中）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（ ）
A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，根据题意，令，当时，代入求解即可．
【详解】解：令
当时，
∴
故选：B．
【变式8-2】（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．
直接利用十字相乘解题即可．
【详解】解：∵把多项式分解因式后含有因式，
∴，
∴，
故选：D．
【变式8-3】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解．
【详解】解：由题意得：
，
∴且，
解得：，
∴的值为：，
故选：B．
【变式8-4】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】解：，
，
∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，
∴，，
∴，
故选：B．
【变式8-5】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果是的一个因式，则m的值是（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．设，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值．
【详解】解：设，
整理得，
则，
解得：．
故选：A．
【变式8-6】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ）
A．10 B．17 C．15 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和．
【详解】解：，
所以或或或或或．
∴整数k的值是或或，
观察四个选项，C选项符合题意．
故选：C．
【变式8-7】（24-25九年级上·山东德州·期中）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，
∴，
则，
，
故选：B
【基础题型九】因式分解中计算题
例题9（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
；
（3）解：
，
．
【变式9-1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键．
（1）利用提公因式法解题即可；
（2）先提公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【变式9-3】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
（1）把作为一个整体直接利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解因式得出答案；
（2）去括号，把作为一个整体直接利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）解：
．
【变式9-4】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式9-5】（2025七年级下·浙江·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键．
（1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答；
（2）直接提取公因式即可解答；
（3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答；
（4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解∶
．
【变式9-6】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底；
（3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可；
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式9-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)利用因式分解进行简便计算：；
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是关键；
（1）直接提取公因式即可；
（2）先化为，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先化为，再提取公因式结合平方差公式分解因式即可；
（4）先化为，再结合完全平方公式计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【变式9-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．
（1）提公因式即可；
（2）先变形，再提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式9-9】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了综合提公因式和完全平方公式进行因式分解，运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，注意分解要彻底．
（1）运用平方差公式进行分解即可得到答案；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续进行分解即可得到答案；
（3）将式子化为两个数的平方差，再运用平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【压轴题型十】因式分解中整除类问题
例题10（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　）
A．被4整除 B．被5整除
C．被6整除 D．被7整除
【答案】A
【详解】解：
，
由于m为整数，则为4的倍数，从而能被4整除；
故选：A．
【变式10-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】D
【分析】本题考查了整式的混合运算，运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合k为任意整数，得到是整数，由此即可求解．
【详解】解：
由条件可知是整数，
∴的值总能被7整除，
故选：D．
【变式10-2】（2025·河南南阳·二模）设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （ ）
A．它一定是5的倍数 B．它一定是3的倍数
C．它一定是4的倍数 D．它一定是6的倍数
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式进行因式分解，然后分析其中是否含有数字因式即可．
【详解】解：，
a为大于3的任意整数，
它一定是4的倍数．
故选C．
【变式10-3】（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
【答案】D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
【变式10-4】（24-25九年级上·重庆·期末）能被整除的正整数的最大值是（ ）
A．90 B．890 C．900 D．990
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式除法的应用，因式分解的应用，根据得出，然后根据能被整除，得出为整数，即为整数，求出最大整数值即可．
【详解】解：∵
，
∵能被整除，
∴为整数，
即为整数，
∴正整数的最大值是890．
故选：B．
【变式10-5】（24-25九年级下·安徽蚌埠·期中）若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式和合并同类项法则进行化简，得出，然后进行判断即可．
【详解】解：
．
和中必有一个为偶数，
一定能被6整除．
故选：C．
【变式10-6】（24-25八年级上·福建福州·期末）若m为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解是解题的关键．先将转化为，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
为自然数，
的值总能被3整除，
故选：
【变式10-7】（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，
根据题意，得
，
当时，，都能成立；
当时，则，则，
故，
故，
故一定能被8整除，
故选：D．
【变式10-8】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（ ）
A． B． C．7 D．6
【答案】A
【分析】本题考查方程的解，多项式给与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
根据方程有三个互不相等的正整数解，不妨设方程三个解为m、n、p，且m、n、p均为互不相等的正整数，则，从而得到，因为m、n、p均为互不相等的正整数，又，所以方程的解为或或，代入即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵方程有三个互不相等的正整数解
∴不妨设方程三个解为、、，且m、n、p均为正整数，
∴
∴，，
∴
∵m、n、p均为正整数，，
∴方程的解为或或，
∴
故选：A．
【变式10-9】（24-25八年级上·山东东营·期中）已知为自然数，则一定能被（ ）整除．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．将所求式子用平方差公式分解因式即可进行求解．
【详解】解：∵
，
∴一定能被8整除．
故选：B．
【变式10-10】（24-25八年级上·山东济宁·期末）若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案．
【详解】解：，
的值总可以被11整除，即，
故选：A．
【压轴题型十一】因式分解中选填压轴
例题11（2025·重庆·二模）已知整式C：，，其中为整数．下列说法：
①若，，则满足条件的整式C共有8个；
②若，，则满足条件的整式C共有12个；
③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个．
其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
当时，得，此时符合条件整式C为，有1个；
当时，得，
，且为整数，
当时，，此时整式C为，
当时，，此时整式C为，
当时，，此时整式C为，
当时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有3个；
当时，可得，
当，时，，此时整式C为，
当，时，，此时整式C为，
，时，不符合题意题中条件，
当，时，，此时整式C为，
时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有3个；
当时，得，
当，，时，，此时整式C为，
，时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有1个，
所以符合条件的整式C为个，故①正确；
由题意可得，
，
的值为或或，
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，，，有3个；
当，时，，则，此时整式C有，，，有3个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，有2个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
所以满足条件的整式C共有12个，故②正确；
时，无法被整除，不成立；
当时，被整除，
的最大值为2，
时，被整除，那么，此时整式为成立，
时，被整除，那么，此时整式为成立，
时，与上面两种情况重复，
故时，满足条件的整式C有个，
当时，被整除，
设商为，
，
，即，
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
故时，满足条件的整式C有个，
当时，被整除，
设商为，
，
，即，
当时，，
只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
当时，，
有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有12个；
当时，，
有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有12个；
当时，，
只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
故时，满足条件的整式C有个，
所以符合条件的整式C有，故③错误，
则正确的个数有2个，
故选：C．
【变式11-1】（24-25九年级下·重庆南岸·期中）已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法：
①满足条件的整式M共有16个；
②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式；
③当时，M的值为y，则y的最小值为；
④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定、、的取值组合，进而对关于整式的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案．
【详解】解：①为正整数，，为自然数，且，、、互不相等，有以下几种情况：
当时，，则，可以为，，，，，
当时，，则，可以为，，，，，
当时，，则，可以为，，，
当时，，则，可以为，，，
当时，，则，可以为，，，
满足条件的组合共有组，
满足条件的整式共有14个，故①错误；
②二次三项式要求，，，从上面的组合中找，有，2，，3，，1，，3，，1，，2，共6个，
满足条件的整式中，有6个是二次三项式，故②错误；
③当时，，
由可得，则，要使最小，
为正整数，为自然数，当，时，，
的最小值为，
故③正确；
④整式，整式，
当时，，
，即，
，
或，
故④错误；
综上，③正确，正确的个数是1个，
故选：A．
【变式11-2】（24-25九年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法：
①，是方程的一组解，
②连续四个正整数一定是方程的一组解，
③若，则方程共有21组解，
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，涉及平方差公式的应用、方程的解，先利用平方差公式可得，再根据题意，得到为连续正整数时，是方程的解，再逐一判断即可得到答案．正确地找出规律是解题的关键．
【详解】解：，
当，时，代入，
，是方程的一组解，
故①正确；
，，
当时，，
则，
，
正整数，满足，
，则，
即，
是四个连续的正整数，则连续四个正整数一定是方程的一组解，
故②正确；
③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解，
∴和和为连续的整数时，一定是方程，
∵，
∴，
∴，
当时，则或或或：
当时，则或或或，
当时，则或或，
当时，则或，
当时，则，共10组解；
当时，则或，
当时，则或或，
当时，则，共6组解；
当时，则或，
当时，则，共3组解；
当时，则，共1组解；
∴若，则方程共有组解，
故③错误；
综上所述，正确的说法是①②，共2个，
故选：C．
【变式11-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有
所以大于1的奇正整数都是“流星数”，
对于被4整除的偶数，有，
即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”，
对于被4除余2的数，
设，其中，为正整数，
当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除；
当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾，
所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”，
因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”，
此后，每连续四个数中有三个“流星数”．
∴第4个“流星数”为，
第7个“流星数”为，
第10个“流星数”为，
∴第个流星数为，
故选：C．
【变式11-4】（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则；
③第2024个整式为；
④当时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，故①正确；
以此类推，，
，故④正确；
第一个整式为，
第二个整式为，
第三个整式为，
第四个整式为，……
以此类推，第个整式为，
第2024个整式为，故③正确；
第三个整式与第二个整式的差为，
，
解得：，故②错误；
综上所述，结论正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【变式11-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键．
【详解】解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
【变式11-6】（重庆市巴南区2024-2025学年下学期九年级半期测试数学试题卷）若一个三位正整数P可以分解成的形式(其中均为正整数且，则称P 为“平方差分解数”．在的所有分解中，当取得最小值时，称为的最优分解，此时规定：．计算 ；若三位数为“平方差分解数”，其中，，均为整数，，，，且的个位数字与十位数字相同，将的各个数位上的数字之和记为，记，若为的整数倍，为满足条件的所有三位整数中的最小值，则
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，不定方程，数的整除，根据定义得出120 的因子对，检验得出最小 为 2，进而求得最优分解为 ，，即得出；根据，且个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 ，进而根据 为 5 的整数倍，得出 恒成立，再得出，进而验证为 5 的倍数得出可能 值：388 和 899，结合最优分解，得出 中最小值为 388，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵120 是平方差分解数，即 对于正整数 ．
根据平方差公式，．
设 ，，则 ，且 ， 和 同奇偶（因为 ， 需为整数）
120 的因子对及同奇偶检查：
经检验，有效数对为 、、、．
最小 为 2（对应 )．
此时，，．
验证：．
最优分解为 ，．
则：
∵ 是三位数，其中 ，，（ 隐含为整数且 ，因 为三位数）．
∵个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 ，则 ．由 ，得：
即 被 11 整除．
设 （ 为整数，)，则：，为整数，
又∵，余数为 5
所以 ．为整数，
的可能 值为：17， 28， 39， 50， 61， 72， 83， 94．
经检验，∶ ，，．
∶ ，，．
∶ ，，．
数字和 ．
∵， 为 5 的整数倍．
恒成立．
为整数，故 整除 10，且 （因 )．
10 的因子 ∶ 5， 10．
所以 或 ，即 或 ．
若 ，∶
需为 5 的倍数：
（)∶ （不满足）．
（)∶ （满足）．
（)∶ （不满足）．
所以 ，，．
若 ，∶
需为 5 的倍数：
（)∶ （不满足）．
（)∶ （不满足）．
（)∶ （满足）．
所以 ，，．
可能 值：388 和 899．
需为平方差分解数：
∶ 分解为 ．
经检验有效数对为：．
，．
验证：，最小 ．是平方差分解数．
∶ 分解为 ．
因子对：（同奇），（同奇）．
最小 （对应 )：
，．
验证：．是平方差分解数．
满足条件的 中最小值为 388（因 )．
最优分解为 ，．
则：
∴
故答案为：，．
【变式11-7】（24-25七年级下·重庆·期中）一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“吉祥数”．例如：，满足，则是“吉祥数”，则最小的吉祥数为： ；若一个四位数（其中，，，，且，，，均为整数）为“吉祥数”，记，且是完全平方数，则满足条件的所有“吉祥数”的和是 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减，因式分解，整数的特征，熟练根据题意正确列式并掌握整数的特征是解题的关键．设（其中，，，，且，，，均为整数），由题意可得，化为，则是的整数倍，可得，则，要求最小的吉祥数，则要尽量小，则，，要尽量小，结合，则，，即可求出最小的吉祥数；通过整式加减和因式分解化简，由于是完全平方数，结合，范围得出，再求解即可．
【详解】解：设（其中，，，，且，，，均为整数），
由题意可得，
∴，
∴，
∴是的整数倍，
∵，，，，且，，，均为整数，且各个数位上数字互不相同，
∴，
∴，
∴，
得，
要求最小的吉祥数，
则要尽量小，
结合，
则，，
要尽量小，结合，
当，时，不合题意，舍；
则，，
则最小的吉祥数为；
∵，，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∵，且，均为整数，且各个数位上数字互不相同，
∴，
∵是完全平方数，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，，（，舍）；
当时，，，；
当时，，（，舍）；
当时，，，；
满足条件的所有“吉祥数”的和是，
故答案为：；．
【变式11-8】（24-25七年级下·重庆·期中）我们规定：一个四位数，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 ；M是一个“平方奥秘数”，设，；若是一个完全平方数，且能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 ．
【答案】 9969 6514
【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解题中新定义，熟练进行整式的运算是解题的关键．设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为，由题意得，根据最大“平方奥秘数”，当时，求得，由此可确定b与c的值，从而确定“平方奥秘数”；当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也是小于上面求得的“平方奥秘数”，故可得最大“平方奥秘数”；由是一个完全平方数可求得，由及得，可得为偶数，进而得的值，根据“平方奥秘数”的意义可得a、d的取值，从而得b、c的取值，最后可得“平方奥秘数”中的最大数．
【详解】解：设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为，
由题意得：，即；
当为最大“平方奥秘数”时，若，则，
∴；
要满足为最大“平方奥秘数”，则，
∴“平方奥秘数”为9969；
∴当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也不是最大“平方奥秘数”，
故最大“平方奥秘数”为9969；
∵“平方奥秘数”各个数位上的数字是不完全相同的正整数，
∴a，b，c，d四个数中最多三个取9，另一个取8时，四个数的和最大为35，四个数中最多三个取1，另一个取2，四个数的和最小为5，
即，
∴；
∵是一个完全平方数，
∴，
∴，；
∵，
∴；
∴
，
∵是8的倍数，
∴必为偶数，
∴b，c同奇或同偶；
∵，
∴，
∴，
∴或4或6；
对应地，或12或10；
当，时，
由，得，不合题意；
当，时，
由，得，不合题意；
当，时，
由，得，合题意；
∴；
此时，4，3，2，1，，2，3，4，5，
对应地，“平方奥秘数”为6514，6424，6334，6244，6154，“平方奥秘数”中的最大数为6514．
故答案为：9969，6514．
【压轴题型十二】因式分解中解答题压轴
例题12（江苏省扬州中学树人教育集团2024-2025学年第三次模拟考试九年级数学试卷）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①∵
∴；
②∵
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①根据题意得：
∴，
故答案为：；
②，
∴，
∴，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
【变式12-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题．
分解因式：
观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体
设定新变量：设
进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到
因式分解简化后的代数式：对进行因式分解
①竖分二次项与常数项：，
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式，得到
还原变量：将还原，得到
进一步分解，得到
上述这种因式分解的方法称为“换元法”．
(1)分解因式时，设，则原代数式化为 ；
(2)模仿上述方法分解因式：．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键．
（1）利用换元法即可得出结果；
（2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可．
【详解】（1）解：设，则原代数式化为，
故答案为：；
（2）解：对进行因式分解
①竖分二次项与常数项：，
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式，得到
还原变量：将还原，得到
进一步分解得到
所以，．
【变式12-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：
首先，我们知道：，
变形一下，就是，
依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子：
；
；
；
；
观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键．
仿照题干进行求解即可．
【详解】解：，
当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式：
，
，
，
，
，
将这个等式的左右两边分别相加得：，
即
．
【变式12-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：
；．
【答案】(1)；；
(2)；．
【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式．
仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得；
仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得；
设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可；
设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可．
【详解】（1）解：，
；
解：，
；
（2）解：，
设，
则原式化为，
，
把还原可得：；
：解，
设，
则原式化为，
，
把还原可得：．
【变式12-4】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)，90(3)
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
（1）由题意利用面积相等推导公式：；
（2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可，
（3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积
由此即可解题．
【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成，
知识生成：，
故答案为：；
（2）正方体棱长为，
∴体积为，
∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；
∴，
∵，，
∴
（3）有图可知：，．
∴，
∴，，
∵，
∴，
图中阴影部分的面积
【变式12-5】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．可知当时，有最小值，最小值是．
(1)用配方法分解因式：；
(2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得是完全平方数的所有整数m的积．
【答案】(1)(2)当时，多项式有最大值13(3)84
【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）把变形为即可求解；
（2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解；
（3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值13．
（3）解：设，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①，，解得：，；
②，，解得：，；
③，，解得：，；
④，，解得：，．
所以所有m的积为．
【变式12-6】（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________．
【答案】(1)或(2)(3)，，
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用；
(1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案；
(2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案；
(3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
（2）根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3），
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，，．
1．（24-25八年级下·四川达州·期中）下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分解因式．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，基本方法有提公因式法和公式法，熟练掌握定义和方法，是解题的关键．
要确定从左到右的变形中是否为分解因式正确，只需根据定义和方法来确定．
【详解】A. ，A正确；
B. ，B正确；
C. ，C不正确；
D. ，D正确．
故选：C．
2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．19 D．21
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：B．
3．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平方差公式，用平方差公式展开，根据对应项相等即可求解，解题的关键是熟悉平方差公式．
【详解】解：∵，
∴“”是，
故选：．
4．（2025七年级下·浙江·期中）计算的结果为（ ）
A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
5．（2025·四川眉山·一模）已知三个实数a、b、c满足，，则（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确推出，是解题的关键．先推出，进而得到，再由得到，由此即可判断A，B，求出即可判断C，D．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
或，即或，
故A，B结论错误，不符合题意；
，
，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）已知，，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，把、、分别代入整理后的代数式中计算求值即可．
【详解】解：
，
当，，时，
原式
故选：D．
7．（2025·湖南常德·二模）定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”．下列说法不正确的是（ ）
A．34是和谐数
B．（是整数）不一定是和谐数
C．如果数都是“和谐数”（），则也是“和谐数”
D．当时，（是整数）是“和谐数”
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A.，
34是和谐数，
故该说法正确，不符合题意；
B. ，
（是整数）一定是和谐数；
故该说法错误，符合题意；
C.
，
都是“和谐数”，设，
原式
，
也是“和谐数”，
故该说法正确，不符合题意；
D. ，
，
当时，（是整数）是“和谐数”，
故该说法正确，不符合题意；
故选：B
8．（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排 名男学生，此次团体操表演最少需要 名学生．
【答案】 426 206
【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为行列，则师生总数满足，即，而，据此计算即可求解．
【详解】解：设矩形方阵为行列，
∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师，
∴师生总数满足，
整理得，
∵、都是正整数，，
∵男生总数为，当男生人数最多时，需要最大，
此时，，
解得，，
∴，
∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生；
当，，
解得，，
∴，
∴此次团体操表演最少需要206名学生；
故答案为：426；206．
9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，且，则
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案．
【详解】解：∵多项式因式分解的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ．
【答案】28
【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可．
【详解】解：长方形的长和宽分别为，，
，，
，
，
故答案为：．
12．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可．
【详解】解：，，
则．
因为的值能被13整除，且11与13互质，
所以是13的倍数，
所以，
解得：，
故答案为：6．
13．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值．
，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性的应用，利用完全平方公式分解因式，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，结合完全平方公式与算术平方根的非负性求解，，再代入计算即可.
【详解】解：
；
∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴原式.
14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量．
【答案】108J
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将公式因式分解，然后将已知数据代入求值，即可求解．
【详解】解：由题意得，
答：电流流经电阻所产生的热量为
15．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知代数式．
(1)化简A；
(2)若，，求A的值．
【答案】(1)(2)36
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据去括号，合并同类项化简即可；
（2）将A变形为，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
．
16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ．
(2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ．
【答案】(1)， ，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答；
（2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答．
【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式．
故答案为： ， ， ．
（2）解：如图，
由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即，
∴可将因式分解为．
故答案为：
17．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：．
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)(2)最小值为(3)12
【分析】本题考查因式分解的应用．熟练掌握因式分解是关键．
（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）配方后即可得出多项式的最值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．

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