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3.2 勾股定理的逆定理
第3章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理的逆定理
勾股数
知识点
勾股定理的逆定理
知1－讲
1
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；
(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
(3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
知1－讲
3. 勾股定理与其逆定理的关系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2
结论 a2+b2=c2 △ABC为直角三角形，且∠C=90°
知1－讲
续表
关系
知1－讲
特别提醒
1. 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一种方法，在没有确定是直角三角形时，不能说斜边或者直角边，只能说三角形的边.
2. a2+b2=c2只是一种表示形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.
知1－练
例 1
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.
解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断 .
知1－练
解：(1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，∴△ABC是直角三角形.
(2)在△ABC中，∵ AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. ∵(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即 a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
知1－练
解法提醒
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
1. 如果已知条件与角度有关，那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角；
2.如果已知条件与边有关，一般利用勾股定理的逆定理，通过计算得出三边的数量关系，判断三角形的形状.
知1－练
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，试判断△ABC的形状.
例 2
解题秘方：先根据“两个整式的积为0，则两个整式中至少有一个为0”得到a2－b2＝0 或a2＋b2－c2＝0，然后再分类讨论，得出△ABC的形状.
知1－练
解：∵(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴ a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
(1)当a2－b2 ≠ 0时，则有c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形.
(2)当a2－b2＝0 ，即a＝b时，若a2＋b2－c2 ≠ 0 ，则△ABC是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0 ，则△ABC是等腰直角三角形. 综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
知1－练
易错提醒
两个因式的积为0，则有一个因式为0和两个因式都为0 两种情况.判断三角形形状时，不仅要考虑是否为直角三角形，还要考虑是否为等腰三角形.本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误.
知2－讲
知识点
勾股数
2
1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数.
勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
知2－讲
2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤
(1)“看”：看是不是三个正整数.
(2)“找”：找最大数.
(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和.
(4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数.
知2－讲
特别解读
1. 勾股数有无数组；
2. 如果a，b，c是一组勾股数，那么ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数.
知2－练
下列四组数据，不是勾股数的是(　　)
A. 3，4，5 　 B. 5，6，7 　
C. 6，8，10 　 D. 9，40，41
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
例 3
知2－练
答案：B
解：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数. 因为32＋42＝52，属于勾股数，故A不符合题意；因为52＋62 ≠ 72，不属于勾股数，故B符合题意；因为62＋82＝102，属于勾股数，故C不符合题意；因为92＋402＝412，属于勾股数，故D不符合题意．
知2－练
解题通法
确定勾股数的方法：
首先看这三个数是否是正整数，然后看较小的两个数的平方和是否等于最大数的平方.
记住常见的勾股数(3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40，41)可以提高解题速度.
勾股定理的逆定理
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数形结合
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理
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